Classe de conjugaison du Frobenius d'une
variété abélienne sur un corps de nombres.
Journal of the London Mathematical Society 79 No. 1 (2009),
p. 53-71.
Résumé
Soient F un corps de nombres contenu dans C et
A une variété abélienne sur F.
On note GA le groupe de Mumford-Tate de
AC.
Pour tout nombre premier l, le groupe de Galois absolu
ΓF opère sur le groupe de cohomologie étale
l-adique de A.
On supposera que cette action donne des morphismes
ρl:ΓF→
GA(Ql), ce qui est le
cas après une extension finie de F.
Fixons une valuation v de F où A a bonne
réduction et notons
Frv∈ΓF un élément de
Frobenius géométrique en v.
Il est conjecturé que la classe de conjugaison de
ρl(Frv) dans
GA(Ql) est définie sur Q et
indépendante de l pour l variable différent de la
caractéristique résiduelle de v.
Le théorème principal de cet article établit
une version légèrement affaibli de cette conjecture pour
toute valuation v telle que
ρl(Frv) soit net.
On donne la relation entre la classe de conjugaison des
ρl(Frv) et le frobenius sur la
cohomologie cristalline.
Summary
Let F be a number field contained in C, A an
abelian variety defined over F and GA the
Mumford-Tate group of AC.
The absolute Galois group ΓF acts on
the l-adic étale cohomology group of A for every prime
number l.
Replacing F by finite extension one can assume that these actions
factor through morphisms
ρl:ΓF→
GA(Ql).
Fix a valuation v of F where A has good reduction
and let Frv∈ΓF be a
geometric Frobenius element. It is conjectured that the conjugacy
class of
ρl(Frv) in
GA(Ql) is defined over
Q and independent of l for l
different from the residue characteristic at v.
In the main theorem, a slightly weakened version of this conjecture is
proved for the valuations of F such that
ρl(Frv) is neat. It is also
shown how the conjugacy class of the
ρl(Frv) relates to the action of
Frobenius on the crystalline cohomology of A.
The Journal of the London Mathematical Society offers advance acces to the
abstract
and to the
full text of the paper.
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l'article complèt
avant publication.
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Dernière modification: le 26 avril 2009
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