Rutger Noot: Lifting systems of Galois representations associated to abelian varieties

Lifting systems of Galois representations associated to abelian varieties.

Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21 No. 4 (2006), p. 299-342.

Summary

This paper treats what we call `weak geometric liftings' of Galois representations associated to abelian varieties. This notion can be seen as a generalization of the idea of lifting a Galois representation along an isogeny of algebraic groups. The weaker notion only takes into account an isogeny of the derived groups and disregards the centres of the groups in question. The weakly lifted representations are required to be geometric in the sense of a conjecture of Fontaine and Mazur. The conjecture in question states that any irreducible geometric representation is a twist of a subquotient of an étale cohomology group of an algebraic variety over a number field.

It is shown that a Galois representation associated to an abelian variety admits a weak geometric lift to a group with simply connected derived group. In certain cases, such a weak geometric lift is itself associated to an abelian variety. This means that the conjecture of Fontaine and Mazur is confirmed for these representations. In other cases, one may find a lift which can not be found back in the étale cohomology of any abelian variety. The Fontaine-Mazur conjecture remains open for these representations. Nevertheless, certain consequences of the conjecture can be established.

Résumé

Cet article concerne des `relèvements géométriques faibles' de représentations galoisiennes associées aux variétés abéliennes. La notion de relèvement géométrique faible généralise la notion de relèvement d'une représentation galoisienne selon une isogénie entre groupes algébriques. Dans la notion faible, on ne tient compte que d'une isogénie des groupes dérivés, en négligeant les centre des groupes en question. On exige que les représentations obtenues par relèvement faible soient géométriques dans le sens d'une conjecture de Fontaine et Mazur. La conjecture en question affirme que toute représentation géométrique irréductible est un tordu d'un sous-quotient d'un groupe de cohomologie étale d'une variété algébrique sur un corps de nombres.

On montre que la représentation galoisienne associée à une variété abélienne admet un relèvement géométrique faible dans un groupe dont le groupe dérivé est simplement connexe. Dans certain cas, un tel relèvement est associé à une variété abélienne, de sorte que la conjecture de Fontaine et Mazur se trouve confirmée dans ces cas. Dans d'autres cas, on obtient des représentations qui n'apparaissent dans la cohomologie d'aucune variété abélienne. La conjecture de Fontaine-Mazur reste ouvert pour les représentations de ce type. On arrive toutefois à prouver certaines conséquences de la conjecture pour ces dernières représentations.

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Dernière modification: le 20 mars 2007