Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : La théorie des catégories est un formalisme mathématique qui permet d'étudier des objets en se concentrant sur les morphismes, ou les relations, entre ces objets, plutôt que sur la forme, ou les éléments, d'un objet donné. À l'origine, la théorie fut dévelopée pour généraliser certains résultats d'algèbre qui possédaient des preuves très similaires : pourquoi refaire dix fois la même preuve dans des contextes différents plutôt que de posséder un modèle de preuve qui s'adapte à tous ces contextes ? Malgré son origine algébrique, la théorie des catégories peut être utilisée comme théorie fondamentale des mathématiques, et peut donc être appliquée dans de nombreux domaines : elle a notamment trouvé des usages importants en informatique et physique théorique. Dans cet exposé, je présenterai une notion de catégorie différentielle cartésienne qui permet d'axiomatiser la notion de dérivée directionnelle pour les morphismes d'une catégorie. De manière quelque peu surprenante, cette notion vient d'un pan de la logique mathématique, la logique linéaire, et d'un domaine de l'informatique théorique appelé le lambda calcul. Nous commencerons par revoir la définition et des exemples de catégories, et nous étudierons ensuite l'application différentielle pour les fonctions lisses entre espaces euclidiens, qui fournira notre archétype de catégorie différentielle cartésienne. Nous finirons avec des exemples plus algébrique de catégories différentielles cartésiennes.

Résumé : Close you eyes, clap your hands. Can you hear the shape of the room? Is the floor made of tiles or carpet? This thesis synthesizes a research journey that attemps to tackle these intriguing questions as engineering problems. Namely, given microphone recordings of a sound source in a room, what can be said geometrically and acoustically not about the source, but about the room? Formalizing this puzzle gives rise to a rich and fascinating network of inverse problems, at the crossroad of computer science, mathematics and physics, most of which remain open to date.

Beside sheer scientific curiosity, making progress on these questions could benefit a number of applications, from simplifying and refining the acoustic diagnosis of rooms, to making audio augmented reality more immersive, to enhancing spatial audio reproduction, to improving the processing of indoor audio signals for teleconferencing, smart devices and hearing aids.

We will present a series of algorithmic contributions to this field, leveraging tools from signal processing, optimization and machine learning, using both models primarily driven by physics and models primarily driven by simulated data. Along the way, some progress will be made in framing the feasibility and well-posedness of these problems, in developing forward and inverse models that strike a balance between complexity and realism, and in understanding the mechanisms that underpin the generalizability of such models to real-world data. Some promising experimental results will be reported on estimating the dimensions, volume, surface area, reflectors' absorption and reverberation time of a room from either impulse response measurements or audio recordings, with or without the aid of geometrical knowledge. We will also investigate the potential benefit of knowing and exploiting such quantities in tasks beyond room acoustics, such as localizing and separating sound sources, and offer directions for future research in the field.

Résumé : The discriminant of a projective hypersurface X over a ring R is a polynomial in the coefficients whose invertibility determines whether X is smooth. When R is a discrete valuation ring, we relate the valuation of the discriminant to the type of singularities. This is joint work with Michael Stoll.

Résumé : Parametric partial differential equations arise in many fields of science and engineering. Solving such PDEs for a large number of parameter values using classical high-fidelity numerical methods is often computationally expensive or even infeasible. This motivates the use of model order reduction techniques, which aim to construct low-dimensional surrogate models that preserve the essential behavior of the system. In this presentation, we introduce the classical linear Reduced Basis Method and discuss its main limitations. We then explore several nonlinear approaches designed to overcome these limitations and achieve improved efficiency and accuracy.

Résumé : Les groupes de Galois des équations différentielles linéaires sont des groupes algébriques qui mesurent ce que l’algèbre voit de la dynamique, ce qu’elle peut dire de leurs solutions (par exemple le fait de pouvoir écrire une solution avec une formule, l’existence d’intégrales premières, etc). Leur détermination a fait l’objet de nombreux travaux dans les trente dernières années, avec notamment des contributions de l’école de Strasbourg, en particulier des travaux de Jean-Pierre Ramis et de Claudine Mitschi. Dans les 10 dernières années, nous avons développé avec de nombreux co-auteurs des méthodes de détermination des groupes de Galois différentiels en rendant effectives des théories de "formes réduites” de Kolchin et Kovacic. L’exposé présentera les groupes de Galois différentiels à travers quelques exemples signifiants puis les grandes idées de nos méthodes de formes réduites (classifications d’algèbres de Lie, invariants, décompositions de modules différentiels, etc). L’exposé ne supposera pas de connaissances au delà de la licence.