GDT "Variétés de Weinstein"

GROUPE DE TRAVAIL "VARIÉTÉS DE WEINSTEIN"

Le GDT se réunit avec une fréquence moyenne bi-mensuelle.

Lieu : Jussieu salle 15-16/101
Jour et Heure à partir du 1er février 2013: vendredi 14h-16h

Mots-clés : correspondance Stein-Weinstein, catégorie de Fukaya, catégories de faisceaux, recollement de catégories, analyse micro-locale

Motivations : 1. l'ubiquité des variétés de Weinstein en topologie symplectique, et 2. l'idée que la topologie symplectique d'une variété de Weinstein peut être "localisée" sur son squelette isotrope.

Organisateurs : V. Humilière, A. Oancea, P. Schapira

Prochaines séances :

Vendredi 26 avril (!! séance commune avec Symplect'x, IHP, salle 314, 15h45 !!): Grégory Ginot (IMJ) : L'homologie de Hochschild comme cas particulier des théories homologiques des variétés

Résumé : La (co)homologie de Hochschild est la théorie (co)homologique associée aux algèbres (ou catégories) A_\infty (en particulier associatives). Elle est munie d'une action un peu mystérieuse du cercle qui donne lieu à l'homologie cyclique. Le but de l'exposé est de présenter l'homologie de Hochschild et son action du cercle comme la valeur d'une théorie homologique des variétés calculée pour le cercle. Une bonne partie de l'exposé sera consacrée à expliquer ce qu'est une théorie homologique des variétés d'une dimension fixée et par quoi elles sont classifiées.

Exposés passés :

Vendredi 12 avril : Patrick Massot (Orsay) : Sous-variétés legendriennes flexibles (d'après Emmy Murphy)

Résumé : Dans une décomposition en anses symplectiques d'une variété de Weinstein, les anses les plus intéressantes sont attachées le long de sphères legendriennes. Le résultat d'un tel attachement ne dépend que de la classe d'isotopie legendrienne de la sphère d'attachement. Cela motive, du point de vue du groupe de travail, l'étude de ces classes d'isotopie. Dans cet exposé j'expliquerai, suivant Murphy, comment définir une classe de sous-variétés legendriennes pour lesquelles les seules obstructions à l'isotopie sont de nature homotopique (il s'agit donc d'un résultat de type h-principe). Les techniques utilisées sont très géométriques et elles ne dépendent d'aucun exposé précédent du groupe de travail.

Jeudi et Vendredi 21-22 mars : Vincent Borrelli (Lyon I) : Mini-cours sur le h-principe (organisé par F. Paugam)

Jeudi 21 mars 10h-12h : salle 15-25/502 (!! horaire et salle inhabituels !!)

Vendredi 22 mars 14h-16h : salle 15-16/101

Vendredi 8 mars : Vincent Humilière (IMJ) : Fibrations de Lefschetz symplectiques (d'après Seidel)

Définition. Exemples. Twist de Dehn. Cycles évanescents. Formule de monodromie.

Vendredi 15 février (!! horaire et salle inhabituels !!) salle 15-25/321

13h30-14h30 Kei Irie (RIMS Kyoto) : An energy-capacity type inequality for nondisplaceable domains

The Hofer-Zehnder capacity is an important notion in the study of periodic orbits of Hamiltonian systems. The famous energy-capacity inequality (due to Hofer and many others) claims that, when a domain is Hamiltonian displaceable, its HZ capacity is finite. In this talk, we will explain a variant of this result, which is applicable for nondisplaceable domains. The talk is based on arxiv:1112.5247.

15h-16h Alexandru Oancea (IMJ) : Catégorie de Fukaya. Conjecture de Seidel II (d'après Seidel, Ganatra-Maydanskiy, ...)

La catégorie de Fukaya est une catégorie dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes (exactes) et dont les morphismes sont les complexes de chaînes de Floer. Je vais expliquer la structure $A_\infty$ sur cette catégorie, avec comme ligne de mire une conjecture de Seidel qui décrit l'homologie symplectique d'une fibration de Lefschetz exacte comme homologie de Hochschild d'une catégorie de type Fukaya. Maydanskiy et Ganatra ont montré que cette conjecture découle de la suite exacte de chirurgie legendrienne de Bourgeois-Ekholm-Eliashberg. Pendant ce deuxième exposé nous allons énoncer la conjecture de Seidel et donner les idées de la preuve.

Vendredi 1er février : Alexandru Oancea (IMJ) : Catégorie de Fukaya. Conjecture de Seidel I (d'après Seidel, Ganatra-Maydanskiy, ...)

La catégorie de Fukaya est une catégorie dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes (exactes) et dont les morphismes sont les complexes de chaînes de Floer. Je vais expliquer la structure A_∞ sur cette catégorie, avec comme ligne de mire une conjecture de Seidel qui décrit l'homologie symplectique d'une fibration de Lefschetz exacte comme homologie de Hochschild d'une catégorie de type Fukaya. Maydanskiy et Ganatra ont montré que cette conjecture découle de la suite exacte de chirurgie legendrienne de Bourgeois-Ekholm-Eliashberg. Pendant ce premier exposé nous avons discuté des exemples de sous-variétés lagrangiennes exactes (compactes ou non-compactes mais coniques) et la structure A_∞ de la catégorie de Fukaya.

Mardi 15 janvier 2013 : Stéphane Guillermou (Institut Fourier, Grenoble) : Variétés de Weinstein et recollement de catégories de Fukaya (d'après Nadler)

Principe d'excision pour la cohomologie des faisceaux. Réduction isotrope des cellules coisotropes dans une variété de Weinstein. Excision pour catégorie de Fukaya de variétés de Weinstein.

Mardi 11 décembre : Pierre Schapira (IMJ) : Analyse microlocale et conjecture d'Arnold dans les cotangents (approche de Guillermou, Kashiwara, Schapira)

Faisceaux, micro-support, quantification des isotopies hamiltoniennes, conjecture d'Arnold dans les cotangents.

Mardi 27 novembre : Alexandru Oancea (IMJ) : Correspondance Stein-Weinstein (d'après Cieliebak et Eliashberg)

Généralités sur les variétés de Stein. Théorème d'Eliashberg sur l'existence de structures de Stein en dimension 2n>4.

Mardi 13 novembre 2012 : Vincent Humilière (IMJ) : Généralités sur les variétés de Weinstein (d'après Eliashberg, Gromov, Giroux)

Variétés symplectiques exactes. Définition des variétés de Weinstein, squelette isotrope, décomposition en cellules coisotropes. Hypersurfaces de Donaldson. Le complémentaire d'une hypersurface de Donaldson est une variété de Weinstein (Giroux).

Bibliographie (largement disponible sur arXiv)

Références pour l'idée selon laquelle la topologie symplectique d'une variété de Weinstein peut être "localisée" sur le squelette

M. Kontsevich, Symplectic geometry of homological algebra (June 2009). Disponible à http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/Symplectic _AT2009.pdf

P. Seidel, « Cotangent bundles and their relatives » et « Symplectic topology as sheaf theory ? », Morse Lectures #1 & #3 (2010), disponibles à http://www-math.mit.edu/~seidel/

N. Sibilla, D. Treumann, E. Zaslow, Ribbon graphs and mirror symmetry (Mars 2011)

D. Treumann, E. Zaslow, Polytopes and skeleta (Septembre 2011)

Correspondance Stein-Weinstein

K. Cieliebak, Y. Eliashberg, From Stein to Weinstein and back : symplectic geometry of affine complex manifolds, AMS, 2012.

Pinceaux de Lefschetz symplectiques

S. Donaldson, Symplectic submanifolds and almost-complex geometry, JDG 44 (1996).

E. Giroux, Géométrie de contact : de la dimension trois vers les dimensions supérieures. Proc. ICM 2002. arXiv :math/0305129

V. Colin, Livres ouverts en géométrie de contact (d’après E. Giroux). Séminaire Bourbaki. Astérisque 317 (2008).

J.-C. Sikorav, Construction de sous-variétés symplectiques (d’après S. Donaldson et D. Auroux). Séminaire Bourbaki. Astérisque 252 (1998).

Correspondance entre catégorie de Fukaya d'un cotangent et la catégorie des faisceaux constructibles sur la section nulle

D. Nadler, E. Zaslow, Constructible sheaves and the Fukaya category (Avril 2006)

D. Nadler, Microlocal branes are constructible sheaves (Décembre 2006)

D. Nadler, Fukaya categories as categorical Morse homology (Septembre 2011)

Le point de vue de l'analyse micro-locale dans les cotangents

S. Guillermou, M. Kashiwara, P. Schapira, Sheaf quantization of Hamiltonian isotopies and applications to non displaceability problems (Mai 2010)

S. Guillermou, P. Schapira, Microlocal theory of sheaves and Tamarkin’s non displaceability theorem (Juin 2011)

D. Tamarkin, Microlocal condition for non-displaceability (Septembre 2008)

Catégorie de Fukaya

P. Seidel, Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory, ETH Lecture Notes Serides vol. 8, Springer, 2008. [bouquin fondateur]
K. Fukaya, P. Seidel, I. Smith, Exact Lagrangian submanifolds in simply-connected cotangent bundles (Janvier 2007) [Un article fondateur pour l’utilisation de la catégorie de Fukaya en topologie symplectique.]

K. Fukaya, P. Seidel, I. Smith, The symplectic geometry of cotangent bundles from a categorical viewpoint (Mai 2007) [Article d’exposition]

Recollement de catégories de Fukaya

M. Abouzaid, A topological model for the Fukaya categories of plumbings (Avril 2009)

M. Abouzaid, P. Seidel, An open string analogue of Viterbo functoriality (Déc. 2007)

P. Seidel, Some speculations on pairs-of-pants decompositions and Fukaya categories (Avril 2010)

Le groupe de travail bénéficie du soutien financier de l'ERC à travers le contrat ERC-Starting Grant STEIN-259118.