- 14:00. Accueil
- 14:15. Matthieu Josuat-Vergès
[Slide]
« Quelques propriétés du poset des fonctions de parking (1/2) »
Le but de ce mini-cours est de présenter quelques aspects de la
combinatoire
des posets, et notamment le point de vue topologique. L'opération de
base
consiste à associer à un poset son ensemble de chaînes strictes, qui a
une
structure de complexe simplicial (stabilité par sous-ensemble). On se
concentrera sur des objets particuliers: les fonctions de parking et les
partitions non-croisées, mais aussi des arbres non-croisées, entre
autres:
leur combinatoire très riche permet d'illustrer de nombreux points de la
théorie des posets. Si le temps le permets, je présenterai aussi
comment
les représentations du groupe symétrique peuvent enrichir la
combinatoire
des posets.
- 15:15. David Wahiche [Slide]
« Théorèmes de multiplication pour les partitions auto-conjuguées »
En 2011 Han et Ji, et plus récemment Walsh et Warnaar, ont
prouvé des théorèmes de multiplication-addition pour des partitions
d'entiers. De ces derniers, on peut obtenir beaucoup d'applications
intéressantes permettant des généralisations de formules d'équerre,
parmi lesquelles des généralisations de la formule de Nekrasov-Okounkov.
Dans cet exposé, j'expliquerai comment prouver des analogues et des
extensions de la plupart de ces résultats aux partitions auto-conjuguées
en utilisant les propriétés de la décomposition de Littlewood.
- 16:00. Pause
- 16:30. Daniel Tamayo
[Slide]
« Permutrees: Permutation sorting, automata, and lattice quotients »
We define permutree sorting which generalizes the stack sorting
and Coxeter sorting algorithms respectively due to Knuth and Reading.
Given two disjoint subsets U and D of {2,...,n}, it consists of
an algorithm that fails for a permutation if and only if there are
integers i<j<k in [n] such that the permutation contains the pattern
jki (resp. kij) if j is in U (resp. in D). We present this
algorithm through automata that read reduced expressions and accept only
those that form a special structure within the weak order. This is joint
work with Vincent Pilaud and Viviane Pons.
- 17:15. Hugo Mlodecki
[Slide]
« Un automorphisme bidendriforme de WQSym »
Grâce aux travaux de Foissy, on sait que l'algèbre de Hopf WQSym est isomorphe à
sa duale car bidendriforme. Dans cet exposé nous montrons comment construire un
isomorphisme bidendriforme combinatoire explicite. Pour ceci nous représentons
deux décompositions récursives des mots tassés par deux nouvelles familles
combinatoire appelées forêts biplanes rouge et bleue. On obtient alors deux
bases de WQSym et sa duale. L'intérêt de ces bases est qu'en prenant des
sous-ensembles explicites, on obtient des bases de éléments primitifs et
totalement primitifs. Nous combinons soigneusement les forêts rouges et bleues
pour obtenir des forêts bicolores. Une simple recoloration des arêtes nous
permet d'obtenir le premier automorphisme bidendriforme explicite de WQSym.
- 19:30. Dîner
|
- 8:30. Matthieu Josuat-Vergès
[Slide]
« Quelques propriétés du poset des fonctions de parking (2/2) »
Le but de ce mini-cours est de présenter quelques aspects de la
combinatoire
des posets, et notamment le point de vue topologique. L'opération de
base
consiste à associer à un poset son ensemble de chaînes strictes, qui a
une
structure de complexe simplicial (stabilité par sous-ensemble). On se
concentrera sur des objets particuliers: les fonctions de parking et les
partitions non-croisées, mais aussi des arbres non-croisées, entre
autres:
leur combinatoire très riche permet d'illustrer de nombreux points de la
théorie des posets. Si le temps le permets, je présenterai aussi
comment
les représentations du groupe symétrique peuvent enrichir la
combinatoire
des posets.
- 9:30. Bérénice Delcroix-Oger
[Slide]
« Structure tridendriformes sur les faces des associaèdres d'hypergraphes »
En 2004, Jean-Louis Loday et Maria Ronco ont introduit la notion
d'algèbre tridendriforme et muni l'espace vectoriel des arbres plans
d'une structure d'algèbre tridendriforme. Emily Burgunder et Maria Ronco
ont ensuite étendu leur définition aux surjections en 2010. Les arbres
plans et les surjections forment les faces de deux polytopes bien connus
: l'associaèdre et le permutoèdre. Dans un travail récent avec
Pierre-Louis Curien et Jovana Obradovic, nous avons étendu ces
constructions aux faces de certains associaèdres d'hypergraphes appelés
clans associatifs. Après avoir présenté le contexte et les définitions
nécessaires, je présenterai cette construction et des exemples de celle-ci.
- 10:15. Pause
- 10:45. Balthazar Charles
[Slide]
« Eléments bas et petits ensembles d'inversion en rang 3 »
Une des multiples façon d'étudier les groupes de Coxeter est d'utiliser leur structure de groupes automatiques,
c'est-à-dire le fait que pour tout groupe de Coxeter, il existe un automate fini reconnaissant le langage des
mots réduits du groupe. La preuve de ce caractère automatique a été donnée par B. Brink et R. Howlett en 1993 et
utilise fortement la notion de petites racines qui est définie en termes géométriques : les racines d'un
groupe de Coxeter sont un ensemble de vecteurs sur lequel agit le groupe, et les petites racines en sont,
en un certain sens, les éléments minimaux.
La recherche d'automates minimaux reconnaissant le langage des groupes de Coxeter, ainsi que des questions
voisines dans les groupes de tresses, a conduit à l'étude des petits ensembles d'inversion et à la définition
par M. Dyer et C. Hohlweg '15 des éléments bas. Ces éléments forment un sous-ensemble du groupe de Coxeter qui
s'injecte naturellement dans les petits ensembles d'inversion. M. Dyer et C. Hohlweg conjecturent dans leur article
"Small roots, low elements and the weak order in Coxeter groups" '15 que ces éléments bas sont en fait en bijection
avec les petits ensembles d'inversion.
L'objectif de cette présentation est de donner un schéma de la preuve de cette conjecture dans les groupes de
rang 3. On insistera en particulier sur l'aspect calculatoire des groupes de Coxeter et de leur systèmes de racines :
comment calculer des exemples de systèmes de racines, comment en obtenir une représentation graphique en rang
3 ou 4, interprétation géométrique des ensembles d'inversion et de la profondeur infinie.
- 11:30. Houcine Ben Dali [Slide]
« La conjecture Matching-Jack et la b-conjecture »
Une carte est le plongement unicellulaire d'un graphe sur une surface,
orientable ou pas. En utilisant l'encodage des cartes avec des Matchings
et des outils de la théorie des représentations, la série génératrice
multivariée des cartes peut être exprimée en termes de certaines
familles de fonctions symétriques; les fonctions de Schur dans le cas
orientable et les polynômes zonaux dans le cas non-orientable. En
utilisant les polynômes de Jack, Goulden et Jackson ont introduit une
déformation de ces séries génératrices à un paramètre b, qui correspond
à la série génératrice des cartes orientables pour b=0, et non
orientables pour b=1. La b-conjecture suggère que cette b-déformation a
une interprétation combinatoire pour tout b, et qu'elle énumère des
cartes considérées avec un b-poids corrélé à leur orientabilité. La
conjecture Matching-Jack peut être considérée comme une version
non-connexe de la b-conjecture. Dans cet exposé je présente un résultat
récent de Chapuy et Dołęga qui donne la b-conjecture dans le cas d'une
certaine spécialisation de la série génératrice, et j'explique comment
en déduire un résultat analogue pour la conjecture Matching-Jack.
- 12:30. Déjeuner
|