Topologie 2025
L3, Strasbourg, 2025
- Définition: topologie, ouverts.
- Exemples de topologie: discrete, grossiere, cofinie, euclidienne
- fermés, propriétés/axiomes des fermés.
- Définition: un ouvert contenant un point x est appelé un voisinage ouvert de x.
- Notion de distance
- Exemples de distances: distance discrete, distances sur R et sur R^n: L_1, L_2, L_p, Max, etc, distance de graphe, distance SNCF
- Topologie induite d'une distance.
- Différentes distances peuvent induire la même topologie (e.g. si equivalente).
- Exemple:les distances L_1, L_2, L_p, Max sont equivalentes. Topologie euclidienne
- Topologie plus/moins fine
Référence: Livre de Morris, Chapter 1 et Chapter 2, 2.1.
- Définition: une application est continue ssi la préimage d'un ouvert est ouvert ssi la préimage d'un fermé est fermé.
- Composition des applications continues est continue.
- Une application issue d'un espace topologique discret est toujours continue; une application vers un espace topologique munie de la topologie groissière est toujours continue.
- Ordre entre les topologies: plus groissière, plus fine; caractérisé par continuité de l'application identité.
- Une applications f entre deux espaces metriques X et Y est continue ssi pour tout point x de X, pour tout \epsilon, il existe \delta, tel que f(B(x,\delta)) est contenue dans B(f(x), \epsilon).
- Définition: Homéomorphisme. L'inverse d'un homeomorphisme est un homeomorphisme.
- Exemples d'application continue bijective qui n'est pas un homeomorphisme.
- Une application continue est un homéomorphisme ssi elle est bijective et ouverte ssi elle est bijective et fermée.
- Topologie euclidienne sur R, sur R^n
- Description des ouverts comme unions d'intervals ouverts (motivation pour "Base").
- Définition: Base d'une topologie
- Exemple: les intervals ouverts forment une base de la topologie euclidienne sur R
- Exemple: Les boules ouvertes forment une base de la topologie d'un espace métrique
- Exemple: Les singletons forment une base de la topologie discrète.
- Base n'est pas unique.
- Proposition: Une collection B des sous-parties de X est une base d'une topologie sur X ssi intersection de deux membres de B est l'union de certain memebres de B, et l'espace total est l'union de tous les membres de B.
- Verification que c'est le cas pour les boules ouvertes dans un espace métrique.
- Dans la situation de Proposition, la topologie est definie en prenant les ouverts comme les sous-ensembles qui sont l'union des membres de B. On dit que la topologie est engendree par la base B.
Référence: Livre de Munkres: Sections 13, 18.
- Deux bases de topologie B1 et B2 induissent la même topologie ssi chaque membre de B1 est l'union d'membres de B2 et chaque membre de B2 est l'union d'membres de B1.
- Topologie induite sur un sous-ensemble d'un espace topologique
- Topologie induite sur un sous-espace A est la topologie la moins fine sur A qui rend l'inclusion naturelle continue
- Soit f:X\to Y une application dont l'image est contenue dans un sous-espace A (muni de la topologie induite). Alors f est continue ssi elle est continue vue comme une application de X vers A.
- Exemple: la topologie induite sur Z par l'inclusion dans R est la topologie discrète. Mais la topologie induite sur Q n'est pas discrète.
- En intersectant les membres d'une base de topologie de X avec un sous-espace A, on obtient une base de la topologie induite sur A.
- Exemple: une droite affine dans R^2. La topologie induite est la topologie euclidienne.
- Topologie naturelle sur l'union disjoint.
- Propriétés basiques de la topologie sur l'union disjoint.
- Topologie produit, intuition naïve.
- Définition par la base ("les boîtes"); vérification que l'intersection de deux boîtes est une boîte.
- Topologie produit est la topologie la moins fine sur XxY qui rend les deux projections continues.
- Propriété universelle de produit munie de la topologie produit.
- Generalisation: nombre de facteurs quelconque.
- La topologie produit et la topologie "boite" sur le produit cartesien d'un nombre infini d'espaces topologiques
- Comparaison de ces deux topologies. (Elle coincident pour un produit d'un nombre fini de facteur).
- La topologie produit est la topologie la moins fine qui rend toutes les projections naturelles continues. Proporiete universelle.
- Exemple: Sur R^n, la topologie produit construite à partir de celle de R est la topologie euclidienne.
Référence: Livre de Morris, Chapter 4, 4.1. Chapter 8, 8.1. Livre de Munkres: Section 15,16,(19).
- Sur un produit de deux espaces métriques, la topologie produit coïncide avec la topologie induite par la distance "produit" (par exemple L1, L2, L_\infinie).
- Interieur et adherence d'un sous ensemble d'un espace topologique
- Définition: adhérence:=l'intersection de tous les fermés qui le contiennent.
- Adhérence de A est le fermé minimal qui contient A.
- Un point x est dans l'adhérence de A si tout ouvert contenant x intersecte A de façon non vide.
- Définition: Intérieure:= l'union de tous les ouverts qui sont contenus dedans.
- L'intérieure de A est le plus grand ouvert qui est contenu dans A.
- Proposition (Relation intérieure-adhérence): le complémentaire de l'intérieure est l'adhérence du complémentaire; le complémentaire de l'adhérence est l'intérieure du complémentaire.
- Example de l'adhérence et l'intérieure d'un interval.
- Définition: dense
- Définition: maigre
- Un sous-ensemble est dense ssi il intersecte tout ouvert non vide de manière non vide.
- Exemple: Q est dense dans R, mais Z n'est pas dense dans R.
- Exemple: sous-ensemlbes denses dans un espace topologique discrète (resp. grossière).
- Proposition: A_i dense dans X_i, alors le produit de A_i est dense dans le produit de X_i.
- Définition: séparabilité.
- Produit fini d'espaces topologiques séparables est séparable.
- Systeme fondamental de voisinage.
- Définition (axiomes de dénombrabilité) C1, C2.
- C2 implique C1.
- C2 impique séparable.
- Exemple: R^n est C2
- Sous l'axiome C1, la notion topologique est souvent equivalent à son analogue séquentiel. Exemple: fermé, adhérence etc.
- Définition (axiomes de séparation): T0, T1, T2 (=séparé=Hausdorff), T3 (=régulier), T4 (=normal)
- Définition: séparé=Hausdorff=T2
- T4 => T3 => T2 => T1 => T0.
- Toute implication ci-dessus est stricte. Voir la référence ci-dessous.
- Exemple: Espace T0 mais pas T1: espace de Sierpinski.
- T1 ssi tout singleton est fermé ssi tout sous-ensemble fini est fermé.
Référence: Livre de Munkres: Chapter 2, Section 19. Chapter 4, Section 30, 31, 32, 33, 34, 35.
- T2 ssi la diagonale est fermée.
- Un espace topologique X est séparé ssi la diagonale est fermée dans XxX (munie de la topologie produit).
- Exemple: Espace T1 mais pas T2: un ensemble infini muni de la topologie co-finie.
- T2 est stable par sous-espace et par produit.
- Théorème: C2 + T3 implique T4.
- Theorem (Lemme de Urysohn). Si un espace topologique X est T4, alors pour tout A, B deux fermés disjoins, il existe une fonction *continue* de X vers [0,1] telle que f(A)=0, f(B)=1.
- Théorème de métrisabilité de Urysohn: Si un espace topologique X est C2 et T4, alors il existe une distance sur X qui induit la topologie.
- Théorème extension de Tietze: Si X est un espace topologique qui vérifie T4. Alors pour tout fermé A, toute fonction continue sur A peut être étendue en une fonction continue sur X.
Référence: Livre de Munkres: Chapter 4, Section 32, 33, 34, 35.
- Définition: connexité.
- Exemples: espace topologique grossier est toujours connexe; espace topologique discret avec au moins deux éléments est non connexe.
- Q est non connexe. Notons que la topologie n'est pas la topologie discrète.
- Connexité est une propriété topologique: i.e. préservée par un esapce topologique homéomorphe.
- Théorème: R et tout intervalle de R muni de la topologie euclidienne, est connexe. (Dans la preuve, on utilise l'existence de sup et inf.)
- Proposition (adhérence): Si A est un sous-espace connexe d'un espace topologique. Alors tout sous-espace B qui contient A et est contenu dans l'adhérence de A, est connexe.
- Attention: Cette proposition ne vaut pas pour la connexité par arcs: contre-exemple est fourni par la courbe sinus de topologiste.
- Proposition (image): L'image d'un sous-ensemble connexe par une application continue est connexe.
- Produit d'un nombre fini d'espace topologiques connexes est connexe.
- La preuve utilise le Lemme: Si A est un sous-espace connexe d'un espace topologie X, si U est un clopen de X, alors soit A est contenu dans U ou A est disjoint avec U.
- Remarque: la proposition précédente se généralise au produit arbitraire, si on munit le produit arbitraire la topologie produit. Si on munit le produit infinit de la topologie "boîte", qui est strictement plus forte que la topologie produit, alors le produit n'est pas connexe en général (voir Munkres P. 151, Example 6).
- Lemme: un sous-espace de R est connexe ssi il est connexe par arcs ssi il est convexe ssi il est un intervalle.
- Notion de chemin.
- Définition: connexité par arcs.
- Proposition. Connexité par arcs implique connexité, mais pas inversement en général (exemple: courbe sinus de topologiste).
- L'image d'un sous-ensemble connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.
- Produit d'un nombre fini d'espace topologiques connexes par arcs est connexe par arcs.
Référence: Livre de Munkres, Chapter 3, Sections 23-24.
- Etoile dans un espace vectoriel (espace affine).cette notion n'est pas une notion topologique.
- Notion de convexité pour des sous-ensembles d'un esapce euclidien; cette notion n'est pas une notion topologique.
- Un convexe est une étoile et une étoile est connexe par arcs.
- Théorème de Valeur Intermédiare: Soit X un espace topologique connexe, soit f: X-> I une fonction continue sur X, où I est un intervalle. Si a et b sont dans l'image de f, alors toute valeur c dans [a,b] est dans l'image de f.
- Corollaire: théorème de point fixe pour [0,1].
- Theoreme de pointe fixe de Brouwer: une application continue d'un disque ferme vers lui-meme admet au moin un point fixe.
- Définition de componsante connexe: c'est une classe d'équivalence pour la relation d'équivalence suivante: x ~ y ssi x et y sont contenus dans un sous-espace connexe.
- Lemme: c'est bien une relation d'equivalence.
- Proposition: Une composante connexe est connexe et fermée. Une composante connexe n'est pas forcément ouverte. Exemple: Q, tous les singletons sont des composantes connexes, mais un singleton n'est pas ouvert dans Q.
- Définition de composante connexe par arcs: c'est une classe d'équivalence pour la relation d'équivalence suivante: x ~ y ssi x et y sont liés par un chemin.
- Une composante connexe par arcs est connexe par arcs (donc connexe), mais par forcément ouvert ou fermé (exemple: sinus de topologiste).
- Par construction, un espace topologique est l'union disjoint de ses composantes connexes; on l'appelle la décomposition en composantes connexes. De façon similaire, on a la décomposition en composantes connexes par arcs.
- Remarque: Une composante connexe par arcs est contenue dans une composante connexe, mais par inversement en général (ex: sinus de topologiste). Donc la décomposition d'un espace topologique en composantes connexes par arcs est un raffinement de la décomposition en composantes connexes. Si l'espace total est localement connexe par arcs, alors la notion de composante connexe par arcs coïncident avec la notion de composante connexe.
Référence: Livre de Munkres, Chapter 3, Sections 23-24.
- Notion de compacité.
- Reformulation en termes des fermes.
- Exemple: Un espace topologique fini est compact.
- Non exemple: R n'est pas compact. Un intervalle (semi)-ouvert n'est pas compact.
- Lemme: Soit A un sous-espace de X. La compacité de A est équivalente à la condition suivante: toute famille d'ouverts de X dont l'union contient A admet une sous-famille dont l'union contient A.
- Théorème de Heine-Borel: Tout intervalle fermé est compact.
- Proposition: Fermé d'un compact (muni de la topologie induite) est compact.
- Proposition: L'image d'un compact par une application continue est compacte.
- Proposition: un sous-espace compact d'un espace separé est fermé.
- Théorème: Soit f: X-> Y une application continue. Si X est compact et Y est Hausdorff, alors f est une application fermee. Si de plus f est bijective, alors f est un homéomorphisme.
- Théorème: Produit d'espaces compacts est compact.
- Le théorème vaut pour produit arbitraire (Tychonoff), mais nous le prouvons seulement pour un produit fini.
Références: Livre de Munkres, Chapter 3, Sections 23, 24, 25, 26.
- Théorème: Produit d'espaces compacts est compact.
- La preuve utilise: lemme de tube.
- Corollaire (Heine-Borel): Un sous-ensemble de R^n est compact ssi il est borné et fermé.
- Le corollaire ne se généralise pas pour tout espace métrique. Exemple: un espace infini avec la distance discrète.
- Remarque: Un espace métrique est compact ssi il est totalement borné et complet. Dans R^n, un sous-espace est totalement borné ssi il est borné; il est complet ssi il est fermé.
Feuilles de TD
Evaluation:
Note finale= Max(CC3, (CC1+ CC2 + 2xCC3)/4).
Références:
- A. Morris: Topology without tears, disponible online.
- James Munkres: Topology, Pearson Education.
- M.A. Armstrong: Basic Topology, Undergraduate Texts in Mathematics.