Master Class
EDP, Optimisation et Données

Introduction aux problèmes inverses des EDO
Application à l’estimation paramétrique des EDO

1. Introduction : quelques exemples de problèmes inverses : estimation de condition initiale, estimation de condition géométrique, estimation de paramètres ...
2. Estimation paramétrique et/ou de condition initiale
• Maximum de vraisemblance (lien avec les moindres carrés)
• Méthodes dites variationnelles : via des procédures itératives comme la descente de gradient, l’algorithme Nelder-Mead, l'algorithme espérance-maximisation …
• Méthodes dites séquentielles : filtre de Kalman et filtre de Luenberger (nudging)

Une introduction à la méthode des lignes de niveaux et à ses applications

Depuis son introduction dans les années 1980, la méthode des lignes de niveaux est un outil de choix lorsqu’il s’agit de représenter une interface en évolution.

Brièvement, elle repose sur un changement de point de vue, par lequel l’interface mobile est décrite de manière implicite - comme l’ensemble de niveau 0 d’une fonction auxiliaire définie sur tout l’espace ambiant. Sur le plan théorique, ce changement de point de vue offre une modélisation souple de problèmes d’évolution de domaines qui sont classiquement très difficiles à paramétrer. Dans la pratique numérique, la méthode des lignes de niveaux rend compte avec une robustesse et une efficacité uniques de très grandes déformations, y compris des changements de topologie (permettant par exemple de modéliser des gouttes de fluide qui se séparent, ou à l’inverse coalescent).

Cette méthode très générale est aujourd’hui couramment utilisée dans les milieux académiques et industriels pour traiter des phénomènes aussi divers que l’évolution d’interfaces fluides, l’optimisation de structures par déformations itératives de leur frontière, la segmentation d’images obtenues par IRM dans le domaine bio-médical, etc.

L’objectif de ce mini-cours est d’esquisser quelques aspects théoriques liés à la méthode des lignes de niveaux, mais aussi, et surtout, de présenter les principaux outils numériques liés à sa mise en œuvre pratique, ainsi que certaines de ses applications les plus spectaculaire.

Références

• G. Allaire, F. Jouve, and A.-M. Toader, Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method, Journal of computational physics, 194 (2004), pp. 363–393.
• Y. Giga, Surface evolution equations, Springer, 2006.
• S. Osher and R. Fedkiw, Level set methods and dynamic implicit surfaces, vol. 153, Springer Science & Business Media, 2006.
• J. A. Sethian, Level set methods and fast marching methods: evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science, vol. 3, Cambridge university press, 1999.
• S. O. Unverdi and G. Tryggvason, A front-tracking method for viscous, incompressible, multi-fluid flows, Journal of computational physics, 100 (1992), pp. 25–37.

Réseaux de Neurones et Analyse Numérique

Le cours abordera essentiellement 3 points.

Le premier sera la structure des fonctions que l'on peut construire dans un réseau de neurones à l'aide des logiciels récents (tels que Tensorflown, Scikit-learn, Julia) et les résultats de précision numérique asymptotique tels que le théorème de Yarotsky, et d'autres.

Le deuxième concernera la construction des datasets en reprenant les résultats standard (approximation uniforme, méthode de Monte-Carlo) et en considérant plus particulièrement les méthodes de types hypercubes Latin qui sont très appréciées en datascience.

Le troisième finira en abordant la question des algorithmes de minimisation utilisés pour le training, et en montrant comment réinterpréter certains d'entre eux dans un cadre classique non stochastique.

Autant que faire se peut, les concepts théoriques seront illustrés par des résultats de simulation numérique dont certains obtenus pour la construction de flux de Volumes Finis pour résoudre une équation aux dérivées partielles motivée par des problèmes d'interface.

Stabilité asymptotique d'équilibres pour des équations de type Vlasov

On s'intéressera à des équations de transport cinétique non-linéaires de type Vlasov. Le but du cours sera d'étudier la stabilité et le comportement des solutions au voisinage d'équilibres.

Dans le premier cours, on étudiera le comportement des solutions au voisinage de zéro. On étudiera le cas des conditions périodiques en espace à travers le modèle très simple de Vlasov-HMF et le cas de solutions localisées sur l'exemple de l'équation de Vlasov-Poisson en dimension 3.

Dans la suite du cours on s'intéressera au cas de petites perturbations d'équilibres spatialement homogènes \( f(x,v)= F(v) \). On obtiendra d'abord un critère de stabilité linéaire. On s'intéressera ensuite à la stabilité non-linéaire et au comportement asymptotique de petites perturbations. On traitera le cas de l'équation de Vlasov-Poisson avec des conditions périodiques en espace et le cas de solutions localisées en dimension 3.