COURS M2 "GEOMETRIE ET TOPOLOGIE DIFFERENTIELLES"

Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques fondamentales
Septembre-Octobre 2013

lu, ma 11h-13h, salle 15-25/326


Vous trouverez sur cette page l'état d'avancement du cours et les feuilles d'exercices.


Semaines 1 et 2, séances du 9, 10, 16, 17 septembre : variétés, champs de vecteurs, flots, crochet de Lie, dérivée de Lie, théorème de Frobenius, formes différentielles, intégration des formes différentielles. Premiers éléments de théorie de Morse. Fibrés vectoriels.

Feuille d'exercices No. 1 du 10 septembre

Feuille d'exercices No. 2 du 17 septembre


Semaine 3, séances du 23 et 24 septembre : orientabilité; variétés à bord; produit extérieur de formes différentielles; différentielle extérieure; théorème de Stokes. Ceci achève la première partie du cours (calcul différentiel sur les variétés).

Partie II : TOPOLOGIE DIFFERENTIELLE

Le langage des catégories, la notion de foncteur. Premiers éléments de cohomologie de de Rham. Cohomologie de de Rham à supports compacts. Calcul de H0. Invariance par homotopie.

Feuille d'exercices No. 3 du 24 septembre


Semaine 4, séances du 30 septembre et du 1er octobre : Degré d'une application lisse. Définition par cohomologie de de Rham et par comptage de préimages de valeurs régulières. Equivalence des deux définitions. Applications: théorème de la boule chevelue, théorème du point fixe de Brouwer. Degré comme obstruction à l'extension - point de vue des formes différentielles et des valeurs régulières.

Transversalité. Préimage d'une sous-variété par une application transverse et fibré normal. Théorème du voisinage tubulaire. Exemple : plongements du cercle dans le plan projectif réel. Enoncé du théorème de transversalité (généricité des applications transverses). Homotopie et cobordisme : les préimages d'une sous-variété par deux applications homotopes qui lui sont transverses sont des variétés cobordantes.

Feuille d'exercices No. 4 du 1er octobre

Complément au cours No. 7 du 30 septembre

Référence distribuée en cours: J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Virginia Univ. Press, 1965. Chapitre 3 : "Proof of Sard's theorem".

EXAMEN BLANC - Sujet du 4 octobre, à rendre le mardi 8 octobre



Semaine 5, séances du 7 octobre et 8 octobre : Théorèmes d'approximation (C0 par Cinfty, Cr par Cinfty). La classe d'homotopie est stable par approximation : Deux applications C0-proches sont homotopes. Théorèmes de transversalité via théorème de Sard en dimension infinie. Propriétés élémentaires des applications de Fredholm.

Nombre d'intersection de deux variétés orientées de dimensions complémentaires. Nombre d'Euler d'une variété orientée comme auto-intersection de la section nulle dans le fibré tangent. Nombre d'Euler d'un fibré orienté de rang égal à la dimension de la base. Théorème de Poincaré-Hopf. Exemples de champs de vecteurs : champs de vecteurs sur les surfaces, champs de gradient. Fonctions de Morse. Définition de la Hessienne et lien avec le théorème de Poincaré-Hopf.

Feuille d'exercices No. 5 du 8 octobre

Référence distribuée en cours: D. McDuff, D. Salamon, J-holomorphic curves and symplectic topology, AMS Colloquium Publication Vol. 52, AMS, 2004. Appendix A.4 ("Finite dimensional reduction") and Appendix A.5 ("The Sard-Smale theorem"), pp. 506-510.


Semaine 6, séances du 14 octobre et 15 octobre : Théorie de Morse : lemme de Morse, comportement des ensembles de sous-niveau lors de la traversée d'une valeur critique d'une fonction de Morse. Application : le nombre d'Euler d'une variété compacte orientée est égal à la caractéristique d'Euler-Poincaré de sa cohomologie de de Rham. Suite exacte longue de Mayer-Vietoris en cohomologie de de Rham.

Dualité de Poincaré. Dual de Poincaré d'une sous-variété compacte orientée sans bord. Produit d'intersection et produit extérieur de formes. Classe de Thom et classe d'Euler. (d'après Bott-Tu, premier chapitre).

Feuille d'exercices No. 6 du 15 octobre

Notes de cours manuscrites pour les cours du 14 et 15 octobre - à lire comme guide de lecture pour le premier chapitre du livre de Bott et Tu.

Corrigé de l'examen blanc du 4 octobre


Examen du 21 octobre 2013 : Sujet et Corrigé.

©2013 Alexandru Oancea. Dernière mise à jour : 23 octobre 2013.