COURS M2 "GEOMETRIE RIEMANNIENNE"
Université Pierre et Marie Curie, Master de
Mathématiques fondamentales
Novembre-Décembre 2013
Cours (A. Oancea) : lu, ma 11h-13h ; TD
(V. Minerbe) : je 11h-13h
Vous trouverez sur cette page l'état
d'avancement du cours, les feuilles d'exercices, et quelques
compléments de cours.
Semaine 1, séances du 4 et 5 novembre : métrique
riemannienne, distance, longueur et énergie. Equations
d'Euler-Lagrange. Equation des géodésiques en coordonnées
locales. Symboles de Christoffel. Connexion de Levi-Civita.
Formulation intrinséque de l'équation des géodésiques.
Connexion de Levi-Civita d'une sous-variété. La notion de
connexion linéaire sur un fibré vectoriel.
Feuille d'exercices
No. 1 (TD du 7 novembre)
Complément de
cours No. 1
Feuille d'exercices
No. 2 (TD du 14 novembre)
Semaine 2, séance du 12 novembre : connexions
dans les fibrés vectoriels. Distribution horizontale,
transport parallèle. Le transport parallèle détermine la
connexion.
Feuille d'exercices
No. 3 (TD du 21 novembre)
Semaine 3, séances du 18 et 19 novembre : Géodésiques :
application exponentielle, minimisation locale de la distance,
existence de voisinages géodésiquement convexes, théorème de
Hopf-Rinow. Rigidité des isométries locales.
Variation seconde de l'énergie. Définition et premières
propriétés du tenseur de courbure de Riemann. Equation des
champs de Jacobi.
Feuille d'exercices
No. 4 (TD du 28 novembre)
Semaine 4, séances du 25 et 26 novembre : Courbure
sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Enoncés
des théorèmes de Myers, Cartan-Hadamard, Bochner. Asymptotique
de la longueur des petits cercles et du volume des petites
boules.
Courbure d'une connexion linéaire dans un fibré vectoriel.
L'annulation de la courbure équivaut à l'intégrabilité de la
distribution horizontale et aussi à la trivialité locale de la
connexion. Connexions plates et représentations du groupe
fondamental.
Variation première et seconde de la fonctionnelle de longueur.
Comparaison avec la fonctionnelle d'énergie.
Champs de Jacobi. Existence et unicité. Repères parallèles le
long d'une géodésique. Les champs de Jacobi sont tous réalisés
par des variations géodésiques. Points conjugués. Une
géodésique n'est plus minimisante au-delà du premier point
conjugué.
Feuille d'exercices
No. 5 (TD du 5 décembre)
Semaine 5, séances du 2, 3 et 4 décembre : Théorèmes
classiques : Cartan-Hadamard, Bonnet-Myers, classification des
variétés à courbure sectionnelle constante, courbure
sectionnelle et asymptotique de la longueur des petits
cercles.
Volume. Densité, calculs. Courbure scalaire et asymptotique du
volume des petites boules. Théorème de comparaison de Bishop.
Application : théorème de Milnor (croissance polynomiale du
groupe fondamental d'une variété compacte à courbure de Ricci
non-négative). Enoncé du théorème de comparaison de Günther.
Cut-locus.
Algèbre linéaire dans un espace vectoriel euclidien. Etoile de
Hodge. Adjoint formel de la différentielle extérieure.
Définition du laplacien de Hodge. Expression en coordonnées
locales en degré 0.
Complément de
cours No. 2 (transformation des symboles de Christoffel par
changement de coordonnées; expression locale du tenseur de
courbure et relevés horizontaux).
Feuille d'exercices
No. 6 (TD du 12 décembre)
Semaine 6, séances du 9 et 10 décembre : Enoncé du
théorème de décomposition de Hodge. Applications: existence et
unicité du représentant harmonique dans une classe de
cohomologie de de Rham donnée. Dualité de Poincaré pour
cohomologie de de Rham sur une variété compacte. Méthode de
Bochner : formule de Bochner (démontrée dans le complément de
cours No. 3), théorème de Bochner (courbure de Ricci et H1).
Opérateurs différentiels elliptiques. Définition. Symbole
principal. Propriétés fondamentales : extension linéaire et
continue aux espaces de Sobolev, existence et ellipticité de
l'adjoint formel, caractère de Fredholm, régularité
elliptique, estimée elliptique. Démonstration du théorème de
décomposition de Hodge. Rappels sur la transformée de Fourier.
Espaces de Sobolev L2 via
transformée de Fourier. Démonstration de l'estimée elliptique
L2.
Complément de
cours No. 3 (dérivée covariante, formule de Bochner)
Examen du 17 décembre 2013 (9h-13h): sujet et
corrigé
Je (A.O.) mettrai en ligne les corrections des deux dernières
questions (xiv) et (xv) un peu plus tard. La question (xiv)
est une façon condensée de penser tout l'exercice, et il est
utile d'y refléchir un peu soi-même avant de lire une
correction. La question (xv) est essentiellement indépendante
du reste de l'exercice et présente une jolie propriété
géométrique de la fibration de Hopf (la question se réduit
facilement au cas n=1). Vous pourrez y refléchir
pendant les vacances, si vous le souhaitez bien-sûr.
©2013 Alexandru Oancea. Dernière mise à jour : 18 décembre 2013.