Du 27 au 30 avril 2010
IRMA
L’Ecole Doctorale de Mathématiques, Informatique et Sciences de l’Ingénieur (Strasbourg) et l’Institut de Recherche Mathématique Avancée organisent une Semaine spéciale M2, cours avancés : Equations différentielles dans le champ complexe.
- Début des cours : lundi 26 avril 2010 (matin)
- Fin des cours : vendredi 30 avril 2010 (soir)
- Lieu des cours : IRMA, 7 rue René-Descartes, Strasbourg
Il y aura les 4 mini-cours spécialisés ainsi que des conférences dans la continuité de ces mini-cours.
Les activités de la semaine spéciale s’adressent aux étudiants en Master 2 Mathématiques pures, filière Recherche, ainsi qu’aux étudiants en formation doctorale ou post-doctorale de Mathématiques, à l’Université de Strasbourg ou dans d’autres universités.
Déroulement de la semaine.
Les 4 cours auront lieu du lundi matin au jeudi midi en alternance. Ces cours se dérouleront en français ou en anglais, suivant l’assistance. Les orateurs sont
- Eric Benoît (Univ. La Rochelle et INRIA Sophia-Antipolis)
- Boele Braaksma (Univ. Groningen, Pays-Bas)
- Freddy Dumortier (Univ. Hasselt, Belgique)
- Frank Loray (CNRS et Univ. Rennes)
A ces cours viendront s’ajouter, du jeudi après-midi au vendredi soir, des conférences montrant divers aspects de développement des théories présentées dans les mini-cours. Comme thèmes sont prévus :
- feuilletages holomorphes et fibrés vectoriels
- perturbations singulières et applications
- équations aux dérivées partielles dans le champ complexe
Programme détaillé (26 avril 2010)
Cours et conférences auront lieu dans la salle de conférences de l’IRMA.
Veuillez compléter le formulaire d'inscription. Les inscriptions avec réservation d'hôtel sont closes .
Organisateurs : Augustin Fruchard, Daniel Panazzolo, Claude Sabbah et Reinhard Schäfke.
Affiche
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Mardi 27 avril 2010
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09:00 - 10:30
Freddy Dumortier, Hasselt University, Belgium
A geometric approach to singular perturbation problems, II
In these lectures we want to study real slow-fast systems by means of geometric techni-ques (by “geometricwe mean coming from “regulardynamical systems theory)The focus will lie on the (familyblow up of contact points as a method to get a good control on the dynamics near such pointsWe will limit to two-dimensional systemshowever depending on an arbitrary number of parametersOur attention will primarily go to canard type relaxation oscillations and the bifurcations that they undergoWe intend to present an overview of results that have been obtained by Peter De MaesschalckRobert Roussarie and myself in different papersincluding a number of recent preprints. -
11:00 - 12:30
Frank Loray, Rennes
Equations de Painlevé VI, cours 2
Les équations de Painlevsont les équations yF(x,y,y'dont les solutions n'admettent pas de singularités mobilesElles se déclinent en six familles la sixième dépend de quatre paramètres complexes et les autres se déduisent par dégénérescenceLes solutions des équations de PainlevVI paramétrisent les déformations de connexions sur la sphère de Riemann monodromie constanteSuivant ce point de vuenous décrirons les propriétés de cette famille d'équationssa monodromie et quelques problèmes ouverts. -
Jeudi 29 avril 2010
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09:00 - 10:30
Eric Benoît, La Rochelle
Canards en dimensions supérieures, III
La théorie des perturbations singulières s'intéresse aux équations du type
xf(x,y,e) e yg(x,y,e)o(x,yєRn+p
Le premier théorème de la théorie est le théorème de Tikhonov concernant les points "réguliersde la surface lenteVous avez vu dans des cours précédents des cas oce théorème ne s'applique paset vous avez vu des points particuliers au voisinage desquels apparaissent des canardsDans ce coursje vais faire une étude systématique locale de toutes les situations génériques pour les champs lents-rapides de R3 et de R4Dans chaque cason examinera le comportement qualitatif des trajectoires au voisinage de ces singularités (comment se succèdent les segment lents et rapides)Bien sûr il faudra préciser ce que veut dire "générique"Cette étude montrera au passage certains résultats valables dans des dimensions quelconques
Les méthodes d'étude vont de l'analyse non standard (utilisée avec beaucoup de modérationl'analyse complexeen passant par des méthodes sophistiquées de point fixeLe cours sera parsemd'exemples choisis pour leur caractère paradigmatiqueCeci sera fait de façon systématique en expliquant comment construire de tels exemplesLe premier chapitre concerne la classification de toutes les singularités rencontrées dans R2+1R1+2 et R2+2Les deux suivants sont chacun l'étude de l'un des cas rencontrés.
1.Problèmes locaux génériques de R3 et R4classification et mise sous forme prénormale
2.Points pseudo-singuliers noeuds dans R3 puis dans R4
3.Retard la bifurcation cas Hopf suivi d'une transition foyer/noeud problème global dans R3 mais local dans R4.
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11:00 - 12:30
Boele Braaksma, Gronigen (Pays Bas)
Multisummability and resurgence, III
The outline will be as follows
Laplace and Borel transforms and some modifications
Mapping properties for these transformsquasi-functions
Extended Watson lemma
Ramified Laplace and Borel transforms
Some equivalent definitions of multisummability
Application to meromorphic ODE's -
14:00 - 15:00
Dominique Cerveau, Rennes
Champs d'hyperplans
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15:45 - 16:45
Viktoria Heu, IRMA
Problème de Riemann-Hilbert et déformations isomonodromiques
Le problème de Riemann-Hilbert est le suivant toute représentation de monodromie provient-elle d'un système différentiel pôles simples sur la sphère de Riemann ABolibrukh a donnplusieurs réponses célèbres ce problème et a proposaussi une approche par les déforma-tions isomonodromiquesNous allons étudier une généralisation de ses résultats aux surfaces de Riemann de genre quelconque -
17:00 - 18:00
Loïc Teyssier, IRMA
Classification complète des confluences holomorphes de singularités simples
(en collaboration avec CRousseauUniversitde Montréal On décrit l'espace des modules pour la classification analytique des (germes defamilles analytiques de feuilletages holomorphes déformant une singularitde type noeud-coltravers les changements de coordonnées locales et de paramètresCe problème peut également s'énoncer ainsi comment classifier les familles de singularités "simplesd'équations différentielles qui se fondent en une singularitmultipleLe résultat principal est l'obtention d'une déformation des invariants de Martinet-Ramis du noeud-coldéformation qui est analytique sur des "secteursde l'espace des paramètresLa compréhension du découpage de l'espace des paramètres en (un nombre fini debons secteurs est alors essentielle pour réaliser la synthèse des invariantsc'est-à-dire carac-tériser les déformations de modules de Martinet-Ramis qui proviennent d'une famille analytique en les paramètresCe découpage s'obtient en étudiant la classification topologique des feuilletages réels induits par les champs polynomiaux d'une variable complexetravail qui avait étcommencsous une autre forme par Douady et Sentenac. -
Vendredi 30 avril 2010
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09:00 - 10:00
Peter De Maesschalck, Hasselt University, Belgium
Singular perturbations and vanishing passage through a turning point
(Joint work with Freddy Dumortier) We study the cyclicity of certain slow-fast cyclesThese are limit periodic sets that are composed of a fast orbitglued together with a curve of singular pointsOne part of the singular curve is normally attractinganother part is normally repellingand a contact point is in betweenA typical tool to study the cyclicity is the analysis of the asymptotic behaviour of the divergence integral along orbits near the limit periodic setThe leading order term is given by an integral along the curve of singularitiesThis leading order term diverges however when additional singularities in the slow dynamics appearDepending on the location of the additional singularity (on the attracting side or repelling side)the obtained limit cycles are hyperbolically stable or hyperbolically unstableIn this talkwe consider the case of a singularity in the slow dynamics passing from one side to the otherthrough the contact pointWe first focus on the most generic case (a generic saddle-node in the slow dynamics)and then generalize to a singularity in the slow dynamics of any finite codimension. -
10:45 - 11:45
Changgui Zhang, Lille
Méthodes de resommation pour les équations aux q-différences
L'exposconsiste faire apparaître la divergence des solutions formelles d'équations aux q-différences analytiques linéairespuis proposer différentes méthodes de resommationCes méthodes seront ensuite comparées la classique méthode de Borel-Laplace. -
14:00 - 15:00
Reinhard Schäfke, IRMA
Développements asymptotiques combinés
(En collaboration avec Augustin Fruchard) On présente une théorie de développements asymptotiques pour des fonctions de deux variablescombinant la fois des fonctions d'une des variables et des fonctions du quotient de ces deux variablesCes développements asymptotiques combinés (DACsont bien adaptés la description des solutions d'équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées au voisinage de points tournantsLe lien et les différences avec les méthodes de matching et les développementscombinés classiques sont décritsCette théorie s'applique un problème de solutions canard et la résonance d'Ackerberg-O'Malley