Cette page contient l'état d'avancement du cours, les feuilles d'exercices et d'autres documents supplémentaires.

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FEUILLES DE TD : No.1  No.2   No.3  No.4  No.5   No.6   No.7   No.8   No.9   No.10   No.11 

DEVOIR No.1 (distribué le 13/10 à rendre le 20/10)    DEVOIR No.2 (distribué le 30/11, à rendre le 7/12)

EXAMEN PARTIEL DU 9/11

CORRIGE DE L'EXAMEN PARTIEL DU 9/11

EXAMEN FINAL DU 10/01

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Bibliographie :

[A] M. Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006.

[I] I. Itenberg, Algèbre géométrique, polycopié de cours 2012-2013. Disponible sur la page web de l'auteur, ou ici

[P] P. Polo, Géométrie affine et projective, polycopié de cours 2016-2017. Disponible sur la page web de l'auteur, ou ici


Des notes de cours complémentaires seront fournies pour les sujets qui ne sont pas traités dans les polycopiés. Ces derniers ne seront pas suivis de façon linéaire.

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ÉTAT D'AVANCEMENT DU COURS


SEMAINE 1. Séance du 14 septembre : sous-espaces affines de $\mathbb{R}^n$, lien avec les systèmes d'équations non homogènes. La notion d'espace affine. Structure canonique d'espace affine sur un espace vectoriel. Structure non canonique d'espace vectoriel sur un espace affine déterminée par un choix d'origine. Sous-espace affines. Sous-espace affines parallèles, faiblement parallèles. Bibliographie : [I] 1.2, 1.4. [P] 1.2

Séance du 15 septembre : intersection de sous-espaces affines. Applications affines. Structure de groupe sur l'ensemble des applications affines inversibles. Morphisme vers le groupe des applications linéaires inversibles. Translations et leur caractérisation en tant qu'applications affines dont l'application linéaire associée est l'identité. Homothéties et leur caractérisation en tant qu'applications affines dont l'application linéaire associée est $\lambda \mathrm{Id}$, $\lambda$ un scalaire. Bibliographie : [I] 1.6 [P] 1.4, 1.5


SEMAINE 2. Séance du 21 septembre (cours 3) : Projections et symétries (formules et caractérisation en tant que projecteurs, resp. involutions affines). La notion de système de points affinement indépendants, repère affine, coordonnées affines. Bibliographie : [I] 1.6, 1.5 [P] 1.3, 1.4

Séance du 22 septembre (cours 4) : Barycentres, associativité, l’espace affine engendré par une famille de points est l’ensemble de tous les barycentres de sous-familles finies. Convexité : enveloppe convexe, caractérisation de l’enveloppe convexe comme ensemble des barycentres à poids non-négatifs. Bibliographie : [I] 1.5, 1.7. [P] 1.6


SEMAINE 3. Séance du 28 septembre (cours 5) : Actions de groupes et produits semi-directs. Terminologie et exemples pour actions de groupes : orbites, action libre, action transitive, stabilisateur, sous-groupe d'isotropie. Construction d'un produit semi-direct de deux groupes. Lien avec les suites exactes courtes scindées de groupes. Bibliographie : [I] 1.1, 1.8

Séance du 29 septembre (cours 6) : Le groupe des transformations affines est produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des transformations linéaires. Espaces affines en tant qu'ensembles munis d'une action libre et transitive du groupe abélien sous-jacent à un espace vectoriel. Prolongement vectoriel canonique d'un espace affine.

Premiers éléments d'algèbre bilinéaire. Formes bilinéaires. Représentation dans une base. Modification de la représentation matricielle par changement de base. Bibliographie : [I] 1.1, 1.8, 3.1.


SEMAINE 4. Séance du 5 octobre (cours 7) :  Quotient d'un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel. Dual d'un espace vectoriel. Transposée d'une application linéaire.

Formes bilinéaires symétriques et anti-symétriques. Noyau. Non-dégénérescence. Rang. Exemples. Sous-espaces isotropes. Énoncé du théorème de classification des formes bilinéaires symétriques sur $\mathbb{R}$. [I] 3.1

Séance du 6 octobre (cours 8) : Preuve du théorème de classification des formes bilinéaires symétriques sur $\mathbb{R}$. Indice et rang.

Formes quadratiques. Formule de polarisation. Classification des formes quadratiques sur $\mathbb{R}$. Exemples. Effet géométrique de la composition par un automorphisme linéaire de l'espace ambient. Exemples. [I] 3.1


SEMAINE 5. Séance du 12 octobre (cours 9) : Classification des fomes bilinéaires anti-symétriques sur un espace vectoriel réel. Forme symplectique standard sur $\mathbb{R}^{2n}$. [I] 3.1

Espaces vectoriels euclidiens et espaces affines euclidiens. Définition. Deux espaces vectoriels euclidiens de même dimension sont isomorphes. Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel/affine. Le groupe des isométries d'un espace vectoriel euclidien. Calculs en dimension 2. [I] 3.1 [A] II.1

Séance du 13 octobre (cours 10) : Description des éléments de SO(2) (rotations) et O(2) (réflexions). Description des éléments de SO(3) et O(3). [I] 3.4 [A] II.2

SEMAINE 6. Séance du 19 octobre (cours 11) : forme normale des éléments de O(n). Toute rotation dans un plan est produit de deux réflexions. Tout élément de O(n) est produit d'au plus n réflexions. [I] 3.4

Propriétés topologiques de SO(n) et O(n) : compacité, connexité. Le groupe O(n) a exactement deux composantes connexes, distinguées par la signe du déterminant. [A] Chapitre II.

Séance du 20 octobre (cours 12) : éléments de géométrie euclidienne plane. Médiatrice d'un segment comme lieu géométrique des points équidistants par rapport aux extrémités. Le pied de la perpendiculaire menée d'un point sur une droite est l'unique point qui minimise la distance du point à la droite. Cercle comme lieu géométrique des points équidistants par rapport à un point. Une droite intersecte un cercle en 0, 1 ou 2 points. Tangente en un point à un cercle. Interprétation de la tangente en un point au cercle comme limite des droites sécantes passant par ce point. [A] III.2

SEMAINE 7. Séance du 26 octobre (cours 13) : éléments de géométrie euclidienne plane - suite. Angles orientés de vecteurs. Angles orientés de droites. Bissectrices. [A] III.1

Séance du 27 octobre (cours 14) : éléments de géométrie euclidienne plane - fin. Angles inscrits dans un cercle. Condition de cocyclicité pour quatre points en termes d'angles orientés de droites. Exemple d'application : la droite de Simson. [A] III.1, Ex. III.32


SEMAINE 8. Séance du 9 novembre - reportée à cause de l'Atrium des Métiers

Séance du 10 novembre (cours 15) : Géométrie projective. Définition de l'espace projectif et des sous-espaces projectifs. Les espaces projectifs réels ou complexes sont des espaces topologiques connexes et compacts. Le complémentaire d'un hyperplan projectif possède une structure canonique d'espace affine. Complété projectif d'un espace affine. [I] 2.1, 2.2, 2.3


SEMAINE 9. Séance du 16 novembre (cours 16) : Théorèmes de Pappus et Desargues projectifs, et leur relation avec les théorèmes de Pappus et Desargues affines. Dualité projective. [I] 2.4, 2.9

Séance du 17 novembre (cours 17) : Groupe des homographies. Groupe projectif linéaire. Plongement du groupe des transformations affines dans le groupe des homographies. Coordonnées homogènes. Homogénéisation et déshomogénéisation. [I] 2.5, 2.6


SEMAINE 10. Séance du 23 novembre (cours 18) : Repères projectifs. Birapport. Théorème de Thalès projectif. [I] 2.6, 2.7, 2.8

Séance du 24 novembre (cours 19) : Quadriques projectives. Exemples sur $\mathbb{C}$ et $\mathbb{R}$ (signature, exemple des coniques), quadriques sur une droite, coniques dégénérées, par 5 points passe une unique conique. Théorème de Pascal. [P] §22.


SEMAINE 11. Séance du 30 novembre (cours 20) : Perspectives centrales en géométrie projective, perspectives centrales généralisées. Les perspectives induisent des homographies entre sous-espaces projectifs ne passant pas par le lieu de base. Démonstration du théorème de Thalès projectif. [I] 2.3, 2.5. Ouverture : liens avec la notion de perspective utilisée en peinture.

Séance du 30 novembre bis (cours 21) : Procédé d'homogénéisation et de déshomogénéisation pour les coniques. Ellipses, paraboles, hyperboles comme traces affines d'une même conique projective, correspondant à différents choix de droite à l'infini. [A] VII.5

Polarité par rapport à une quadrique non-dégénérée. Hyperplan tangent en un point défini comme polaire du point. Une droite intersecte une conique (non-dégénérée) en au plus deux points, et l'intersection est réduite à un point si et seulement si c'est la tangente en ce point.
Point régulier sur une quadrique affine. [I] 2.9, 3.2

Notions de calcul différentiel. Théorème des fonctions implicites. Valeur régulière, espace tangent en un point régulier d'un niveau de fonction lisse. Cas particulier des quadriques. Gradient d'une fonction, orthogonalité du gradient par rapport aux ensembles de niveau. [A] IX.2.8, IX.2.11

SEMAINE 12. Séance du 7 décembre (cours 22) : Hypersurfaces définies par des polynômes homogènes de degré arbitraire dans un espace projectif. Définition algébrique des notions de point régulier et hyperplan tangent. La notion de point régulier au sens algébrique coïncide avec la notion de point régulier au sens différentiel, vu dans un ouvert affine. L'hyperplan tangent projectif est le complété projectif de l'hyperplan tangent affine. Lemme d'Euler sur les polynômes homogènes. [I] 2.9 [P] §23

Séance du 8 décembre (cours 23) : Enoncé de la classification sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ des coniques, resp. quadriques. [I] 3.2 [A] VII.2

Propriétés métriques des coniques. Caractérisation des coniques euclidiennes non-dégénérées par directrice et foyer. [A] VII.2.7

SEMAINE 13. Séance du 14 décembre (cours 24) : Propriétés métriques des coniques. Caractérisation de l'ellipse et de l'hyperbole à l'aide des deux foyers. [A] VII.2.9

Toute conique peut être réalisée comme section planaire d'un cone. Sphères de Dandelin et retour sur la caractérisation de l'ellipse et de l'hyperbole à l'aide des foyers. Réf. Akopyan-Zaslavsky, document distribué en cours.

Propriété optique des coniques. Démonstration dans le cas de la parabole.  [A] VII.2.15, VII.2.17.