Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : La notion de polytope est très ancienne, et même carrément antique pour la dimension 3. On discutera un peu d'histoire, puis on parlera des polytopes réflexifs et d'une construction récente.

Frédéric Chapoton est directeur de recherche en mathématiques au CNRS, dans l'équipe ART du laboratoire IRMA à Strasbourg. Il travaille en combinatoire algébrique et en théorie des représentations, notamment sur les interactions entre ordres partiels finis, représentations de carquois, opérades et polytopes.

Résumé : For an ergodic dynamical system, the cutoff describes an abrupt transition to equilibrium. Historically introduced in seminal work by Diaconis, Shahshahani and Aldous for card shuffling and other random walks on finite groups, there are now numerous examples of Markov chains and Markov processes where the cutoff has been established. Most of the current examples are on finite spaces. In this talk, we study cutoff for classical processes -- namely Brownian motion and geodesic paths -- on compact hyperbolic manifolds, and we develop a spectral strategy introduced by Lubetzky and Peres in 2016 for Ramanujan graphs and further developed in different geometric contexts. In particular, we extend results obtained by Golubev and Kamber in 2019 to any dimension and still are able to obtain cutoff under weaker hypothesis. Based on a joint work with C. Bordenave

Résumé : Since Mumford’s work in the 1960s, questions on the finite generation of Chow and Griffiths groups—such as the finiteness of dimension, the size of their torsion, or their divisibility—have been a central theme in the study of algebraic cycles. Motivic cohomology and morphic cohomology naturally generalize the Chow group (cycles modulo rational equivalence) and cycles modulo algebraic equivalence. In this talk, I will show how, over an algebraically closed field whose transcendence degree over its prime field is infinite (e.g., the complex number field), one can combine Schoen’s injectivity argument with Schreieder’s refined unramified cohomology to construct examples of motivic and morphic cohomology groups with infinitely many torsion elements. These appear to be the first known examples exhibiting infinite torsion in motivic or morphic cohomology. Joint work with Theodosis Alexandrou.

Résumé : Dans cet exposé on se propose d’étudier une algèbre naturellement associée à un graphe. Il s’agit d’une algèbre de Hall provenant d’un ensemble simplicial mais dont nous ne donnerons pas plus de détails que le nom. Étudier cette algèbre signifie, dans notre cas, essayer de donner une présentation par générateurs et relations. L’algèbre étant commutative on pourrait motiver l’intérêt d’une telle présentation pour obtenir cette algèbre comme l’anneau de cohomologie d’un espace topologique. Pour parvenir à notre fin, on se propose d’enrichir la structure d’algèbre avec une notion duale, celle de cogèbre. On s’intéressera alors aux éléments primitifs pour le coproduit qui sont souvent de bons candidats pour les générateurs de notre présentation. Presque arrivés au bout de cette histoire, c’est la compatibilité entre les deux structures duales s’associant dans la notion de bigèbre tordue qui nous donnera la présentation de l’algèbre. Cet exposé espère mettre en lumière à quel point l’apport de structure permet une meilleure compréhension des objets étudiés.

Résumé : We propose novel variable selection methods for sparse GLARMA (Generalised Linear Autoregressive Moving Average) models, which can be used for modelling discrete-valued time series. These models allow us to introduce some dependence in a Generalised Linear Model (GLM). The key idea behind our estimation procedure is first to estimate the coefficients of the ARMA part of the GLARMA model and then use a regularised approach, namely the Lasso, to estimate the regression coefficients of the GLM part of the model. Furthermore, we establish a sign-consistency result for the estimator of the regression coefficients in a sparse Poisson model without time dependence. The performance of our proposed methods was assessed on simulation studies in different frameworks and on several datasets in the field of molecular biology. Our approaches exhibit very good statistical performance, surpassing other methods in identifying non-null regression coefficients. Secondly, their low computational burden enables their application to relatively large datasets. Our proposed methods are implemented in R packages, which are publicly available on the Comprehensive R Archive Network (CRAN).

Résumé : D'habitude on utilise des groupes quantiques pour construire des invariants des nœuds. On va aller dans le sens inverse en définissant le groupe quantique et l'algèbre de Iwahori-Hecke (de type A_n) à partir de l'invariant HOMFLY. Cette technique permets de travailler avec les représentations de ces algèbres en utilisant les digrammes des enchevêtrements.