Simon Allais

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À mon propos

Je suis actuellement professeur de mathématiques appliquées en première année de prépa ECG au lycée Kléber de Strasbourg. Vous trouverez sur cette page mes publications de recherche, principalement portées sur la géométrie symplectique et de contact et la dynamique hamiltonienne.

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Adresse :
Lycée Kléber,
25 Place de Bordeaux,
67082 Strasbourg Cedex,
France.
Email :
prénom.nom.prepa@gmail.com
où prénom = simon et nom = allais.

Recherche

Prépublications

  • (avec Pierre-Alexandre Arlove) $C^1$-Local Flatness and Geodesics of the Legendrian Spectral Distance
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Dans cet article, nous calculons explicitement les sélecteurs spectraux d'ordre d'une paire de sous-variétés legendriennes $C^1$-proches appartenant à une classe d'isotopie ordonnable. La $C^1$-platitude de la distance spectrale et la caractérisation de ses géodésiques en sont déduites. Une autre conséquence est la coincidence $C^1$-locale des distances spectrale et de Shelukhin-Chekanov-Hofer. Des résultats similaires sont déduits pour certains groupes de contactomorphismes.
  • (avec Pierre-Alexandre Arlove et Sheila Sandon) Spectral selectors on lens spaces and applications to the geometry of the group of contactomorphisms
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Au moyen de l’indice de Maslov non linéaire dû à Givental, nous définissons une suite de sélecteurs spectraux sur le revêtement universel de la composante connexe de l’identité du groupe des contactomorphismes d’un espace lenticulaire quelconque. En guise d’applications, nous montrons que le flot de Reeb standard est une géodésique pour les normes discriminante et d’oscillation et nous définissons une pseudo-norme spectrale, invariante par conjugaison et stablement non-bornée.
  • (avec Pierre-Alexandre Arlove) Spectral selectors and contact orderability
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Nous étudions la notion d'ordonnabilité des classes d'isotopie de sous-variétés legendriennes et de leurs revêtements universels, avec quelques résultats plus faibles concernant les groupes de contactomorphismes. Notre résultat principal est que l'ordonnabilité est équivalente à l'existence de sélecteurs spectraux analogues aux invariants spectraux provenant de l'homologie de Floer lagrangienne. Une application directe est l'existence de cordes de Reeb entre deux legendriennes quelconques d'une même classe d'isotopie ordonnable. D'autres applications concernent la conjecture de Sandon, la conjecture de la corde d'Arnold, l'interconnexion legendrienne, l'existence de fonctions temps et l'étude de métriques dues à Hofer-Chekanov-Shelukhin, Colin-Sandon, Fraser-Polterovich-Rosen et Nakamura.

Articles

  • Morse estimates for translated points on unit tangent bundles
    À paraître dans Annales l'Institut Fourier.
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Dans cet article, nous étudions des conjectures de Sandon concernant le nombre minimal de points translatés dans le cas particulier du fibré tangent unitaire d'une variété riemannienne. Nous nous restreignons aux contactomorphismes du fibré tangent unitaire relevant les difféomorphismes de la base homotopes à l'identité. Nous montrons qu'il existe des suites $(p_n,t_n)$ où $p_n$ est un point translaté de temps de décalage $t_n$ avec $t_n\to +\infty$ pour une grande classe de variétés. Dans le cas des variétés riemanniennes Zoll, nous montrons aussi des inégalités entre le nombre de points translatés et la somme des nombres de Betti du fibré sous une hypothèse générique ou la cuplength sous une hypothèse de proximité $C^0$.
  • (avec Marie-Claude Arnaud) The dynamics of conformal Hamiltonian flows: dissipativity and conservativity
    À paraître dans Revista Matemática Iberoamericana.
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Nous étudions en détail la dynamique des flots hamiltoniens conformes qui sont définis sur une variété conformément symplectique (notion popularisée par Vaisman en 1976). Nous montrons qu'ils présentent certains comportements conservatifs et certains comportements dissipatifs. Nous construisons aussi de nombreux exemples de telles dynamiques montrant simltanément des différences et des ressemblances avec leurs analogues en géométrie symplectique ou de contact.
  • On the Hofer-Zehnder conjecture on weighted projective spaces
    Compositio Mathematica, 159 (2023), no. 1, 87–108.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Nous démontrons une extension au espaces projectifs à poids, qui sont des orbifolds symplectiques, de la version homologique de la conjecture d'Hofer-Zehnder prouvée par Shelukhin. En particulier, nous montrons que si le nombre de points fixes, comptés avec pour multiplicité leur ordre d'isotropie, d'un difféomorphisme hamiltonien non-dégénéré d'un tel espace est strictement plus grand que le minimum possible, alors le difféomorphisme possède une infinité de points périodiques.
  • On the Hofer-Zehnder conjecture on $\mathbb{C}\text{P}^d$ via generating functions (with an appendix by Egor Shelukhin)
    International Journal of Mathematics, 33 (2022), no. 10-11.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Au moyen de techniques utilisant les fonctions génératrices développées par Givental, Théret et nous-même, nous donnons une preuve sur $\mathbb{C}\text{P}^d$ de la généralisation homologique de Shelukhin du théorème de Franks. Ce résultat démontre, en particulier, la conjecture de Hofer-Zehnder dans le cas non-dégénéré : tout difféomorphisme hamiltonien de $\mathbb{C}\text{P}^d$ ayant au moins $d+2$ points périodiques non-dégénérés possède une infinité de points périodiques. Notre preuve ne fait pas appel à l'homologie de Floer ou à la théorie des courbes $J$-holomorphes. Un appendice écrit par Shelukhin propose une nouvelle preuve de l'inégalité de type Smith pour les codes-barres de difféomorphismes hamiltoniens issus de la théorie de Floer se prêtant à l'adaptation au cadre des fonctions génératrices.
  • (avec Tobias Soethe) Homologically visible closed geodesics on complete surfaces
    À paraître dans Journal of Topology and Analysis.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Nous énonçons des conditions sous lesquelles la présence d'une ou deux géodésiques fermées géométriquement distinctes sur un plan, un cylindre ou un ruban de Möbius riemannien complet impose la présence d'une infinité de géodésiques fermées géométriquement distinctes. En particulier, nous montrons qu'un cylindre riemannien complet admet zéro, une ou une infinité de géodésiques fermées homologiquement distinctes ; cela répond à une question d'Alberto Abbondandolo.
  • On the minimal number of translated points in contact lens spaces
    Proceedings of the American Mathematical Society, 150 (2022), no. 6, 2685-2693.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Dans cet article, nous montrons que tout contactomorphisme d'un espace lenticulaire standard de dimension $2n-1$ contact-isotope à l'identité possède au moins $2n$ points translatés. Cette minoration optimale raffine un résultat de Granja-Karshon-Pabiniak-Sandon et répond positivement à une conjecture de Sandon.
  • On periodic points of Hamiltonian diffeomorphisms of $\mathbb{C}\text{P}^d$ via generating functions
    the Journal of Symplectic Geometry, Volume 20 (2022), Number 1, Pages: 1-48.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Inspirés des techniques de Givental et Théret, nous donnons une preuve de récents résultats de Ginzburg-Gürel concernant les points périodiques de difféomorphismes hamiltoniens de $\mathbb{C}\text{P}^d$ utilisant les fonctions génératrices. Nous sommes par exemple en mesure de redémontrer que les points fixes des pseudo-rotations sont isolés comme ensemble invariant ou encore qu'un difféomorphisme hamiltonien ayant un point fixe hyperbolique a une infinité de points périodiques.
  • On the growth rate of geodesic chords
    Differential Geometry and its Applications, Volume 73, December 2020, 101668.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé On prouve que toute variété de Finsler, complète vers l'avant, de groupe fondamental infini et non homotopiquement équivalente à $S^1$ possède une infinité de géodésiques géométriquement distinctes joignant n'importe quelle paire de points $p$ et $q$. Dans le cas particulier où $\beta_1 (M;\mathbb{Z})\geq 1$ et $M$ est close, le nombre de géodésiques géométriquement distinctes joignant deux points augmente au moins logarithmiquement avec la longueur.
  • A contact camel theorem
    International Mathematics Research Notices, Volume 2021, Issue 17, September 2021, Pages 13153–13181.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Nous prouvons une généralisation du théorème du chameau symplectique valable dans la variété de contact $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$. Notre preuve utilise les fonctions génératrices, en se basant sur les techniques introduites par Viterbo et étendu au cas contact par Bhupal et Sandon et en reprenant la preuve de Viterbo du cas symplectique.
  • Improvement and generalisation of Papasoglu's lemma
    The Graduate Journal of Mathematics, Volume 3, Issue 1 (2018), 31-36.
    • version publiée
    • prépublication
    • lien arXiv
      • Résumé Nous améliorons une inégalité isopérimétrique due à Papasoglu. Nous généralisons aussi cette inégalité au cas Finsler en prouvant une version optimale du lemme de Besicovitch dans le cas Finsler valable pour n'importe quelle notion de volume Finsler.