COURS M2 "TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE"
Université Pierre et Marie Curie, Master
de Mathématiques fondamentales
Novembre-Décembre 2016
Cours : je 16h-18h
(15.25.102), ve 16h-18h (15.16.101) (Alexandru
Oancea)
TD : me 8h45-10h45 (15.16.101) (Penka
Georgieva)
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Cette page contient l'état
d'avancement du cours, certaines notes de cours, les feuilles
d'exercices et d'autres documents supplémentaires.
DATE DE L'EXAMEN FINAL :
VENDREDI 6 JANVIER 2016, 9h-12h.
Sujet et corrigé de
l'examen final du 6 janvier 2017.
NOTES DE COURS : dernière
version du 31 décembre 2016.
Version antécédentes :
6
décembre 2016
22
novembre 2016
10 novembre 2016
FEUILLES DE TD : No. 1, No.2 , No.3 , No. 4
ETAT D'AVANCEMENT DU COURS
Semaine 1, séance du 10 novembre (TD
le 9 novembre sur la cohomologie de De Rham)
Définition d'un fibré vectoriel. Trivialisations locales et
cocycles.
Quatre motivations pour l'étude des fibrés vectoriels :
1. les fibrés vectoriels encodent la donnée d'objets de nature
infinitésimale sur une variété. Exemples : fibré tangent,
fibré cotangent,
-formes.
2. les sections de fibrés vectoriels peuvent être regardées
comme des généralisations des fonctions. Exemple fondamental :
les fibrés
sur
.
Toutes les opérations et tous les isomorphismes canoniques
sur/entre des espaces vectoriels peuvent être mises en
famille, c'est-à-dire passent aux fibrés vectoriels.
3. Le problème des déformations infinitésimales. Théorème du
voisinage tubulaire. Le fibré normal à une sous-variété encode
les petites déformations de la sous-variété à l'intérieur de
la variété ambiente.
4. Linéarisation d'équations de nature géométrique.
L'opérateur obtenu par linéarisation d'une équation de nature
géométrique agit naturellement entre des espaces de sections
de fibrés. L'exemple de l'équation de Cauchy-Riemann.
Espace tangent à un fibré
en un point de la section nulle. La différentielle verticale
d'une section en un zéro. La notion de section
transverse à la section nulle. Une fonction f est de
Morse si et seulement si la différentielle
est
transverse à la section nulle du fibré cotangent.
Semaine 2,
séances du 17 et 18 novembre 2016
Classification des fibrés vectoriels sur les sphères.
Notions de topologie différentielle avec applications
homotopiques : connexions, approximation, transversalité.
Semaine 3, séances du 24 et 25 novembre 2016
Théorème de classification des fibrés vectoriels.
Groupes d'homotopie. Homotopie libre. Suite exacte longue
d'homotopie pour une fibration. Calculs de groupes
d'homotopie. Degré.
Semaine 4, séances du 1 et 2 décembre 2016
Rappels d'homologie et de
cohomologie singulière et cellulaire.
Classes de Stiefel-Whitney et Chern : point de vue
axiomatique.
Semaine 5, séances du 8 et 9 décembre 2016
CW-complexes. Théorème de Hurewicz. Théorie de
l'obstruction I : le cocycle d'obstruction.
Théorie de l'obstruction II : la classe d'obstruction.
Heure supplémentaire : théorème de Leray-Hirsch
et cohomologie des grassmanniennes
Semaine 6, séances du 15 et 16 décembre 2016
Théorie de l'obstruction III : homotopies,
fibrations, classe primaire d'obstruction, classe
d'Euler, classes de Stiefel-Whitney et Chern
Classe fondamentale d'une variété. Perspective :
produits cup et cap, dualité de Poincaré, produit
d'intersection, classe de Thom.
Heure supplémentaire : suite spectrale de
Leray-Serre et applications.
©2016 Alexandru Oancea. Dernière mise à jour : 24 janvier 2017.