COURS M1 "GÉOMETRIE DIFFÉRENTIELLE" 4M022

Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques fondamentales
Septembre-Décembre 2016

Cours : je 13h45-15h45 (24.25.101), ve 13h45-15h45 (14.24.107) (Alexandru Oancea)  
   
TD : lu 13h45-16h45 (24.34.107), je 16h15-19h15 (54.55.205) (Hélène Eynard-Bontemps)

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Cette page contient l'état d'avancement du cours, mais aussi le polycopié du cours, les feuilles d'exercices et d'autres documents supplémentaires.

Date du partiel : le jeudi 27 octobre 2016, 16h15-19h15, 54.55.205.


SUJET DE L'EXAMEN PARTIEL DU 27 OCTOBRE 2016

CORRIGÉ DU PARTIEL


 Page web du cours 2014-2015

PAGE WEB DU TD

POLYCOPIÉ DU COURS (version du 16 septembre 2016)

DEVOIR MAISON NO. 1 ( DISTRIBUÉ LE 7 OCTOBRE, À RENDRE LE 14 OCTOBRE)

CORRIGÉ DU DEVOIR MAISON NO. 1





ETAT D'AVANCEMENT DU COURS

 Les numéros de sections dans le polycopié sont donnés à titre indicatif. Nous ne suivrons pas le polycopié de façon linéaire.


Semaine 1, séances du 8 et 9 septembre (§1.1-1.4)

Rappels de calcul diff\'erentiel. Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites, forme normale locale pour les immersions, forme normale locale pour les submersions.

Définition et discussion des immersions, plongements, submersions. Exemples.

Trois définitions équivalentes des sous-variétés de Rn\mathbb{R}^n : redressement, image locale de plongement lisse, solution locale d'un système d'équations submersif.

Équations paramétriques et équations cartésiennes pour sous-espaces vectoriels.



Semaine 2, séances du 15 et 16 septembre (§1.5, §3.1-3.5) 

Deux notions d'équivalence entre sous-variétés. Homéomorphismes et exemples. Le graphe de la fonction R⟶R\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x↦|x|x \mapsto |x| n'est pas une sous-variété de R2\mathbb{R}^2. Difféoméorphismes entre sous-variétés.

Définition d'une variété différentiable "abstraite". Atlas. Cartes. Atlas sur une sous-variété de Rn\mathbb{R}^n.

Définition équivalente d'une variété différentiable sans donner de topologie a priori. La topologie est déterminée par l'atlas.

Exemple archétypal de variété : espaces de configurations. L'espace des droites vectorielles d'un espace vectoriel (le projectivisé P(V)\mathbb{P}(V)). L'espace des droites vectorielles orientées d'un espace vectoriel. L'espace des droites affines orientées. Un problème géométrique dans lequel l'espace des droites affines orientées apparaît naturellement.

La projectivisation de Rn\mathbb{R}^n comme quotient de la sphère Sn-1S^{n-1}. L'espace projectif Pk(R)\mathbb{P}^k(\mathbb{R}) comme union de l'espace affine et de l'hyperplan à l'infini Pk-1(R)\mathbb{P}^{k-1}(\mathbb{R}). Différentes constructions de type recollement. La bande de Möbius.

La notion de topologie quotient. Propriété d'universalité de la topologie quotient.


Semaine 3, séances du 22 et 23 septembre (§3, §2.1)
 
Retour sur la topologie quotient.

Atlas sur le projectivisé d'un espace vectoriel. Atlas fini sur le projectivisé de Rn+1\mathbb{R}^{n+1}.

Motivation pour l'étude de l'espace projectif : compacité, discussion de la notion de compactification d'un espace topologique et en particulier du compactifié d'Alexandroff.

Lieu d'annulation de polynômes. Homogénéisation de polynômes.


Espace tangent à une sous-variété d'un espace linéaire, défini en tant que sous-espace vectoriel de l'espace ambient (via applications de redressement, via paramétrisations locales, via systèmes submersifs d'équations, via vecteurs tangents de courbes).

Différentielle d'une application lisse entre sous-variétés (comme restriction de la différentielle d'une extension, via applications de redressement, via transport de courbes suivi de dérivation).

Exemple : la sphère de dimension deux et la fonction hauteur. Points critiques.

Toutes les notions et tous les théorèmes de nature locale en calcul différentiel se transposent aux applications lisses entre sous-variétés. Preuve du théorème d'inversion locale dans ce contexte.


Semaine 4, séances du 29 et 30 septembre (§2)
 
Espace tangent en un point à une variété différentiable. Point de vue "faisceautique", en utilisant des cartes. Point de vue des classes d'équivalence de courbes passant par le point.

Différentielle d'une application lisse entre variétés différentiables.

Fibré tangent.

La notion de fibré vectoriel. Exemples de fibrés triviaux/non-triviaux. Les deux fibrés de rang 1 sur le cercle : le fibré trivial et la bande de Möbius. Le fibré tangent à S1S^1 est trivial. Le fibré normal à RP1\mathbb{R}P^1 dans RP2\mathbb{R}P^2 est la bande de Möbius. Enoncé du théorème du voisinage tubulaire. Le fibré tangent à S2S^2 n'est pas trivial. Enoncé du théorème de la boule chevelue. Le fibré tangent à S3S^3 est trivial. Quaternions.

La trivialité d'un fibré de rang kk est équivalente à l'existence de kk sections linéairement indépendantes en chaque point.

Un champ de vecteurs sur une variété est une section du fibré tangent.

Motivation pour l'étude des champs de vecteurs : ensemble de directions infinitésimales de mouvement pour un système physique évolutif, modelé par une famille à un paramètre de difféomorphismes. La notion de flot d'un champ de vecteurs.


Semaine 5, séances du 6 et 7 octobre (§4.1-4.2)
 
Rappels sur les équations différentielles ordinaires dans des ouverts de Rn\mathbb{R}^n. Théorème de Cauchy-Lipschitz (esquisse de preuve, théorème de point fixe de Picard, équation intégrale associée à une équation différentielle). Dépendance lisse des solutions par rapport aux paramètres. La notion de flot d'un champ de vecteurs. Le flot est un difféomorphisme. Le flot des champs de vecteurs à support compact est globalement défini. Champs de vecteurs autonomes. Propriété de groupe à un paramètre du flot.

Champs de vecteurs sur les variétés. Flot. Toutes les notions et tous les résultats de nature locale valables pour les champs de vecteurs sur des ouverts de Rn\mathbb{R}^n se transfèrent aux variétés. Le flot d'un champ de vecteurs à support compact est globalement défini. Cas particulier : le flot d'un champ de vecteurs sur une variété compacte est globalement défini.

Les champs de vecteurs sont utiles pour construire des difféomorphismes. Application : premier théorème fondamental de la théorie de Morse (deux niveaux réguliers f-1(a)f^{-1}(a) et f-1(b)f^{-1}(b), a<ba<b d'une fonction propre sont difféomorphes si l'intervalle [a,b][a,b] ne contient pas de valeur critique). Champs de gradient.

Champ de gradient d'une fonction lisse sur une variété. La notion de métrique riemannienne.


Semaine 6, séance du 14 octobre (§1.6, §2.1)

Espaces topologiques séparés. Espaces topologiques à base dénombrable. Exemples.

La notion de partition de l'unité. Existence de partitions lisses de l'unité sur les variétés séparées et à base dénombrable.

Fonctions de troncature. Principe d'extension après restriction. Exemple : construction de champs de vecteurs. Exemple d'application des partitions de l'unité : existence d'une métrique riemannienne sur toute variété séparée et à base dénombrable.

Une métrique riemannienne permet de mesurer des longueurs de courbes. Distance associée à une métrique riemannienne.

Troisième point de vue sur les vecteurs tangents : dérivations sur les germes de fonctions.


Semaine 7, séances du 20 et 21 octobre (§ 2.1.III, §4.3, §3.5)

Vecteurs tangents en tant que dérivations (suite et fin). Calculs avec des champs de vecteurs en coordonnées.

Crochet de Lie de deux champs de vecteurs. Définition et propriétés. La notion d'algèbre de Lie. Champs de vecteurs en tant que vecteurs tangents en l'identité au groupe des difféoméorphismes d'une variété.

Quotient d'une variété par une action propre et libre de groupe discret.


Semaine 8, séance du 28 octobre (§4.3.3 et §4.3.4)

Tirés en arrière et poussés en avant de champs de vecteurs par des difféomorphismes. Interprétation en termes de flot.

Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs. La dérivée de Lie est égale au crochet.

Expression du crochet en tant que dérivée impliquant le flot.

Le crochet de deux champs de vecteurs est nul si et seulement si leurs flots commutent.


Semaine 9, séance du 4 novembre (§5.3, §5.5.2)

Rappels de calcul intégral dans Rn\mathbb{R}^n . Interprétation géométrique de la formule de changement de variable dans l'intégrale multiple. Motivation pour le fait que, en l'absence d'une mesure, les objets que nous pouvons intégrer sur une variété ne sont pas des fonctions. Définition des formes différentielles de degré maximal.

Algèbre multilinéaire. Dimension de l'espace des formes multilinéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension finie. Bases. Déterminants.

Produit extérieur sur l'espace des formes multilinéaires altérnées. Les éléments de la base duale forment un système de générateurs pour la structure d'algèbre donnée par le produit extérieur.


Semaine 10, séance du 10 novembre (§5.5.2.(III), §5.4.2)

Produit tensoriel de deux espaces vectoriels. Puissances extérieures d'un espace vectoriel. Objets définis par des propriétés d'universalité.

Définition de l'intégrale d'une forme différentielle à support compact.
  


©2016 Alexandru Oancea. Dernière mise à jour : 13 novembre 2016.