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MPA S2 Algèbre
Note: Il est inutile d'apprendre par coeur les démonstrations. Il est très utile de
les comprendre.
Liste des démonstrations de cours à savoir pour les contrôles continus
- Définition du barycentre de k points, affecté de coefficients dont la somme n'est pas nulle.
- Propriétés du produit scalaire de vecteurs de R^n
- Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit mixte est nul
- Dans un espace vectoriel, si x est un vecteur, et vec{0} le vecteur nul, 0.x=vec{0}. Pour tout
scalaire \alpha, \alpha.vec{0}=vec{0}.
- Deux sous-espaces vectoriels F, G d'un espace vectoriel E sont en somme directe si et seulement
si leur intersection est nulle et si E=F+G.
- Dans un espace vectoriel de dim. n, toute famille libre a au plus n éléments et toute famille
génératrice a au moins n éléments.
- Si E est de dimension n, tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie p inférieur ou égal à n. De plus, F est égal à E si et seulement si
n=p.
- Tout sous-espace vectoriel F d'un espace de dimension finie E admet un supplémentaire.
- Si F, G sont contenus dans E, H leur intersection, dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(H).
- f une application linéaire, alors f est injective si et seulement si Ker(f)=0.
- f une application linéaire de E vers F, alors f est surjective si et seulement si Im(f)=F.
- f une application linéaire de E vers F, alors dim(E)=dim(Kerf)+dim(Imf) (théorème du rang)
- f de E vers F, (u_1, ..., u_n) une base de E. caractérisation du fait que f est injective, bijective et surjective en
fonction de (f(u_1), ..., f(u_n)).
- formules de changement e base (sans démonstration).
- M_n(K) est somme directe de l'espace vectoriel des matrices symétriques et anti-symétriques.
- Deux matrices semblables ont même trace.
- A savoir, mais sans la démonstration : deux matrices A etB ont même rang si et
seulement si elles sont équivalentes (il existe P,Q deux matrices inversibles
si et seulement si A=P^{-1}BQ).
- Une matrice carrée est inversible si et seulement si sa transposée est
inversible.
- Le rang d'une matrice est égal au rang de sa transposée.
- u un endomorphisme d'un espace vectoriel E, alors le scalaire a est valeur propre
de u ssi (Ker(u-aId)=0) ou encore ssi a est racine du polynôme
caractéristique de u.
- critère de diagonalisabilité d'un endomorphisme u : u un endomorphisme
de E est diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut
dimE.
- soit u un endomorphisme de E, alors u est trigonalisable ssi son polynome
caractéristique est scindé (sans démonstration).
- soit u un endomorphisme de E, a une valeur propre de u, n l'exposant de
(X-a)^n dans le polynôme caractéristique de u, alors la dimension de l'espace
propre associé à a est inférieure ou égale n. Sachez donner des exemples où
il y a égalité dim(E_a)=n et où dim(E_a) est strictement plus petit que n.