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MPA S2 Algèbre
Note: Il est inutile d'apprendre par coeur les démonstrations. Il est très utile de
les comprendre. Tout le cours d'algèbre S2 doit être connu. Au contrôle, on pourra demander
d'énoncer un théorème sans démonstration et aussi d'énoncer un résultat avec démonstration.
Liste des démonstrations de cours à savoir pour le contrôle terminal algèbre S2 2017
- Dans un espace vectoriel, si x est un vecteur, et vec{0} le vecteur nul, 0.x=vec{0}. Pour tout
scalaire \alpha, \alpha.vec{0}=vec{0}.
- Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont en somme directe si et seulement
si leur intersection est nulle et si E=F+G.
- Dans un espace vectoriel de dim. n, toute famille libre a au plus n éléments et toute famille
génératrice a au moins n éléments.
- Si E est de dimension n, tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie p inférieur ou égal à n.
De plus, F est égal à E si et seulement si n=p.
- Tout sous-espace vectoriel F d'un espace de dimension finie E admet un supplémentaire.
- Si F, G sont contenus dans E, et E est la somme directe de F et de G, alors dimE=dimF+dimG.
- L'image et l'image réciproque d'un sev par une application linéaire est un sev
- f une application linéaire, alors f est injective si et seulement si Ker(f)=0.
- f une application linéaire de E vers F, alors f est surjective si et seulement si Im(f)=F.
- f de E vers F, (u_1, ..., u_n) une base de E. caractérisation du fait que f est injective, bijective et surjective en
fonction de (f(u_1), ..., f(u_n)).
- Soit f de E dans F, alors dim(f(E)) est inférieure ou égal à dim E avec égalité si et seulement
si f est injective.
- Soit f de E dans F injective, alors dim F est supérieur ou égal à dim E
- Soit f de E dans F surjective, alors dim E est supérieur ou égal à dim F
- Soit f de E dans T bijective (isomorphisme) alors dim E=dim F
- Soit H un sous-espace vectoriel de dimension n-1 d'un espace vectoriel E de dimension n, alors H est le noyau
d'une forme linéaire non nulle. Réciproquement le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E est de dimension n-1.
- formules de changement de base (sans démonstration).
- Tr(AB)=Tr(BA)
- Deux matrices semblables ont même trace, même rang et même déterminant.