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MPA S2 Algèbre

• Feuilles d'exercices

  • Sous-espaces de R^n, géométrie affine en petite dimension (feuille d'exercices 1(pdf), dvi, tex ), et (feuille d'exercices 2 (pdf), dvi, tex ).
  • Espaces vectoriels, familles libres, familles liées de vecteurs (feuille d'exercices 3 (pdf), dvi, tex ).
  • Espaces vectoriels de dimension finie, familles libres, génératrices de vecteurs (feuille d'exercices 4 (pdf), dvi, tex ).
  • Applications linéaires (feuille d'exercices 5 (pdf), dvi, tex ).
  • Applications linéaires : théorème du rang et matrices, (feuille d'exercices 6 (pdf), dvi, tex ).
  • Rang d'une application linéaire, et d'une matrice, (feuille d'exercices 7 (pdf), dvi, tex ).
  • Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme, (feuille d'exercices 8 (pdf), dvi, tex ).
  • Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme (suite), (feuille d'exercices 9 (pdf), dvi, tex ).
  • Enoncé de problème à la maison, (devoir maison (pdf), dvi, tex ).
  • Exercices de révision, (feuille d'exercices 10 (pdf), dvi, tex ).

• Textes des contrôles

  • controle continu 1 (pdf), dvi, tex.
  • controle terminal (pdf), dvi, tex.

• Liste des démonstrations du cours pour les différents contrôles et examens.

• Programmes de colles

  • Mise en garde. Les colles du lundi et mardi portent sur le programme de la semaine S-1, les colles du jeudi et vendredi portent sur le programme de la semaine S. Je demande qu'une question de cours facile concernant la semaine S ou S-1 soit posée : elle doit être bien traitée. La note doit refléter le travail fourni par l'étudiant. En particulier, il faut sanctionner le fait que le cours ne soit pas connu.
    
    
  • Semaine du 28 janvier 2013 : sous-espaces vectoriels et affines de R^n, définitions, les sous-espaces vectoriels sont stables par combinaison linéaire, barycentres, définitions et propriétés du produit scalaire et mixte.
  • Semaine du 4 février 2013 : revoir programme semaine précédente, espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, sous-espaces supplémentaires, espace engendré par une partie. En fin de semaine seulement : familles libres et liées de vecteurs.
  • Semaine du 11 février 2013 : espaces vectoriels de dimension finie, théorème de la base incomplète, dimension d'une somme directe de sous-espaces, fait que si E est un K-espace vectoriel de dimension n, alors toute famille libre de n vecteurs est une base, et toute famille libre a un cardinal inférieur à n, énoncés analogues pour les familles génératrices.
  • Semaine du 18 février 2013 : applications linéaires, Kerf et Imf sont des sous-espaces vectoriels des espaces de départ et d'arrivée respectivement, caractérisation de l'injectivité à l'aide du noyau, de la surjectivité à l'aide de l'image. Définition des projecteurs et des symétries vectoriels en dimension finie, et caractérisation : les projecteurs sont les applications linéaires vérifiants pop=p et les symétries vectorielles sont les involutions. En dimension finie, une application linéaire est définie par l'image des éléments d'une base. Peut-être : énoncé sans démonstration du théorème du rang. Le lien avec les matrices n'a pas encore été fait.
  • Semaine du 4 mars 2013 : théorème du rang pour les applications linéaires en dimension finie, formes linéaires et hyperplans vectoriels (deux formes linéaires sont proportionnelles si et seulement si elles ont même noyau), matrice d'une application linéaire, matrice de changement de base, application au calcul pratique de la matrice d'un projecteur ou d'une symétrie vectorielle.
  • Semaine du 11 mars 2013 : matrices de changement de base, application au calcul de la matrice d'un projecteur ou d'une symétrie vectoriels, rang d'une application linéaire, rang d'une matrice, deux matrices ont même rang si et seulement si elles sont équivalentes, transposition, matrices symétriques et anti-symétriques, ces deux sous-espaces vectoriels sont en somme directe.
  • Semaine du 18 mars 2013 : peu de cours cette semaine : deux matrices équivalentes ont même rang, le rang peut être déterminé à partir des sous-déterminants d'une matrice, étude des premières propriétés de la trace. Deux matrices semblables ont même trace.
  • Semaine du 25 mars 2013 : définition de vecteur propre er de valeur propre d'un endomorphisme (et d'une matrice). Définition du sous-espace propre associé à une valeur propre. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe. Définition d'endomorphisme (et d'une matrice) diagonalisable. Un scalaire a est une valeur propre d'un endomorphisme f ssi Ker(f-aId) est non nul. Pas encore de polynôme caractéristique.
  • Semaine du 1er avril 2013 : pas de nouveau cours cette semaine, à cause du lundi de Pâques.
  • Semaine du 8 avril 2013 : Polynôme caractéristique d'une matrice et d'un endomorphisme. Toute valeur propre d'un endomorphisme est racine du polynôme caractéristique. En particulier, en dimension n, un endomorphisme a au plus n valeurs propres. Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon. Toute matrice ayant n valeurs propres distinctes est diagonalisable. Une matrice est diagonalisable ssi le polynôme caractéristique est scindé et si la multiplicité des racines du polynôme caractéristique est la dimension du sous-espace propre correspondant. Trigonalisation : une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé. Corollaire : sur le corps des nombres complexes, la dimension du sous-espace propre associé à $\lambda$ est inférieure à la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique.
  • Pas de cours du tout la semaine du 22 avril.
  • Semaine du 29 avril : peu de cours. Construction du corps C comme sous-matrices 2x2 de M_2( R ). Déterminant de van der Monde.

• Sources

  Beaucoup d'exercices viennent du site exo7. Que les auteurs soient ici remerciés.