Cette page contient l'état d'avancement du cours, les feuilles d'exercices et d'autres documents supplémentaires.

La page web du cours de l'année dernière peut vous donner une idée du contenu du cours de cette année, nous suivrons à peu près la même structure.

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SUJET ET CORRIGÉ DE L'EXAMEN DE PREMIÈRE SESSION DU 10 JANVIER 2019

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COMPLÉMENTS DE COURS :
        1. Groupes distingués et quotients de groupes (extrait de Antoine Chambert-Loir, Algèbre corporelle, Les Éditions de l'École Polytechnique, 2005)
        2. Propriétés d'universalité
        3. Démonstration géométrique des lois de Kepler à partir des lois de Newton (Brian Beckman, “Feynman Says: 'Newton implies Kepler, No Calculus Needed!'”, The Journal of Symbolic Geometry 1 (2006), 57-72)
        4. Un article sur la perspective en peinture, disponible aussi en ligne ici.


FEUILLES DE TD : 0 (actions de groupes)  1 (espaces affines)  2 (espaces affines)  3 (convexité) 4 (produits semi-directs)

5 (espaces projectifs)     6 (espaces projectifs)     7 (formes quadratiques)     8 (coniques, quadriques) 

9 (coniques projectives, coniques euclidiennes)   10 (rotations, géométrie du triangle)

DEVOIRS : No. 1 (à rendre le 12 octobre)     No. 2 (à rendre le 6 décembre)

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Bibliographie :

[A] M. Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006.

[I] I. Itenberg, Algèbre géométrique, polycopié de cours 2012-2013. Disponible sur la page web de l'auteur, ou ici

[P] P. Polo, Géométrie affine et projective, polycopié de cours 2016-2017. Disponible sur la page web de l'auteur, ou ici


Des notes de cours complémentaires seront fournies pour les sujets qui ne sont pas traités dans les polycopiés. Ces derniers ne seront pas suivis de façon linéaire.

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ÉTAT D'AVANCEMENT DU COURS


SEMAINE 1. Séance 1 du 13 septembre : Motivation pour l'étude des espaces affines : ensembles de solutions d'équations linéaires non-homogènes. [P] 1.2

Actions de groupes. Action à gauche/droite. Action transitive. Exemples : GL(V) agissant sur V. Action d'un groupe sur lui-même par translations à gauche/droite/conjugaison. Références : [I] 1.1, [P] 1.1

Rappels sur les sous-groupes distingués et les quotients de groupes. Le noyau d'un morphisme de groupes est un sous-groupe distingué. Propriété d'universalité du groupe quotient. Référence : Complément de cours No. 1


Séance 2 du 13 septembre : Théorème fondamental concernant les groupes quotients : étant donné un morphisme surjectif de groupes $f:G\to G'$, il induit un isomorphisme $G/\ker\, f \simeq G'$. Parallèle entre la notion de groupe quotient et la notion d'espace vectoriel quotient. Référence : Complément de cours No. 1

Autres exemples de propriétés d'universalité : espace vectoriel quotient, somme directe, produit direct. Référence : Complément de cours No. 2

Stabilisateurs de points par des actions. Orbite d'un point. Action libre. Action transitive. Référence : [I] 1.1, [P] 1.1

Séance 3 du 14 septembre : Espaces affines. Premières définitions. Exemple fondamental : l'espace affine des solutions d'une équation linéaire non-homogène. Sous-espaces affines et leurs intersections. Définition du parallélisme. Références : [I] 1.2, 1.4, 1.5, [P] 1.3

Dans un plan affine, par tout point extérieur à une droite il passe une unique droite qui ne l'intersecte pas.


SEMAINE 2. Séance 4 du 20 septembre : Repères affines. Coordonnées barycentriques. Références : [I] 1.5, [P] 1.3

Séance 5 du 21 septembre : Applications affines. Partie linéaire d'une application affine. Le sous-groupe des translations. Le sous-espace affine des points fixes d'une application affine. [I] 1.6, [P] 1.4, 1.5



SEMAINE 3. Séance 6 du 27 septembre : Homothéties et leur caractérisation géométrique. Barycentres : définition et existence. Références : [I] 1.5, 1.6, [P] 1.6

Séance 7 du 28 septembre : Associativité des coordonnées barycentriques. Convexité. Caractérisation de l'enveloppe convexe en tant qu'ensemble de barycentres à poids non-négatifs. Lien entre la convexité géométrique et la définition des fonctions convexes. Références : [I] 1.5, 1.9, [P] 1.6



SEMAINE 4. Séance 8 du 4 octobre : Convexité (suite et fin).

Produits semi-directs de groupes. Suites exactes scindées de groupes. Exemples. [I] 1.8

Séance 9 du 5 octobre : Produits semi-directs de groupes (suite et fin). [I] 1.8

Projections affines. Symétries affines. [I] 1.6



SEMAINE 5. Séance 10 du 8 octobre : Espaces projectifs. Sous-espaces projectifs. Intersection. Exemples. [I] 2.1, 2.2

Séance 11 du 11 octobre : Structure d'espace affine sur le complémentaire d'un hyperplan projectif. Les intersections de sous-espaces projectifs avec un ouvert affine sont des sous-espaces affines. Les sous-espaces affines sur l'ouvert affine peuvent être complétés de manière unique à des sous-espaces projectifs. Projections centrales. [I] 2.2, 2.3

Séance 12 du 12 octobre : Coordonnées homogènes. Passage entre coordonnées homogènes et coordonnées affines. Théorème de Pappus projectif. L'alignement est préservé par changement d'hyperplan à l'infini, mais pas le parallélisme. [I] 2.4, 2.6



SEMAINE 6 du 15-19 octobre : pas de cours



SEMAINE 7. Séance 13 du 25 octobre : Applications projectives. Groupe projectif. Groupe projectif linéaire. Projections centrales. [I] 2.5

Séance 14 du 26 octobre : Repères projectifs. Existence et unicité d'une application projective qui transforme un repère donné dans le repère standard sur $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$. Repère projectif sur une droite. Définition du birapport de quatre points sur une droite. [I] 2.7



SEMAINE 8. Séance 15 du 8 novembre : Repères projectifs, birapport - suite et fin. [I] 2.7

Séance 16 du 9 novembre : Aspects topologiques concernant les espaces projectifs réels et complexes. [I] 2.1

Formes bilinéaires et formes qudratiques - définitions de base. [I] 3.1



SEMAINE 9. Séance 17 du 15 novembre : Classification des formes quadratiques sur  ${\mathbb{C}}$  et  ${\mathbb{R}}$. [I] 3.1$\mathbb{C}$$$

Séance 18 du 16 novembre : Classification des formes quadratiques complexes et réelles - suite et fin. [I] 3.1

Coniques projectives. Conniques affines. Homogénéisation et déshomogénéisation. Exemples. [I] 3.2



SEMAINE 10. Pas de cours le jeudi 22 novembre.

Séance 19 du vendredi 23 novembre. Hyperplan tangent à une conique en un point régulier. Hyperplan tangent à une hypersurface algébrique de degré quelconque en un point régulier. Lien avec le point de vue différentiel. Comparaison des notions d'hyperplan tangent affine et projectif. [I] 3.2



SEMAINE 11. Séance 20,5 du jeudi 29 novembre (3h de cours). Théorème de Pascal. [I] 3.2

Espaces affines euclidiens. Tous deux espaces affines euclidiens de même dimension sont isomorphes. Procédé de Gram-Schmidt. Décomposition orthogonale-triangulaire des matrices inversibles. Structure du groupe des rotations. [I] 3.4

Pas de cours le vendredi 30 novembre.



SEMAINE 12. Séance 22 du jeudi 6 décembre (3h de cours).  Structure du groupe des rotations. [I] 3.4

Coniques euclidiennes. Description de l'ellipse et de l'hyperbole par foyers. Description des coniques euclidiennes par foyer et directrice. Propriété optique des coniques euclidiennes. [A] VII.2

Pas de cours le vendredi 7 décembre.



SEMAINE 13. Séance 23 du jeudi 13 décembre. Coniques euclidiennes en tant que sections d'un cône droit par des plans. Sphères de Dandelin.

Discussion hors-programme : lois de Kepler. Déduction géométrique de la loi des aires à partir des lois de Newton. Voir le document complémentaire No. 3 ci-dessus.

Séance 24 du vendredi 14 décembre. Discussion hors-programme : lois de Kepler. Déduction partielle de la loi des ellipses à partir des lois de Newton. Voir le document complémentaire No. 3 ci-dessus.

Discussion hors-programme : la perspective en peinture. Voir le document complémentaire No. 4 ci-dessus.


FIN DU COURS.