Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Un modèle très classique en mécanique statistique est le modèle d’Ising, qui décrit les matériaux magnétiques. Dans cet exposé, on présentera sa version dynamique à température zéro. On parlera ensuite d’un modèle très étudié trouvant ses racines dans le modèle d’Ising, la percolation bootstrap. On expliquera comment celle-ci a été généralisée en percolation U-boostrap, puis comment cette généralisation a inspiré la dynamique U-Ising à température 0, exposant résultats connus et questions ouvertes sur tous ces modèles.

Résumé : In this talk, we discuss the effects of perturbations on the topology and geometry of nodal sets/zero sets of Laplace eigenfunctions. A conjecture by Payne states that the nodal set of the second Dirichlet eigenfunction on a bounded planar domain intersects the boundary at exactly two points. We will look into certain stability properties of the nodal sets and discuss some recent results concerning the conjecture. Then, utilising the stability properties, we will observe the prescription of nodal data on Riemannian surfaces, focusing on the following two aspects: the construction of eigenfunctions with a prescribed number of nodal intersections at the boundary, and the realisation of Courant-sharp eigenfunctions at arbitrarily high levels.

Résumé : We prove that the vanishing of global $i$-th differential forms on $X$ $p$-adic proper smooth over $A/I$, where $(A,I)$ is a prism, e.g. the $q$-de Rham or the de Rham prism, forces the vanishing of the restriction map in the separate quotient of the integral prismatic cohomology relative to $A$ from $X$ to any affine $U\subset X$. In this spirit, I’ll explain extensions of this vanishing inspired by a recent preprint by Daniel Caro and Marco D’Addezio. We also construct classes in algebraic de Rham cohomology (or its prismatic analog) on $X$ which are not torsion and die integrally in de Rham prismatic cohomology. This shows that the huge torsion in prismatic cohomology can not in general capture enough of algebraic de Rham cohomology to understand the part of Grothendieck’s generalized Hodge conjecture which has a purely algebraic formulation (without complex Hodge theory).

Résumé : Au cours de la dernière décennie, des outils issus de la topologie algébrique se sont révélés très utiles pour l'analyse et la caractérisation de réseaux de toute sorte, en particulier pour explorer la relation entre structure et fonction. Je décrirai certains de ces outils et illustrerai leur utilité en neurosciences, principalement dans le cadre d'une collaboration avec le Blue Brain Project.