Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Résumé : Dans un précédent exposé, nous avons établi un isomorphisme de schémas $\mathsf{DMR}(N) \to \mathsf{EDS}(N)$ décrivant les relations de double mélange entre valeurs polylogarithmes multiples aux racines de l’unité ($N$-MPV). Le premier schéma a été introduit par Racinet tandis que nous avons construit le second d’après les idées de Hoffmann, Ihara-Kaneko-Zagier (N=1), Arakawa-Kaneko et Zhao ($N \geq 1$). Lorsque $N > 1$, les $N$-MPV satisfont aussi des relations dites de distribution que Racinet incorpore dans un sous-schéma $\mathsf{DMRD}(N)$ de $\mathsf{DMR}(N)$. Dans cet exposé, nous introduirons un sous-schéma $\mathsf{EDSD}(N)$ de $\mathsf{EDS}(N)$ isomorphe à $\mathsf{DMRD}(N)$. En guise d’application, nous démontrons une conjecture de Zhao stipulant que les relations de distribution de poids 2 sont conséquence de relations de double mélange ainsi que de relations de distribution de poids 1 et profondeur 2. (cet exposé est basé sur un travail réalisé en collaboration avec Henrik Bachmann)

Résumé : In this talk, I will first present key results from our recent works on the numerical analysis of lattice Boltzmann schemes, which ignore boundary conditions. These schemes can be used to simulate systems of conservation laws. Next, I will theoretically examine boundary conditions in lattice Boltzmann methods, focusing on a simplified two-unknowns model. By mapping lattice Boltzmann schemes to finite difference schemes, we enable rigorous consistency and stability analyses. We propose kinetic boundary conditions for inflow and outflow scenarios, addressing the trade-off between accuracy and stability, which we successfully mitigate. Consistency is analyzed using modified equations, while stability is assessed via GKS (Gustafsson, Kreiss, and Sundström) theory. For coarse meshes, where GKS theory may falter, we employ spectral and pseudo-spectral analyses of the scheme's matrix to explain low-resolution effects. Lastly, I will discuss potential research directions related to boundary conditions in kinetic schemes.

Résumé : Guillaume Steimer: Hamiltonian model order reduction of the Vlasov-Poisson equation

Numerous mathematical models of real-life processes pose major difficulties when it comes to their numerical simulation. Indeed, their dimensions are usually large, and their numerical resolution is often complex, requiring a great deal of computing power. The Vlasov-Poisson equation is one of such steep cost models.
Model order reduction (MOR) aims to build so-called reduced models which are valid approximations of their original counterparts with a reduced associated state space dimension. Doing so results in a reduced model that is much faster to solve, but at the cost of a certain accuracy.
Moreover, when the original model is Hamiltonian, it is critical to preserve this property at the reduced level. In this talk, I will show how to build Hamiltonian reduced models of the Vlasov-Poisson equation discretized with a Particle In Cell (PIC) method using classical tools from model order reduction. Then, I will introduce the benefits of adding neural networks to the process.

Guillaume Steimer is a Ph.D. student in applied mathematics and a member of the MACARON team at IRMA Strasbourg. He studies Hamiltonian systems and the construction of associated reduced models, specifically using machine learning techniques.

Yassin Rany Khalil: Deciphering the dynamics of the Milky Way bar and spiral arms with Gaia

Our galaxy, the Milky Way, can be modeled at zeroth order as an axisymmetric system at equilibrium, obeying the fundamental equations of galactic dynamics (the Vlasov-Poisson system of equations). Devising a precise non-axisymmetric model is, on the other hand, far from trivial. Using the conservation of the distribution function in infinitesimal phase- space patches following the Hamiltonian flow allows one to compute the current distribution function by integrating orbits backward in time to an axisymmetric equilibrium state. In this talk, I will show how we explored the vast parameter space of the bar and spiral arms with this method to establish the current most realistic dynamical non-axisymmetric model for the Milky Way disk.

Yassin Rany Khalil, after completing his studies at Ecole Polytechnique in 2021, has started an ITI-funded IRMIA++ PhD thesis at ObAS in 2022. His thesis deals with the detailed modelling of the stellar disk of our Milky Way galaxy.

Résumé : Résumé : Dans cet exposé, on s'intéresse à des inégalités fonctionnelles pour les systèmes de fonctions orthonormées en norme L^p. Le défi majeur consiste à prouver une dépendance optimale sur le nombre de fonctions impliquées. Nous nous concentrerons sur une famille d'inégalités appelées estimées « spectral cluster », qui concernent les combinaisons linéaires de fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés riemanniennes compactes. Une version a été établie par R. Frank et J. Sabin dans le cadre de métriques lisses, généralisant les travaux fondateurs de Sogge des années 80. Nous verrons comment prouver de telles estimées en plus basse régularité. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jean-Claude Cuenin (Loughborough University)

Résumé : Résumé: S. P. Novikov en parlait en 1981 comme d’une théorie de Morse pour les multifonctions. Il faut comprendre qu’il s’agit de fonctions connues à une constante additive près, c.-à-d. de formes différentielles fermées de degré 1 ou des collections de leurs primitives locales sur une variété lisse donnée. Une telle forme est dite de Morse si ses zéros sont non-dégénérés ou encore si son graphe dans l’espace cotangent est transverse à la section nulle. J’expliquerai la richesse recelée dans l’ignorance de cette fameuse constante additive. Je comparerai le complexe de Morse au complexe de Morse-Novikov en illustrant par deux applications. L’une concernera la géométrie localement conformément symplectique. La seconde concerna des phénomènes surprenants de bifurcation de champs de vecteurs gradients pour les primitives locales.