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On considère, dans le plan euclidien R², une conique C d'équation Ax²+By²+Cy+D=0, c'est-à-dire d'une conique symétrique par rapport à l'axe {X=0}. Cette conique dépend d'un paramètre et sa nature euclidienne est variable.
Le plan euclidien R² se prolonge naturellement en le plan projectif complexe CP². Dans ce plan projectif complexe, le R-plan projectif P des points de coordonnées homogènes [iX:Y:Z], avec X, Y et Z réels non tous nuls contient :
- les points réels de l'axe de symétrie {X=0} de C,
- la paire de points cycliques {I,J}={[1:i:0],[1:-i:0]}, caractéristique de la structure euclidienne de R².
Ces deux propriétés font de P un R-plan adéquat pour comprendre la construction de la courbe orthoptique O de C comme la courbe à point de vue harmonique sur {I,J} et C.
Le paramètre varie de 2,2 à 6,99. Pour le contrôler, cliquer sur le curseur vert pour l'activer, puis le manipuler à la souris ou bien utiliser les flèches gauche et droite du clavier pour une manipulation plus lente et précise.
La conique C est en noir, sa conique orthoptique O en rouge. La paire de points cycliques {I,J} ainsi que les droites polaires de ces points par rapport à C sont en bleu. Jusqu'au paramètre 5,99 apparaissent en pointillés les tangentes (II1), (II2), (JJ1) et (JJ2) à C issues de I et J, les points I1 et I2, respectivement J1 et J2, étant les contacts avec C des tangentes à C issues respectivement de I et J. Ils sont aussi les points d'intersection de C et O et apparaissent en rouge plus clair. La conjugaison complexe permute I1 avec J1 et I2 avec J2. Les foyers F1 et F2, en bleu, se définissent alors comme l'intersection de (II1) avec (JJ1), respectivement de (II2) avec (JJ2). Le centre de C, pôle de la droite à l'infini par rapport à C, est l'intersection des droites polaires de I et J. Il est également centre de O.
Le parcours dans l'espace des coniques a la forme d'un T, avec les valeurs suivantes du paramètre.
| Valeur du paramètre | Équation de C, à translation selon y près | Nature de la conique C, son axe |
|---|---|---|
| de p0 à p1 | x²/a²-y²/b²=1, a<b | Hyperbole « obtuse1 ». Axe : {x=0}. |
| p1 | x²/a²-y²/a²=1 | Hyperbole équilatère2. Axe : {x=0}. |
| de p1 à p2 | x²/a²-y²/b²=1, a>b | Hyperbole « aiguë3 ». Axe : {x=0}. |
| p2 | x²=2py | Parabole. Axe : {x=0}. |
| de p2 à p3 | x²/a²+y²/b²=1, a>b | « Vraie » ellipse : propre, réellement non vide. Axe : {x=0}. Les points réels de l'axe sont sur la figure. |
| p3 | x²/a²+y²/a²=1 | « Vrai » cercle : propre réellement non vide. |
| de p3 à p5 | x²/a²+y²/b²=1, a<b | « Vraie » ellipse : propre, réellement non vide. Axe : {y=0}. Le seul point réel de l'axe présent sur la figure est son point à l'infini. |
| (p4) | Le trajet dans l'espace des coniques fait demi-tour. | |
| p5 | x²/a²+y²/a²=1 | Même « vrai » cercle qu'en p3. |
| de p5 à p6 | x²/a²+y²/b²=1, a>b | Même « vraie » ellipse que sur une portion du trajet de p2 à p3. |
| p6 | x²/a²+y²/b²=1, a>b | Une certaine des ellipses de la ligne précédente. Ses directions à l'infini sont baptisées h=[a:-ib:0] et h'=[a:ib:0]. | Pour toutes les valeurs suivantes du paramètre, les directions à l'infini h et h' de la conique C (donc son excentricité e déf. par e²=1-b²/a²) sont désormais fixées, ainsi que son centre. Ainsi, de p6 à p7 exclu, le trajet est une homothétie affine appliquée à l'ellipse de p6 et fixant son centre4. |
| de p6 à p7 | x²/a²+y²/b²=1, a/b>1 fixé | « Vraie » ellipse comme de p2 à p3, et d'excentricité e désormais fixée. Axe : {x=0}, ses points réels sont visibles. |
| p7 | x²/a²+y²/b²=0, a/b>1 fixé | Ellipse-point2 : paire de droites dont le point d'intersection est le seul point réel. Ici seulement C est dégénérée et donc O n'est pas définie. |
| de p7 à p8 | x²/a²+y²/b²=-1, a/b>1 fixé | Ellipse vide : propre, sans point réel. Axe : {y=0}. Le seul point réel de l'axe présent sur la figure est son point à l'infini. |
Lorsque l'axe de C est {x=0}, O est tracée comme la conique passant par I, J, I1, I2, J1, J2.
Lorsque l'axe de C est {y=0} ou est inexistant (C cercle), I1, I2, J1 et J2 sont hors de P ou confondus avec I et J. La courbe orthoptique O est alors tracée grâce à
deux contacts et un point. Les deux contacts sont en I et J, où on connaît les tangentes à la courbe orthoptique. Ce sont les droites issues du centre de C et passant par I et J. Le point, qu'on note M, est trouvé le long de l'axe de la conique C, ou d'une autre droite passant par le centre et qui s'y prête. Pour ce faire, en notant D1 le point d'intersection de la droite choisie avec la droite à l'infini et D2 un de ses points d'intersection avec C, on utilise la relation de birapport : [D1, centre de C, D2, M]²=2.
On distingue sur la figure les cas où O est un vrai cercle, un cercle-point, un cercle purement imaginaire, ou encore une droite. Ce sont respectivement les cas où, dans le R-plan P de la figure, O rencontre l'axe {X=0} (formé de points réels) :
- en deux points distincts : lorsque C est une hyperbole aiguë ou une vraie ellipse,
- en un point double : lorsque C est une hyperbole équilatère,
- en aucun point : lorsque C est une hyperbole obtuse ou une ellipse vide,
- en un point simple : lorsque C est une parabole. Attention, lorsque C devient une parabole, le cercle O, en tant que conique, dégénère en une paire de droites : la droite à l'infini et la directrice de la parabole C. C'est cette déformation qu'on observe sur la figure au voisinage du paramètre 4. Mais en tant que courbe orthoptique, O devient une droite simple. En effet, le lieu à point de vue harmonique sur {I,J} et la parabole C consiste seulement en la directrice de C. Cette discontinuité de O comme objet algébrique, au paramètre 4 (C parabole), apparaît sur la figure.