Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Floer homology can be interpreted as an algebraic topological reformulation of the famous Principle of Least Action from physics. In this talk, we will try to see how tools from Floer theory can be applied to celestial mechanics; in particular, the Three-Body Problem. This will build up on recent developments, done by Albers, Frauenfelder,... allowing to view the Three-Body Problem as a contact geometry problem; as well as on the notion of 'Local Wrapped Floer Homology', introduced in my thesis for this very purpose.

Résumé : En théorie des déformations, il est d'usage de chercher à construire pour une structure donnée une famille rendant compte, au moins localement, de toutes ses déformations et de la manière la plus << économique >> possible. Le théorème de Kuranishi garantit par exemple l'existence d'une telle famille pour toute variété complexe compacte. Le travail de Girbau, Haefliger, Nicolau et Sundararaman permet de reproduire les arguments de Kuranishi et de construire de telles familles pour des feuilletages holomorphes et transversalement holomorphes. Toutes les structures précédentes sont des exemples d'une structure introduite par Kodaira et Spencer : les structures multifeuilletées. Je présenterai dans cet exposé ce que sont ces structures, la théorie des déformations qui leur est associée et je présenterai enfin la notion de feuilletages de Calabi-Yau et quelques propriétés remarquables de ces feuilletages.

Résumé : The objective of this presentation is to analyse fundamental neural numerical schemes utilising two-layer neural networks for the resolution of some Schrödinger problems, specifically the inversion of the Poisson operator and the eigenproblem for the Schrödinger operator, in the high-dimensional regime. By employing Barron's representation of the solution with a probability measure defined on the set of parameter values, the energy is minimised through a gradient curve dynamic on the 2-Wasserstein space of the set of parameter values defining the neural network. This approach is inspired by the work of Bach and Chizat. It is demonstrated that if the gradient curve converges, then the represented function is the solution of the elliptic equation under consideration. The method is then adapted to solve Schrödinger eigenvalue problems with smooth potentials, introducing a constrained gradient flow. The efficiency of the method is demonstrated through the presentation of numerical experiments in both cases. If time allows it, I will present the conceptual framework underlying the development of FermiNet and PauliNet. These are neural network-based methods whose objective is to solve the Schrödinger eigenvalue problem with Coulombic interaction and an antisymmetry constraint imposed on the wavefunction. Links : • https://hal.science/hal-04089961 • https://arxiv.org/abs/2409.01640 • https://sciencespo.hal.science/CHL/hal-04817039v1 These works are co-written with V. Ehrlacher, Geneviève Dusson, C. Guillot and J. Soffo Wambo.

Résumé : Résumé: Historiquement, les modules croisés de groupes ont été introduits par Whitehead afin d'avoir un modèle algébrique des 2-types d'homotopie connexes. Des analogues de dimensions supérieures ont été introduits par Loday afin de donner des modèles algébriques des n-types connexes. Dans les cas de différents types d'algèbres (Lie, associatives, commutatives, Leibniz, ...), diverses notions de modules croisés ont été introduits, et le point commun aux différentes approches est une équivalence de catégories entre modules croisés d'un certain type algébrique et catégorie interne à ce certain type algébrique. Dans un travail récent, Leray, Rivière et Wagemann (LRW) introduisent une nouvelle notion de modules croisés d'algèbres sur une opérade et prouvent que celle-ci représente la cohomologie opéradique d'une algèbre à valeur dans un module. Dans cet exposé, on montrera que l'approche de LRW est équivalente aux approches précédentes pour les cas connus, puis on proposera une notion de modules croisés supérieurs qui diffèrent de la leur, mais qui se trouvent être dans l'esprit de celle de Loday.