Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique
organisé par l'équipe Arithmétique et géométrie algébrique
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Aryian Javanpeykar
Hyperbolicities: arithmetic, algebraic, and analytic.
10 janvier 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Abstract. In the first part of this talk we will state and discuss the Green-Griffiths-Lang conjecture. This conjecture relates different notions of hyperbolicity for projective varieties. We will explain what it means for a projective variety to be arithmetically, analytically, or algebraically hyperbolic, and present evidence for the Green-Griffiths-Lang conjecture. For instance, we will explain how to prove that a projective variety which is "hyperbolic" in any sense of the word has only finitely many automorphisms. -
Emiliano Ambrosi
Specialization of Néron-Severi groups in positive characteristic
17 janvier 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Let $k$ be an infinite finitely generated field of characteristic $p>0$. Fix a scheme $X$, smooth, geometrically connected, separated and of finite type over $k$ and a smooth proper morphism $f:Y\rightarrow X$. In this talk we prove that there are ``lots" of closed points $x\in X$ such that the fibre of $f$ at $x$ has the same geometric Picard rank as the generic fibre. If $X$ is a curve we show that this is true for all but finitely many $k$-rational points. In characteristic zero, these results have been proved by André (existence) and Cadoret-Tamagawa (finiteness) using Hodge theoretic methods. To extend the argument in positive characteristic we use the variational Tate conjecture in crystalline cohomology, the comparison between different $p$-adic cohomology theories and independence techniques. The result has applications to the Tate conjecture for divisors, uniform boundedness of Brauer groups, proper families of projective varieties and to the study of families of hyperplane sections of smooth projective varieties. -
Tobias Schmidt
TBA
24 janvier 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
TBA -
Tobias Schmidt
D-modules p-adiques et représentations dans la BGG-catégorie O
24 janvier 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soit G un groupe de Lie p-adique réducif et P un sous-groupe parabolique. Orlik-Strauch ont construit un foncteur de la catégorie O de BGG relative à Lie(P) vers les G-représentations localement analytiques. Soit O^P l’image de ce foncteur et soit X la variété de drapeaux analytique rigide de G. Dans cette exposé je décris, à l’aide de l’induction de P à G, une catégorie de D-modules G-équivariants coadmissibles sur X en termes de D-modules algébriques classiques associés à la BGG-catégorie O et je montre qu’elle correspond à O^P sous l’équivalence de localisation. Il s’agit d’un travail en cours avec K. Ardakov. -
Kestutis Cesnavicius
Macaulayfication of Noetherian schemes
31 janvier 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
To reduce to resolving Cohen-Macaulay singularities, Faltings initiated the program of "Macaulayfying" a given Noetherian scheme X. Under various assumptions Faltings, Brodmann, and Kawasaki built the sought Cohen-Macaulay modifications without preserving the locus where X is already Cohen-Macaulay. We will discuss an approach that overcomes this difficulty and hence completes Faltings' program. -
Charles Vial
Cycles symétriques sur les variétés abéliennes
7 février 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soit E une courbe elliptique, et soient $a$ et $b$ deux zéro-cycles de degré zéro sur E. Il est bien connu que le produit extérieur $a\times b$ est anti-invariant par permutation des facteurs en tant que cycle sur $E\times E$. Ceci peut etre vu comme un cas particulier d'une fameuse conjecture due a Bloch concernant les zéro-cycles sur les surfaces. Je présenterai une généralisation du résultat ci-dessus dans le cas des variétés abéliennes. Les méthodes présentées permettront également de montrer que les automorphismes symplectiques d'ordre fini des variétés de Kummer généralisées agissent comme l'identité sur le groupe de Chow des zéro-cycles. -
Anna Cadoret
Weil II ultraproduit pour les courbes et $\Z_\ell$-compagnons
14 février 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
J'expliquerai brièvement comment définir une catégorie de faisceaux *lisses* à coefficients ultraproduits et construire dans ce cadre un formalisme partiel des poids de Frobenii parallèle à celui de Weil II; on y obtient notamment le théorème fondamental de Weil II *pour les courbes*. En combinant ce résultat à des arguments de nature géométrique on peut en déduire (sans restriction sur la dimension de la variété) la plupart des corollaires classiques de Weil 2 (pureté, semisimplicité géométrique, Cebotarev tannakien). L'introduction de ce formalisme est en grande partie motivé par ses applications aux modèles entiers dans les systèmes compatibles de faisceaux l-adiques lisses: unicité asympotique des modèles entiers, semisimplicité géométrique asympotique de la réduction modulo-l, généralisation du théorème de Gabber sur la torsion des images directes supérieures etc. Ils permettent également de démontrer la correspondance de Langlands à coefficients ultraproduits et une forme asymptotique de la correspondance de Langlands modulo-l, impliquant l'existence et l'unicité asympotique du relèvement dans la conjecture de de Jong. -
Alex Torzewski
Relative motives over Shimura varieties
28 février 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Given a Shimura variety S defined by a group G (e.g. a modular curve, in which case G=GL_2), there is a "canonical construction" which assigns to a representation of G variation of Hodge structures on the Shimura variety. Similarly, there is also a construction which gives an l-adic sheaf for each representation. It is conjectured that these should both be motivic in origin, i.e. for each representation of G, there should be a way to construct a motive over S whose cohomology coincides with that given by the previous constructions. Recently Ancona has demonstrated this in the context of PEL-type Shimura varieties. We give partial results for arbitrary S and in doing so give conditions for Ancona's results to be compatible with base change. -
Ulrike Riess
Base loci of big and nef line bundles on irreducible symplectic varieties.
7 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Abstract:
The talk will start with a small introduction to irreducible symplectic varieties. Afterwards, I will give an overview on the current knowledge about base loci of big and nef line bundles on them: Under certain conditions, I will give a complete description of base divisors and then I will report what is known about base loci in higher codimension. -
Bas Edixhoven
Geometric interpretation of quadratic Chabauty
14 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Joint work with Guido Lido. Chabauty's method to find all rational points on a curve C over Q of genus g > 1 is to intersect, for a suitable prime p, inside the p-adic Lie group J(Q_p) (with J the jacobian of C), the 1-dimensional p-adic manifold C(Q_p) with the closure of J(Q). This closure is a p-adic Lie group of dimension at most r, the rank of J(Q). If r < g then this works well. Minhyong Kim has a program called `nonabelian Chabauty', where deeper quotients of the fundamental group of C are exploited (J corresponds to the abelianisation). The recently developed `quadratic Chabauty method' (Balakrishnan, Dogra, Muller, Tuitman, Vonk) can treat cases where r is larger and J has sufficiently many symmetric endomorphisms, notably the `cursed curve'. In this lecture I will give a geometric description of the quadratic Chabauty method in terms of the Poincare torsor on J times its dual. -
Joseph Ayoub
Une nouvelle cohomologie de Weil en caractéristique positive.
21 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
je parlerai d'une construction d'une nouvelle cohomologie de Weil qui interpole entre les différentes cohomologies $\ell$-adiques et la cohomologie rigide de Berthelot. J'énoncerai ensuite plusieurs conjectures sur l'anneau de coefficients de cette nouvelle cohomologie qui admet une action naturelle du groupe de Galois motivique d'un corps de caractéristique nulle. Une de ces conjectures entraîne l'indépendance de $\ell$ en cohomologie.
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Aurélien Sagnier
Un site arithmétique à la place complexe
28 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Dans un premier temps, j'exposerai ma vision des raisons qui ont conduit A.Connes et C.Consani à construire en géométrie arithmétique leur site arithmétique pour $\mathbb{Q}$. J'exposerai ensuite comment j'ai construit un site arithmétique analogue pour $\mathbb{Q}(\imath)$.
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Valentina Di Proietto
A crystalline incarnation of Berthelot’s conjecture and Künneth formula for isocrystals
4 avril 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Berthelot’s conjecture predicts that under a proper and smooth morphism of varieties in characteristic p, the higher direct images of an overconvergent F-isocrystal are overconvergent F-isocrystals. In a joint work with Fabio Tonini and Lei Zhang we prove that this is true for crystals up to isogeny. As an application we prove a Künneth formula for the crystalline fundamental group. -
Johan Commelin
On the cohomology of smooth projective surfaces with p_g = q = 2 and maximal Albanese dimension
11 avril 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Abstract: In this talk I will report on a joint project with Matteo Penegini (Genova). The second cohomology of a surface S as mentioned in the title splits up as a sum of two pieces. One piece comes from the Albanese variety. The other piece looks like the cohomology of a K3 surface, which we call a K3 partner X of S. If the surface S is a product-quotient then we can geometrically construct the K3 partner X and an algebraic correspondence that relates the cohomology of S and X. Finally, we prove the Tate and Mumford-Tate conjectures for all surfaces S that lie in the same connected component of the Gieseker moduli space as a product-quotient surface. -
Laura Pertusi
On the double EPW sextic associated to a Gushel-Mukai fourfold
25 avril 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
The derived category of a cubic fourfold admits a semiorthogonal decomposition whose non trivial component is a subcategory of K3 type by a result of Kuznetsov. This allowed to prove many properties on the geometry of the hyperkaehler manifolds associated to the cubic fourfold. More recently, Kuznetsov and Perry found a semiorthogonal decomposition with a K3 type component in the case of an other class of fourfolds, known as Gushel-Mukai fourfolds. The aim of this talk is to discuss a generalization of some results on lattice theory, proved for cubic fourfolds by Addington, Thomas and Huybrechts, in the setting of Gushel-Mukai fourfolds. In particular, we discuss the conditions under which their associated hyperkahler fourfold is birational to a moduli space of stable sheaves (resp. to the Hilbert square) on a K3 surface. -
Susanna Zimmermann
Groupes de Cremona de dimension supérieure
2 mai 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Les groupes de Cremona sont les groupes des transformations birationnelles des espaces projectifs. Déjà en 1895 Enriques s’est demandé s’ils contiennent des sous-groupes normaux propres et non-triviaux. Cantat et Lamy ont montré que le groupe de Cremona planaire complexe n’est pas simple. Je vais présenter que les groupes de Cremona de dimension suprérieure ne sont pas simple non plus. C’est un travail en collaboration avec J. Blanc et S. Lamy. -
Grzegorz Kapustka
Nodal Gushel-Mukai fourfolds
9 mai 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
We prove that a general nodal GM fourfold is birational to a Verra fourfold. We describe precisely the birational map from the perspective of elementary transformations of Azumaya algebras. This is a joint work in progress with G.Bini, M.Kapustka, R.Laterveer. -
Quentin Guignard
Facteurs locaux géométriques
6 juin 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
On commencera par rappeler la théorie (due à Deligne-Langlands) des facteurs epsilon de représentations l-adiques sur des corps locaux à corps résiduel fini. On expliquera ensuite comment définir des facteurs locaux pour des représentations l-adiques sur des corps de séries de Laurent k((t)), avec k un corps parfait de caractéristique positive p différente de l. On dispose alors d'une décomposition du déterminant de la cohomologie d'un faisceau l-adique sur une courbe lisse sur un tel corps k, en un produit de contributions locales. Lorsque k est fini, on retrouve ainsi la théorie classique de Dwork, Langlands, Deligne, et Laumon -
Yuri Zahrin
On uniformity conjectures for abelian varieties and K3 surfaces
13 juin 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
We discuss logical links among uniformity conjectures concerning K3 surfaces and abelian varieties of bounded dimension defined over number fields of bounded degree. The conjectures concern the endomorphism algebra of an abelian variety, the Néron–Severi lattice of a K3 surface, and the Galois invariant subgroup of the geometric Brauer-Grothendieck group. (based on joint work with Martin Orr and Alexei Skorobogatov) -
Nils Matthes
(Relative) Motivic periods
12 septembre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
This will be an overview talk on the notion of motivic period, both "absolutely" and "in families". Originally conceived of by Grothendieck and further developed by several mathematicians (Deligne, André, Brown,...), the comparison between de Rham and Betti cohomology of algebraic varieties leads to an interesting class of complex numbers, the periods. Keeping track systematically of the intervening cohomology classes leads to the notion of motivic periods. A crucial feature is that these come equipped with a kind of Galois action generalising Galois theory of algebraic numbers. This leads to a whole panoply of new invariants which can be associated to periods. -
Yichao Tian
Sur la conjecture de Beilinson-Bloch-Kato pour les motives de Rankin-Selberg.
26 septembre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Une conjecture remarquable de Beilinson, Bloch et Kato prétend que l’ordre d’annulation de la fonction-L complexe d’un motif est égal à le rang du groupe de Selmer de son dual motif. Dans cet exposé, je vais expliquer un nouveau résultat sur cette conjecture pour un motif de Rankin-Selberg de type GL_n*GL_{n+1} dans le cas de rang 0 et !. Dans notre méthode, la réduction semi-stable des variétés de Shimura unitaires en une place non-quasi-déployé joue un rôle essentiel. C’est un travail en commun avec Yifeng Liu, Liang Xiao, Wei Zhang et Xinwen Zhu. -
Alberto Vezzani
Nouvelles cohomologies p-adiques à travers la théorie de l'homotopie motivique
3 octobre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Nous rappelons les définitions et les propriétés majeures des motifs analytiques rigides (introduits par Ayoub) et nous les utilisons pour définir une nouvelle cohomologie pour des variétés en égale caractéristique p à valeurs dans les fibrés vectoriels sur la courbe de Fargues-Fontaine du corps de base (développée avec A.-C. Le Bras). Au passage, nous décrivons les limites et l’intérêt de la réalisation topologique motivique, suivant Berkovich. -
Andrej Dujella
Rational Diophantine tuples and elliptic curves
10 octobre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
A rational Diophantine m-tuple is a set of m nonzero rationals such that the product of any two of them increased by 1 is a perfect square. The first rational Diophantine quadruple was found by Diophantus (it was the set {1/16, 33/16, 17/4, 105/16}). It is known that there are infinitely many Diophantine quadruples in integers (the first example, the set {1,3,8,120}, was found by Fermat), and He, Togbe and Ziegler proved recently that there are no Diophantine quintuples in integers. Euler proved that there are infinitely many rational Diophantine quintuples. In 1999, Gibbs found the first example of a rational Diophantine sextuple. It is still an open question whether there exist any rational Diophantine septuple. In this talk, we describe several constructions of infinite families of rational Diophantine sextuples. These constructions use properties of corresponding elliptic curves. We will also mention some other connections between Diophantine tuples and elliptic curves, including construction of high-rank elliptic curves over Q with given torsion group. -
Alberto Cattaneo
Birational geometry and automorphisms of punctual Hilbert schemes
24 octobre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
It is known that the movable cone of a projective hyperkähler manifold admits a locally polyhedral wall-and-chamber decomposition which encodes information on the birational geometry of the manifold. In the case of moduli spaces of Bridgeland-stable objects on K3 surfaces, Bayer and Macrì provided a lattice-theoretical description of this decomposition, which allows for explicit computations. I will explain how to use these results to obtain a purely arithmetic classification of the groups of birational and biregular automorphisms of Hilbert schemes of points on a generic projective K3 surface. If time allows, I will also explain how these constructions fit in the more general setting of automorphisms of hyperkähler manifolds of K3^[n]-type. -
Erwan Rousseau
Automorphismes de feuilletages
7 novembre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Nous discuterons dans divers contextes la finitude transverse du groupe des automorphismes (ou plus généralement des transformations birationnelles) préservant un feuilletage holomorphe. Cette étude fournit également des résultats sur la distribution des courbes entières dans les variétés munies de tels feuilletages qui suggèrent des généralisations naturelles des lieux exceptionnels (analytiques et arithmétiques) de Lang aux variétés non-spéciales (au sens de Campana). C’est un travail en commun avec F. Lo Bianco, J.V. Pereira et F. Touzet. -
Gregoire Menet
Sur les orbifoldes hyperkählériennes compactes
21 novembre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Depuis le théorème de décomposition de Bogomolov, les variétés hyperkählériennes jouent un rôle important en géométrie algébrique, elles peuvent être considérées comme des briques élémentaires dans le projet de classification des variétés kählériennes. Cependant on constate que considérer des variétés lisses n'est pas suffisant pour arriver à une classification satisfaisante. Le cadre des orbifoldes hyperkählériennes répond en parti à cette problématique. Une orbifolde est une généralisation de variété constituée par le recollement de quotients d’ouverts de C^n par des groupes finis. Dans cet exposé je ferai un tour d'horizon des principaux résultats dans ce domaine et j’ébaucherai aussi une classification de ces objets par un état des lieux des exemples connus. -
Federico Lo Bianco
Automorphismes de variétés hyperkahlerienness: dynamique et structures invariantes
5 décembre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
les variétés hyperkahleriennes (ou symplectique holomorphe irréductible) forment une classe importante des variétés à fibré canonique trivial. Dans cet exposé je m'intéresse à la dynamique des automorphismes de ces variétés, et plus précisément à la description des possibles structures géométriques invariantes. La cohomologie des variétés hyperkahleriennes présente une forte similarité avec celle des surfaces, ce qui laisse espérer de pouvoir étendre la théorie pour les automorphismes de surfaces à ce cas. Je présenterai des résultats dans cette direction ainsi qu'un work in progress sur l'existence de feuilletages invariants. -
Diletta Martinelli
On the geometry of contractions of the Moduli Space of sheaves of a K3 surface
12 décembre 2019 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Abstract: I will describe how recent advances have made possible to study the birational geometry of hyperkaehler varieties of K3-type using the machinery of wall-crossing and stability conditions on derived categories as developed by Tom Bridgeland. In particular Bayer and Macrì relate birational transformations of the moduli space M of sheaves of a K3 surface X to wall-crossing in the space of Bridgeland stability conditions Stab(X). I will explain how it is possible to refine their analysis to give a precise description of the geometry of the exceptional locus of any birational contraction of M.