Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Natural systems are open to their environment and thus subjected to external perturbations. Some of such systems may be described as large randomly connected networks. The present work investigates how external additive random perturbations affect the state and stability of such finite-size random networks. We observe analytically an additive noise-induced system evolution (ANISE), whose stationary state depends on the additive noise level. In a first pilot study, the principal analytical approach is demonstrated by application to a nonlinear Erdos-Renyi network. In a second more detailed study, a nonlinear random network of excitatory and inhibitory sub-networks describes successfully Event-Related Desynchronization and Synchronization (ERD/ERS) observed in experimental brain signals. In sum, we find that additive noise impacts on the system's stationary state and in turn also affects the system's stability and hence its spectral properties.

Résumé : Dans cet exposé, j’expliquerai un mécanisme fondé sur la géométrie symplectique dérivée, qui permet de recoller les invariants locaux des singularités apparaissant naturellement en théorie de Donaldson–Thomas. Ce mécanisme retrouve les faisceaux pervers de cycles évanescents catégorifiés construits par Brav–Bussi–Dupont–Joyce, et fournit un nouveau recollement, plus élaboré, des catégories de factorisations matricielles d’Orlov, répondant à des questions de Kontsevich–Soibelman et de Y. Toda. Il s’agit d’un résultat obtenu avec B. Hennion et J. Holstein. Si le temps le permet, je discuterai une extension récente de nos résultats au cas des champs d’Artin, obtenue avec B. Hennion.

Résumé : La notion de polytope est très ancienne, et même carrément antique pour la dimension 3. On discutera un peu d'histoire, puis on parlera des polytopes réflexifs et d'une construction récente.

Frédéric Chapoton est directeur de recherche en mathématiques au CNRS, dans l'équipe ART du laboratoire IRMA à Strasbourg. Il travaille en combinatoire algébrique et en théorie des représentations, notamment sur les interactions entre ordres partiels finis, représentations de carquois, opérades et polytopes.

Résumé : For an ergodic dynamical system, the cutoff describes an abrupt transition to equilibrium. Historically introduced in seminal work by Diaconis, Shahshahani and Aldous for card shuffling and other random walks on finite groups, there are now numerous examples of Markov chains and Markov processes where the cutoff has been established. Most of the current examples are on finite spaces. In this talk, we study cutoff for classical processes -- namely Brownian motion and geodesic paths -- on compact hyperbolic manifolds, and we develop a spectral strategy introduced by Lubetzky and Peres in 2016 for Ramanujan graphs and further developed in different geometric contexts. In particular, we extend results obtained by Golubev and Kamber in 2019 to any dimension and still are able to obtain cutoff under weaker hypothesis. Based on a joint work with C. Bordenave

Résumé : Since Mumford’s work in the 1960s, questions on the finite generation of Chow and Griffiths groups—such as the finiteness of dimension, the size of their torsion, or their divisibility—have been a central theme in the study of algebraic cycles. Motivic cohomology and morphic cohomology naturally generalize the Chow group (cycles modulo rational equivalence) and cycles modulo algebraic equivalence. In this talk, I will show how, over an algebraically closed field whose transcendence degree over its prime field is infinite (e.g., the complex number field), one can combine Schoen’s injectivity argument with Schreieder’s refined unramified cohomology to construct examples of motivic and morphic cohomology groups with infinitely many torsion elements. These appear to be the first known examples exhibiting infinite torsion in motivic or morphic cohomology. Joint work with Theodosis Alexandrou.

Résumé : Dans cet exposé on se propose d’étudier une algèbre naturellement associée à un graphe. Il s’agit d’une algèbre de Hall provenant d’un ensemble simplicial mais dont nous ne donnerons pas plus de détails que le nom. Étudier cette algèbre signifie, dans notre cas, essayer de donner une présentation par générateurs et relations. L’algèbre étant commutative on pourrait motiver l’intérêt d’une telle présentation pour obtenir cette algèbre comme l’anneau de cohomologie d’un espace topologique. Pour parvenir à notre fin, on se propose d’enrichir la structure d’algèbre avec une notion duale, celle de cogèbre. On s’intéressera alors aux éléments primitifs pour le coproduit qui sont souvent de bons candidats pour les générateurs de notre présentation. Presque arrivés au bout de cette histoire, c’est la compatibilité entre les deux structures duales s’associant dans la notion de bigèbre tordue qui nous donnera la présentation de l’algèbre. Cet exposé espère mettre en lumière à quel point l’apport de structure permet une meilleure compréhension des objets étudiés.