Laurent  Navoret

Modélisation de l'athérosclérose. L'athérosclérose est une maladie cardio-vasculaire caractérisée par une importante accumulation de molécules de cholestérol dans les parois artérielles. Après inflammation, les agrégats lipidiques peuvent se détacher et engendrer des accidents vasculaires cérébraux ou des thromboses.  La caractérisation des zones où le cholestérol est susceptible de pénétrer dans la paroi est un enjeu primordial pour la prévention de cette maladie. Dans ce but, je m'intéresse plus particulièrement à deux propriétés de la paroi artérielle : la caractérisation des lois de perméabilité au cholestérol (en tenant compte du temps de résidence des molécules au voisinage de la paroi) et l'étude des propriétés d'élasto-porosité de la paroi.

Modélisation mathématiques des comportements collectifs dans les populations animales. Des mouvements collectifs sont couramment observés dans les populations animales, que ce soit les bancs de poissons, les colonies de fourmis, les nuées d'étourneaux ou encore les troupeaux de mamifères tels que les moutons. Ces mouvements collectifs, souvent étonnant, naissent alors même qu'aucun individu ne perçoit la globalité du mouvement et qu'aucun leadership n'est avéré. On dit qu'il y a émergence de phénomène collectif.
Dans le cadre d'une collaboration avec des biologistes (CRCA, Toulouse), je me suis attaché à étudier analytiquement et numériquement des modèles macroscopiques pour décrire ces mouvements collectifs. Une partie des travaux a permis de valider numériquement la version macroscopique du modèle Vicsek (modélisant des interactions d'alignement). Une autre partie a été dédiée aux effets de congestion dans le mouvement de ces populations, la taille de individus ne peut parfois être négliger. Autrement dit, il existe une densité maximale d'individu qui ne peut pas être dépasser. La transition entre les régions de densité maximale et celles de densité plus faible se traduit au niveau macroscopique par une transition de type compressible/incompressible : sa dynamique a fait l'objet d'une étude analytique. Elle est malheureusement partielle des méthodes numériques adaptées sont en cours de développement pour une caractérisation plus globale.

Méthodes numériques adaptées aux problèmes asymptotiques. Les problèmes asymptotiques apparaissent quand les échelles spatiales et temporelles d'un phénomène physique deviennent très petites par rapport à l'échelle d'observation voulue. Le problème limite procure en quelque sorte une "simplification" du problème. Cependant, cette limite s'accompagne souvent d'un changement de nature mathématique du problème. Pour capturer cette limite, des shémas numériques asymptotiquement consistants (c'est à dire tels que le schéma limite soit consistant avec le problème limite) doivent etre développés : ils sont dénommées "shémas préservant l'asymptotique". Un tel schéma a été mis au point pour traiter la limite quasineutre dans les plasmas dans le cadre des méthodes Particle-In-Cell pour le système de Vlasov-Poisson.