Cette page contient l'état d'avancement du cours, les feuilles d'exercices et d'autres documents supplémentaires.

La page web du cours de l'année dernière peut vous donner une idée du contenu du cours de cette année, nous suivrons à peu près la même structure.

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COMPLÉMENTS DE COURS :
        1. Groupes distingués et quotients de groupes (extrait de Antoine Chambert-Loir, Algèbre corporelle, Les Éditions de l'École Polytechnique, 2005)
        2. Produit semi-direct, par Antoine Ducros. Disponible aussi en ligne ici.
        3. Lois de Kepler, par Brian Beckman. Disponible aussi en ligne ici. 
       


FEUILLES DE TD :  1 (Groupes)  2 (Espaces affines)  3 (Espaces affines)  4 (Convexité)  5 (Espaces projectifs)

6 (Compléments de géométrie projective)    7 (Quadriques)    8 (Formes quadratiques)  9 (Coniques)

DEVOIRS : 1 (à rendre en cours le 18 octobre ou scanné au plus tard le 21 octobre) 
                    2 (à rendre en TD le 5 décembre ou scanné au plus tard le 7 décembre)

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Bibliographie :

[A] M. Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006.

[I] I. Itenberg, Algèbre géométrique, polycopié de cours 2012-2013. Disponible sur la page web de l'auteur, ou ici

[P] P. Polo, Géométrie affine et projective, polycopié de cours 2016-2017. Disponible sur la page web de l'auteur, ou ici


Des notes de cours complémentaires seront fournies pour les sujets qui ne sont pas traités dans les polycopiés. Ces derniers ne seront pas suivis de façon linéaire.

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ÉTAT D'AVANCEMENT DU COURS


SEMAINE 1. Séance 1 du 12 septembre :

RAPPELS DE THÉORIE DES GROUPES. Rappels sur les sous-groupes distingués et les quotients de groupes. Le noyau d'un morphisme de groupes est un sous-groupe distingué. Propriété d'universalité du groupe quotient. Référence : Complément de cours No. 1


Théorème fondamental concernant les groupes quotients : étant donné un morphisme surjectif de groupes $f:G\to G'$, il induit un isomorphisme $G/\ker\, f \simeq G'$. Parallèle entre la notion de groupe quotient et la notion d'espace vectoriel quotient. Référence : Complément de cours No. 1

La notion de suite exacte courte. Suite exacte courte scindée. Produit semi-direct. Référence : Complément de cours No. 2


Séance 2 du 13 septembre : Suites exactes courtes scindées (fin). Référence : Complément de cours No. 2

Actions de groupes. Action à gauche/droite. Stabilisateurs de points par des actions. Orbite d'un point. Action libre. Action transitive. Exemples : GL(V) agissant sur V. Groupe des permutations. Groupes à un paramètre de difféomorphismes. Référence : [I] 1.1, [P] 1.1


SEMAINE 2. Séance du 19 septembre : Action d'un groupe sur lui-même par translation à gauche/droite. Action d'un groupe sur lui-même par conjugaison. Exemple d'action transitive : l'action de O(n) sur la sphère unité $S^{n-1}\subset \mathbb{R}^n$. Le sous-groupe d'isotropie en un point est isomorphe à O(n-1). Référence : [I] 1.1, [P] 1.1

GÉOMÉTRIE AFFINE. Espaces affines. Définition. Exemples : ensemble des solutions d'une équation linéaire non-homogène. Ensemble des scindements d'une suite exacte courte d'espaces vectoriels. Relation de Chasles. Références : [I] 1.2, 1.4, 1.5, [P] 1.3

Séance du 20 septembre : Sous-espaces affines. Sous-espace affine engendré par une partie d'un espace affine. Caractérisation. Repères affines. Coordonnées barycentriques d'un point dans un repère affine. Références : [I] 1.5, [P] 1.3


SEMAINE 3. Séance du 26 septembre : Transformations affines. Propriétés. Le groupe des automorphismes d'un espace affine. Le sous-groupe distingué des translations. Le groupe des automorphismes affines est produit semi-direct du groupe général linéaire et du groupes des translations. Références : [I] 1.6, 1.8, [P] 1.5

Séance du 27 septembre : Homothéties. Projections affines. Symétries. Références : [I] 1.6, 1.8, [P] 1.5

Barycentre. Associativité du barycentre. Application : les médianes d'un triangle concourent en l'isobarycentre des sommets du triangle. Références : [I] 1.5, [P] 1.6

Convexité. Enveloppe convexe d'un ensemble de points. Lien avec la convexité des fonctions. [I] 1.9.

SEMAINE 4. Séance du 3 octobre : Théorèmes de Thalès, Pappus et Desargues. Référence : [I] 1.7

Séance du 4 octobre : prolongement vectoriel canonique d'un espace affine. Référence : [I] 1.8

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE. Espaces projectifs. Définition. Sous-espaces projectifs. L'intersection de deux sous-espaces projectifs est un sous-espace projectif. Formule de dimension. Les espaces projectifs réels sont compacts. Références : [I] 2.1, 2.2

SEMAINE 5. Séance du 10 octobre : Le complémentaire d'un hyperplan projectif est muni d'une structure canonique d'espace affine (on l'appelle "ouvert affine", alors que l'hyperplan est appelé "hyperplan à l'infini")). Passage affine-projectif par complétion, respectivement restriction. Le parallélisme dans l'ouvert affine se traduit par une intersection le long de l'hyperplan à l'infini. Réf. [I] 2.3

Théorème de Pappus projectif. Réf. [I] 2.4

Séance du 11 octobre : Théorème de Desargues projectif. Réf. [I] 2.4

Applications projectives. Projections centrales. Réf. [I] 2.5

SEMAINE 6. Séance du 17 octobre : Le groupe des transformations affines comme sous-groupe du groupe des transformations projectives. Réf. [I] 2.5, Proposition 17.

Homographies. Repères projectifs. Une homographie est uniquement déterminée par ses valeurs sur un repère projectif. Réf. [I] 2.6, Proposition 18

Séance du 18 octobre : Exemples de repères projectifs. Exemples de transformations projectives. Réf. [I] 2.6.

Birapport. Réf. [I] 2.7

SEMAINE 7. Séance du 24 octobre : Birapport. Théorème de Thalès projectif. Faisceaux d'hyperplans. Réf. [I] 2.7, 2.8

Coordonnées homogènes. Homogénéisation et déshomogénéisation. Réf. [I] 2.6

Séance du 25 octobre : Dualité projective. Réf. [I] 2.9. Espaces vectoriels euclidiens. Réf. [I] 3.1


SEMAINE 8. Séance du 7 novembre :  Formes bilinéaires symétriques et anti-symétriques, formes sesquilinéaires, formes hermitiennes. Non-dégénérescence. Orthogonal par rapport à une forme bilinéaire. Groupe de symétrie d'une forme bilinéaire. Exemples. Réf .[I] 3.1.

Séance du 8 novembre : Produit scalaire euclidien. Produit hermitien. Forme symplectique. Rappels sur le déterminant et son lien avec la formule de changement de variable dans l'intégrale multiple. Rappels sur la notion d'aire et con lien avec la mesure de Lebesgue.  Réf. [I] 3.1. 


SEMAINE 9. Séance du 14 novembre : Groupe orthogonal. Groupe unitaire. Groupe symplectique. Structure des isométries. Structure des transformations unitaires. Réf. [I] 3.4.

Séance du 15 novembre : Propriétés des matrices symplectiques. Propriétés spectrales des matrices orthogonales, unitaires, symplectiques. Réf. [I] 3.1, 3.2, 3.4.

SEMAINE 10. Séance du 21 novembre : Formes quadratiques. Formule de polarisation. Quadriques projectives. Le lieu des zéros d'un polynôme homogène est bien défini. Trace affine d'une quadrique projective. Exemple explicite de la conique X^2+Y^2-Z^2=0 dans le plan projectif réel ; trace affine par rapport à différents choix de droite à l'infini. Déshomogénéisation et homogénéisation.  Réf. [I] 2.9, 3.2

Séance du 22 novembre : Equivalence des quadriques. Théorème de "diagonalisation" des formes quadratiques. Réf. [I] 3.1.2

Quadriques en dimension 0 et 1. L'intersection d'une droite avec une quadrique est constituée de deux points, ou bien d'un seul point, ou bien est vide. Droite tangente à une conique, hyperplan tangent à une quadrique. Equations. Points lisses/réguliers et points singuliers. Réf. [I] 3.2


SEMAINE 11. Séance du 28 novembre : Rappels sur le théorème des fonctions implicites. Espace tangent en un point lisse d'une hypersurface de l'espace euclidien. Justification de l'équation de l'hyperplan tangent pour les quadriques affines et projectives. Réf. [I] 2.9, pp. 22-25.

Séance du 29 novembre : Deux exemples de théorèmes géométriques sur les coniques : théorèmes de Chasles-Steiner et Pascal. Réf. [I] 3.2, pp. 9-10


SEMAINE 12. Séance du 12 décembre, no. 1. Propriétés métriques des coniques. Réf. [A] VII.2, pp. 232-239.

Séance du 12 décembre, no. 2. Digression : les lois de Kepler. Réf. Complément de cours No. 3.