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MPA S2 Algèbre 2017
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Programmes de colles
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Semaines du 24 avril et 1er mai 2017, fin du cours
Changements de base, formules de changement de base, rangs des matrices, calcul
pratique du rang des matrices, définition de matrices semblables. Deux matrices semblables
ont même rang, même déterminant et même trace.
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Semaines du 3 et 10 avril 2017 (colle 5 algèbre : sem. 24 avril 2017).
Applications linéaires en dimension finie, théorème du rang, matrice d'une application
linéaire. Formes linéaires. Projecteurs.
Soit f une application linéaire de E dans F, f est injective si et seulement si l'image
d'une base de E est une famille libre de F. f est surjective si et seulement si l'image d'une
base de E est une famille génératrice de F. f est bijective si et seulement si l'image d'une base
de E est une base de F. En particulier, si deux espaces vectoriels sont isomorphes, ils ont même
dimension. Théorème du rang : dimE=dim Kerf + dim Imf. La démonstration de ce théorème n'est pas
exigible. Corollaire : si f est injective, dim F est supérieur ou égal à dim E. Si f est surjective, dim F
est inférieur ou égal à dim E. rang (g o f)=rang(g) si f est un isomorphisme, rang (f o g)=rang(f)
si g est un isomorphisme. rang (g o f) est inférieur ou égal à min(rang(f),rang(g)).
Caractérisation des isomorphismes en dimension finie: on suppose que n=dimE=dimF alors f est un
isomorphisme si et seulement si f est injectif (si et seulement si f est surjectif).
Caractérisation des projecteurs en dimension finie. Une application linéaire p est un
projecteur si et seulement si pop=p. Et alors E= Ker p somme directe Im p.
Seule la définition de matrice d'une application linéaire a été donnée. En TD, j'ai
expliqué comment déterminer le rang d'une application linéaire à partir du rang de la matrice
associée, et après opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.
Hyperplans et formes linéaires. Soit E un espace vectoriel de dimension n.
L'énoncé suivant a été donné. Les conditions suivantes sont
équivalentes : H=Ker\phi, \phi un forme linéaire non nulle, dimH=n-1, H admet un supplémentaire
dans E qui est une droite.
Semaines du 20 mars 2017 (colle 4 algèbre : sem. 3 avril 2017).
Il n'y a pas eu cours la semaine du 27 mars 2017.
Suites récurrentes d'ordre
2 : les étudiants doivent savoir déterminer une base de solutions de telles
suites récurrentes en termes de suites géométriques et de suites nr^n.
Applications linéaires : définitions
de base. Les premiers exercices sur ce sujet seront faits mercredi 5 avril. Il est
cependant important de donner des exercices sur ce sujet. De façon plus détaillée :
l'image de 0 par une application linéaire est 0. Les applications linéaires préservent
les combinaisons linéaires. L'image d'un sev par une application linéaire est un
sev, l'image réciproque par une application linéaire d'un sev est un sev. Une application
linéaire f de E vers F est injective si et seulement si Kerf=0, surjective si et seulement
si Imf=F. Les définitions d'endomorphisme et d'isomorphisme ont été données.
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Semaines du 6 mars 2017 et du 13 mars 2017 (colle 3 algèbre : sem. 20 mars 2017.)
Familles libres, familles liées, familles génératrices, bases. Espaces vectoriels de
dimension finie : toutes les bases ont même nombre d'éléments. La démonstration de cet
énoncé n'est pas exigible. Mais les étudiants doivent être capables d'en déduire
les énoncés suivants : si n est la dimension, une famille libre a au plus n éléments,
une famille génératrice a au moins n éléments. Une famille libre de n éléments est une base
(resp. une famille génératrice de n éléments est une base).
Théorème de la base incomplète, un sous-espace d'un espace de dimension finie n est de
dimension finie inférieure à n. La démonstration de ces deux théorèmes n'est
pas exigible mais tous les énoncés qui s'en déduisent doit être connus ainsi que leur
démonstration : dimension d'une somme directe, dimension d'une somme. Un sous-espace
vectoriel F d'un espace vectoriel E est égal à E si et seulement si dim(F)=dim(E).
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Semaines du 13 février 2017 et du 27 février 2017 (colle 2 algèbre : sem. 6 mars
2017.). Espaces vectoriels,
définitions de base, sous-espace vectoriel,
espace vectoriel engendré
par une partie d'un espace vectoriel E, définition de F+G pour F,G deux sous-espaces vectoriels
d'un espace vectoriel E, somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Si E est inclus dans
F, Vect(E) est inclus dans Vect(F). L'intersection de deux sev est un sev.
Familles libres, familles liées, familles génératrices, définitions. Caractérisation d'une base d'un ev.
Lemme important : Si (e_1,..,e_n) est libre et si x est dans E. La famille (e_1,..,e_n,x) est
liée si et seulement si x est dans Vect( e_1,..,e_n).
Les étudiants n'auront pas fait d'exercices sur les familles libres et génératrices avant
le mercredi 8 mars. Merci d'en tenir compte pour la colle. Sur ce sujet il faut donc
commencer par des questions simples.
- Semaines du 23, 30 janvier 2017, 6 février 2017 (colle : sem. 13 février 2017.)
Cours sur les permutations et sur le déterminant.
Les étudiants doivent savoir calculer
avec les permutations : les composer, calculer leur signature et l'inverse.
Définition d'une n-forme linéaire alternée : cette définition doit être connue pour n=2 ou n=3.
Si on a une n-forme linéaire alternée, alors le
déterminant change de signe quand on permute deux colonnes. Formules de variation du déterminant
après transformations élémentaires sur les colonnes (et les lignes par passage à la matrice
transposée). Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne (sans
démonstration : provient de la construction). La formule générale avec les permutations donnant le déterminant doit
être connue (sans démonstration). det(A)=det(^t A). det(AB)=det(A)det(B), comatrice.
La formule donnant l'inverse d'une matrice en fonction
de la comatrice doit être connue sans démonstration. Déterminant d'une matrice triangulaire, déterminant par blocs.
Déterminant de van der Monde.
Les démonstrations de ces cours sont hors programme sauf celles qui suivent :
- L'ensemble des permutations sur un ensemble à n éléments forme un groupe pour la
composition des applications. La signature de \sigma est égale à la signature de
l'inverse de \sigma (en admettant que la signature est un morphisme de groupes).
- Si n=3, le déterminant change de signe si on permute deux colonnes (utiliser le fait
que l'on a une forme alternée).
- A est inversible si et seulement si det(A) est non nul (en admettant la
formule A(^t comA)=det(A)Id).
- Déterminant d"une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure).
En plus de la question de cours, l'essentiel de la
colle doit porter sur le calcul pratique de déterminants.
- Programme du contrôle terminal 2017: tout ce qui a été vu en algèbre S2. Voir ci-contre la
Liste des démonstrations du cours exigibles à l'exemen terminal de
mai 2017
- Programme du CC1 du 10 mars 2017: permutations, déterminant, espaces vectoriels, familles libres,
familles liées, bases. La séance du 8 mars est incluse.
Il n'y aura pas de questions de cours sur les permutations. Sur le déterminant, les questions de
cours possibles sont : A inversible ssi det(A) non nul et déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ou
inférieure.
Pour le reste tout le cours doit être connu, avec les démonstrations.
- Conseils de lectures:
Feuilles d'exercices
- Permutations (feuille d'exercices -1, permutations (pdf),
dvi,
tex ).
- Déterminants (feuille d'exercices 0, déterminants (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels
feuille d'exercices 2, espaces vectoriels (pdf),
dvi,
tex .
- Espaces vectoriels, familles libres, familles liées de vecteurs
(feuille d'exercices 3, familles libres, génératrices (pdf),
dvi,
tex ).
- Espaces vectoriels de dimension finie, familles libres, génératrices de vecteurs
(feuille d'exercices 4 (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires
(feuille d'exercices 5, applications linéaires (pdf),
dvi,
tex ).
- Applications linéaires : théorème du rang et matrices
(feuille d'exercices 6 (pdf),
dvi,
tex ).
- Changements de base
(feuille d'exercices 7 (pdf),
dvi,
tex ).
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Sources
Beaucoup d'exercices viennent du site
exo7. Que les auteurs soient ici
remerciés.