Topologie 2023

L3, Strasbourg, 2023

Cours 1 (15/09)
- Définition: topologie, ouverts.
- Exemples de topologie: discrete, indiscrete, cofinie
- fermés, propriétés des fermés.
- Définition: un ouvert contenant un point x est appelé un voisinage ouvert de x.
- Notion de distance
- Exemples de distances sur R et sur R^n
- Topologie induite d'une distance
- Différentes distances peuvent induire la même topologie.
Référence: Livre de Morris, Chapter 1 et Chapter 2, 2.1.
Cours 2 (22/09)

Topologie euclidienne sur R
Description des ouverts comme unions d'intervals ouverts (motivation pour "Base").
Définition: Base d'une topologie
Exemple: les intervals ouverts forment une base de la topologie euclidienne sur R
Exemple: Les boules ouvertes forment une base de la topologie d'un espace métrique
Exemple: Les singletons forment une base de la topologie discrète.
Base n'est pas unique.
Une collection B des sous-parties de X est une base d'une topologie sur X ssi intersection de deux membres de B est l'union de certain memebres de B, et l'espace total est l'union de tous les membres de B.
Verification que c'est le cas pour les boules ouvertes dans un espace métrique.
Deux bases de topologie B1 et B2 induissent la même topologie ssi chaque membre de B1 est l'union d'membres de B2 et chaque membre de B2 est l'union d'membres de B1.
Topologie produit, pourquoi la façon naïve ne marche pas.
Définition par la base ("les boîtes"); vérification que l'intersection de deux boîtes est une boîte.
Sur un produit de deux espaces métriques, la topologie produit coïncide avec la topologie induite par la distance "produit" (par exemple L1, L2, L_\infinie).
Exemple: Sur R^n, la topologie produit construite à partir de celle de R est la topologie induite par la métrique L1 (ou L2 etc.), appelée la topologie euclidienne.

Cours 3 (29/09)

Définition: Distance, peusdo-distance
Définitoin: séparé/Hausdorff
Un espace topologique X est séparé ssi la diagonale est fermée dans XxX (munie de la topologie produit).
Définition: une application est continue ssi la préimage d'un ouvert est ouvert ssi la préimage d'un fermé est fermé.
Composition des applications continues est continue.
Ordre entre les topologies: plus groissière, plus fine; caractérisé par continuité de l'application identité.
Une application issue d'un espace topologique discrète est toujours continue; une application vers un espace topologique munie de la topologie groissière est toujours continue.
L'image inverse par une application d'une topologie est une topologie.
Topologie induite sur un sous-esapce topologique.
Exemple: la topologie induite sur Z par l'inclusion dans R est la topologie discrète. Mais la topologie induite sur Q n'est pas discrète.
Topologie produit est la topologie la moins fine sur XxY qui rend les deux projections continues.
Propriété universelle de produit munie de la topologie produit.
Topologie induite sur un sous-espace A est la topologie la moins fine sur A qui rend l'inclusion naturelle continue
Propriété universelle de la topologie induite.
Définition: Homéomorphisme
Une application continue est un homéomorphisme ssi elle est bijective et ouverte ssi elle est bijective et fermée.
Définition: adhérence:=l'intersection de tous les fermés qui le contiennent.
Adhérence de A est le fermé minimal qui contient A.
Un point x est dans l'adhérence de A si tout ouvert contenant x intersecte A de façon non vide.

Contrôle 1 (6/10) Sujet

Définition: Intérieure:= l'union de tous les ouverts qui sont contenus dedans.
L'intérieure de A est le plus grand ouvert qui est contenu dans A.
Proposition (Relation intérieure-adhérence): le complémentaire de l'intérieure est l'adhérence du complémentaire; le complémentaire de l'adhérence est l'intérieure du complémentaire.
Example de l'adhérence et l'intérieure d'un interval.

Cours 4 (13/10)

Définition: dense
Un sous-ensemble est dense ssi il intersecte tout ouvert non vide de manière non vide.
Exemple: Q est dense dans R, mais Z n'est pas dense dans R.
Exemple: sous-ensemlbes denses dans un espace topologique discrète (resp. grossière).
Proposition: A_i dense dans X_i, alors le produit de A_i est dense dans le produit de X_i.
La proposition précédente reste vraie même pour un produit infini (en supposant l'axiome de choix), mais il faut utiliser la bonne définition de la topologie produit pour un produit infini (qui n'est pas la topologie boîte).
Définition: séparabilité.
Produit fini (même dénombrable) d'espaces topologiques séparables est séparable.
Définition (axiomes de dénombrabilité) C1, C2.
C2 implique C1.
C2 impique séparable.
Exemple: R^n est C2
Définition (axiomes de séparation): T0, T1, T2 (=séparé=Hausdorff), T3 (=régulier), T4 (=normal)
T4 => T3 => T2 => T1 => T0
T1 ssi tout singleton est fermé ssi tout sous-ensemble fini est fermé.
T2 ssi la diagonale est fermé.
Toute implication ci-dessus est stricte. Voir la référence.
Exemple: Espace T0 mais pas T1: espace de Sierpinski.
Exemple: Espace T1 mais pas T2: un ensemble infini muni de la topologie co-finie.
Théorème: C2 + T3 implique T4.
Theorem (Lemme de Urysohn). Si un espace topologique X est T4, alors pour tout A, B deux fermés disjoins, il existe une fonction *continue* de X vers [0,1] telle que f(A)=0, f(B)=1.
Théorème de métrisabilité de Urysohn: Si un espace topologique X est C2 et T4, alors il existe une distance sur X qui induit la topologie.
Théorème extension de Tietze: Si X est un espace topologique qui vérifie T4. Alors pour tout fermé A, toute fonction continue sur A peut être étendue en une fonction continue sur X.

Cours 5 (20/10)

Définition: connexité.
Exemples: espace topologique grossier est toujours connexe; espace topologique discret avec au moins deux éléments est non connexe.
Q n'est pas connexe. Notons que la topologie n'est pas la topologie discrète.
Connexité est une propriété topologique: i.e. préservée par un esapce topologique homéomorphe.
Théorème: R, muni de la topologie euclidienne, est connexe. (Dans la preuve, on utilise l'existence de sup/inf.)
Notion de chemin.
Définition: connexité par arcs.
Proposition. Connexité par arcs implique connexité, mais pas inversement en général (exemple: courbe sinus de topologiste).
Corollaire: Tout interval de R est connexe.
Proposition (adhérence): Si A est un sous-espace connexe d'un espace topologique. Alors tout sous-espace B qui contient A et est contenu dans l'adhérence de A, est connexe.
Attention: Cette proposition ne vaut pas pour la connexité par arcs: contre-exemple est fourni par la courbe sinus de topologiste.
Proposition (image): L'image d'un sous-ensemble connexe par une application continue est connexe. L'image d'un sous-ensemble connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.
Remarque: on a une notion de convexité pour des sous-ensembles d'un esapce euclidien; cette notion n'est pas une notion topologique. Convexité impique connexité par arcs.

Cours 6 (27/10)

Proposition (produit): Un produit fini d'espaces topologiques connexe est connexe. Un produit fini d'espaces topologiques connexes par arcs est connexe par arcs.
La preuve utilise le Lemme: Si A est un sous-espace connexe d'un espace topologie X, si U est un clopen de X, alors soit A est contenu dans U ou A est disjoint avec U.
Remarque: la proposition précédente se généralise au produit arbitraire, si on munit le produit arbitraire la topologie produit. Si on munit le produit infinit de la topologie "boîte", qui est strictement plus forte que la topologie produit, alors le produit n'est pas connexe en général (voir Munkres P. 151, Example 6).
Lemme: un sous-espace de R est connexe ssi il est connexe par arcs ssi il est convexe ssi il est un intervalle.
Théorème de Valeur Intermédiare: Soit X un espace topologique connexe, soit f: X-> I une fonction continue sur X, où I est un intervalle. Si a et b sont dans l'image de f, alors toute valeur c dans [a,b] est dans l'image de f.
Corollaire: théorème de point fixe pour [0,1].
Définition de componsante connexe: c'est une classe d'équivalence pour la relation d'équivalence suivante: x ~ y ssi x et y sont contenus dans un sous-espace connexe.
Proposition: Une composante connexe est connexe et fermée. Une composante connexe n'est pas forcément ouverte. Exemple: Q, tous les singletons sont des composantes connexes, mais un singleton n'est pas ouvert dans Q.
Définition de composante connexe par arcs: c'est une classe d'équivalence pour la relation d'équivalence suivante: x ~ y ssi x et y sont liés par un chemin.
Une composante connexe par arcs est connexe par arcs (donc connexe), mais par forcément ouvert ou fermé (exemple: sinus de topologiste).
Par construction, un espace topologique est l'union disjoint de ses composantes connexes; on l'appelle la décomposition en composantes connexes. De façon similaire, on a la décomposition en composantes connexes par arcs.
Remarque: Une composante connexe par arcs est contenue dans une composante connexe, mais par inversement en général (ex: sinus de topologiste). Donc la décomposition d'un espace topologique en composantes connexes par arcs est un raffinement de la décomposition en composantes connexes. Si l'espace total est localement connexe par arcs, alors la notion de composante connexe par arcs coïncident avec la notion de composante connexe.
Notion de compacité.
Exemple: Un espace topologique fini est compact.
Exemple: Théorème de Heine-Borel dit que [0,1] est compact. (Preuve sera donnée la prochaine fois.)
Non exemple: R n'est pas compact. Un intervalle (semi)-ouvert n'est pas compact.
Lemme: Soit A un sous-espace de X. La compacité de A est équivalente à la condition suivante: toute famille d'ouverts de X dont l'union contient A admet une sous-famille dont l'union contient A.
Proposition: Fermé d'un compact (muni de la topologie induite) est compact.
Proposition: L'image d'un compact par une application continue est compacte.

Cours 7 (10/11)

Proposition: Compact d'un espace separé est fermé.
Théorème: Soit f: X-> Y une application continue bijective. Si X est compact et Y est Hausdorff, alors f est un homéomorphisme.
Il faut bien comprendre la preuve du théorème précédent.
Théorème (Heine-Borel): [0,1] est compact.
Théorème: Produit d'espaces compacts est compact.
Le théorème vaut pour produit arbitraire (Tychonoff), mais nous le prouvons seulement pour un produit fini.
La preuve utilise: lemme de tube.
Corollaire (Heine-Borel): Un sous-ensemble de R^n est compact ssi il est borné et fermé.
Le corollaire ne se généralise pas pour tout espace métrique. Exemple: un espace infini avec la distance discrète.
Théorème: Un espace métrique est compact ssi il est totalement borné et complet. (Preuve omise)
Remarque: Dans R^n, un sous-espace est totalement borné ssi il est borné; il est complet ssi il est fermé.

Cours 8 (17/11)

Suite et sous-suite.
Limite; suite convergente; sous-suite convergente
Limite est unique si l'espace est séparé.
Exemples d'espace non séparé et non unicité de la limite: espace de Sierpiński, la droite avec deux origines etc.
Suite de Cauchy
Suite convergente est toujours de Cauchy, mais pas inversement en général.
Défintion: Espace métrique complet
Exemples: R, R^n, fermé d'un espace complet.
Lemme: un compact de R contient toujours son inf et son sup.
Théorème des valeurs extrêmes: Soit f une fonction continue sur un espace compact X à valeur dans R. Alors f atteint ses min et max.
Rappel: Une application f entre deux espaces métriques X et Y est continue ssi pour tout point x de X, et pour tout \epsilon>0, il existe \delta>0, tel que d(x, y) < \delta implique que d(f(x), f(y)) < \epsilon
Dans un espace métrique, la distance à un sous-ensemble donné est une fonction continue.
Definition: continuité uniforme d'une application entre deux espaces métriques.
Lemme de nombre de Lebesgue: Etant donné un recouvrement ouvert d'un espace métrique COMPACT, il existe un nombre \delta>0, tel que pour tout point x, la boule B(x, \delta) est contenu dans un membre du recouvrement.
Théorème: Une application continue d'un esapce métrique COMPACT vers un autre espace métrique est uniformément continue. (Preuve la prochaine fois.)

Contrôle 2 (24/11) Sujet
Cours 9 (1/12)

Preuve du Théorème de continuité uniforme.
Définition: séquentiellement compact
Théorème: pour un espace métrique, la compacité est équivalente à la compacité séquentielle.
Lemme: si une suite de Cauchy admet une sous-suite convergente, alors la suite originale est convergente (vers la même limite).
Remarque: Si deux distances sur un espace sont équivalentes, alors les complétudes par rapport à deux métrques sont équivalentes. (Voir: Munkres P.270, Exercise 3.)
Théorème: R^n, muni de la métrique L1 (ou L^p, ou max etc.), est complet.

Cours 10 (8/12)

Lemme: Un sous-esapce fermé d'un espace métrique complet, muni de la distance induite, est complet.
Proposition: Un produit fini d'espaces métriques complets, muni de la distance sup, est complet.
Espaces vectoriels normés, exemples
Espaces de Banach
Exemples: un espace vectoriel normé de dimension finie est toujours Banach; l'espace des fonctions L^p sur un espace de mesure; l'espace des suites l^p.
Notions liées: espace vectoriel à produit scalaire, espace d'Hilbert.
Exemples: un esapce euclidien de dimension finie; esapces des fonctions L^2.
Définiton: Une complétion d'un espace métrique (X, d) est une application isométrique i: X -> Y vers un espace métrique complet tel que i(X) est dense dans Y.
Théorème: tout espace métrique peut être plongé de façon isométrique dans un espace métrique complet.
Proposition: étant donnés deux tels plongements isométriques de X, il existe une unique bijection isométriques entre deux adhérences de X qui est compatible avec l'inclusion de X.
Corollaire: complétion existe est unique à isométrie près: il suffit de prendre l'adhérence de X dans un plongement isométrique dans un espace complet. Deux tels adhérences sont isométriques.
Exemple: R est la complétion de Q pour la distance usuelle (donnée par la valeur absolue).
Exemples: Q_p, le corps des nombres p-adiques, est la complétion de Q pour la distance p-adique.
Définition: Application quotient
Une application continue surjective ouverte est une application quotient.
Étant donnée une relation équivalence sur un espace topologique, le quotient est l'ensemble des classes d'équivalence, et est muni de la topologie quotient. C'est la topologie la plus fine telle que la projection naturelle soit continue.
Propriété universelle de topologie quotient.
Exemples de espace topologique quotient: Pour [0,1] avec la relation d'équivalence qui identifie 0 et 1, l'espace quotient muni de la topologie quotient est homéomorphe au cercle. Pour la disque fermée avec la relation d'équivalence qui identifie tous les points du bord, l'espace quotient muni de la topologie quotient est homéomorphe à une sphère.

Contrôle 3 (22/12) Sujet

Feuilles de TD

Evaluation:

Contrôle 1: 6 Octobre 2023, 13:30-14:30, Salle C03.
Contrôle 2: 24 Novembre 2023, 13:30-14:30, Salle C03.
Contrôle 3: 22 Decembre 2023, 13:30-15:30, GAM
Note finale= (C1+ C2 + 2xC3)/4.

Références:

A. Morris: Topology without tears, online.
James Munkres: Topology, Pearson Education.
M.A. Armstrong: Basic Topology, Undergraduate Texts in Mathematics.