Institut de recherche mathématique avancée

La symétrie miroir est un sujet à l'interface entre la géométrie sympléctique, la géométrie analytique complexe et la physique mathématique. De façon informelle, il s'agit d'une dualité (encore conjecturale) pour les variétés Calabi-Yau : étant donné une telle variété X (ou, mieux, une famille de telles variétés), il devrait exister une deuxième variété (ou famille) Y, appelée le "miroir" de X. La paire (X,Y) devrait être caractérisée par le fait que les invariants de nature symplectique de X correspondent à des invariants de nature holomorphe de Y. Cependant, la construction de Y à partir de X reste un problème ouvert et majeur de la théorie, résolu dans une multitude d'exemples, mais pas en général.

En 2006 Kontsevich et Soibelman ont proposé une stratégie d'attaque basée sur la géométrie non-archimédienne. Dans cet exposé je raconterai l'histoire de ce programme, en me concentrant sur les moments clés et sur les évolutions récentes due à S. Keel, J. Nicaise, C. Xu, T. Y. Yu et moi même.

Étant donnée une variété riemanienne M, son fibré unitaire UM est une variété de contact dont le champ de Reeb relève le flot géodésique. Pour une sous-variété N dans M, son conormal unitaire est une sous-variété legendrienne de UM. On peut alors utiliser des invariants legendriens pour étudier la sous-variété lisse initiale. Lors de cet exposé on montrera que, si les conormaux unitaires de deux tresses sont isotopes comme Legendriennes (relativement au bord), alors les tresses sont équivalentes. L'outil principal sera un invariant des Legendriennes à bord, appelé l'homologie suturée. En utilisant la suite exacte associée, on retrouve un invariant classique des tresses.

Dans ces travaux, effectués en collaboration avec Nicolas Champagnat (IECL, Nancy France), nous proposons des hypothèses pour montrer l'existence d'une distribution quasi-stationnaire pour des processus de Markov absorbés évoluant dans des espaces non-bornés. Durant l'exposé, nous aborderons les définitions et propriétés usuelles des distributions quasi-stationnaires, les critères généraux sus-mentionnés et leurs applications aux systèmes dynamiques perturbés, aux diffusions absorbées au bord d'un ouvert, au processus de Polya à valeur mesure (une collaboration avec Cécile Mailler, de l'université de Bath) et aux processus de branchement.

Résumé : We will apply the localization technique to construct explicit Gelfand-Tsetlin realizations of Zhu’s algebras for admissible representations of simple affine vertex algebras of type A.

Many engineering and scientific problems can be described by equations of fluid dynamics, namely, systems of time dependent nonlinear hyperbolic PDEs. The mathematical description of these processes as well as the numerical discretisation of the resulting PDEs will depend on the level of detail required to study them. In this talk I will focus on two directions towards higher fidelity numerical simulations: first, I present a novel structure-preserving arbitrarily high-order method that solves the nonlinear ideal magneto-hydrodynamics equations. Secondly, I will focus on our work using Machine Learning (ML) methods with the aim to improve or speed up numerical simulations, through the development of parameter-free routines as part of a numerical solver or surrogate models, with the goal of creating hybrid simulation pipelines that can improve over time.