Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Dans cet exposé je présenterai la théorie des dessins d'enfants de Grothendieck sous différents angles : celui de la topologie des surfaces, puis celui de la théorie des nombres. Tout ça à travers des exemples explicites et quelques anecdotes historiques. J'essaierai de faire en sorte qu'à la fin de l'exposé chaque personne puisse s'en aller avec sa bouture :-)

Résumé : Soit $G$ un groupe réductif sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, une des premières interactions en la théorie des représentations et les techniques de cohomologie étale vient de la théorie de Deligne-Lusztig. C'est une théorie de nature géométrique qui consiste à réaliser les représentations du groupe fini $G(\mathbb{F}_q)$ dans la cohomologie étale des variétés éponymes. Ce domaine de recherche est en pleine transformation grâce à l'introduction de nouvelles méthodes appelées traces catégoriques provenant de la théorie des catégories supérieures. Ces dernières permettent de recontextualiser les résultats essentiels de la théorie et établissent un pont entre avec la théorie géométrique des représentations, cette dernière ayant pour intérêt des catégories (monoidales) de faisceaux sur des objets géométriques associés au groupe algébrique $G$. Le but de cet exposé sera d'expliquer la construction principale qui consiste à réaliser la catégorie des représentations de $G(\mathbb{F}_q)$ comme une trace catégorique d'une catégorie explicite, puis dans un deuxième temps d'illustrer cette construction avec une nouvelle application ou l'on construit une déformation (d'une partie) de cette catégorie où $q$ devient un paramètre formel.

Résumé : TBD

Résumé : Anosov geodesic flows have been the model to study several dynamical dynamical properties and to develop techniques to approach question arising from ergodic theory. There are several possibilities to generalize the Anosov setting, for example rank 1 Riemannian metrics and Riemannian metrics with no conjugate points, and one of the most frequent questions is "can you still get the same, at some extend, dynamical and ergodic properties". In a recent joint work with Luis Piñeyrúa and Sergio Romaña we propose the approach via partially hyperbolic systems. In this talk, I am going to present some of the Anosov geodesic flows properties that we are able to extend to some non-Anosov geodesic flows.

Résumé : TBA

Résumé : Abstract : Observability inequalities for the heat equation exhibit an exponential cost at small times. Is this exponential behavior an artefact of the usual Carleman and spectral methods, or is it forced by the underlying geometry? We show that it is genuinely geometric: any weighted observability inequality must satisfy an exponential decay rate controlled by the maximal distance to the observation set. As a consequence, we answer an open question raised by Ervedoza and Zuazua concerning geometric lower bounds on the exponential rate appearing in infinite-time integrated observability inequalities for heat equations. Our results are established in a general geometric metric-measure setting and apply, in particular, to Riemannian manifolds, Schrödinger operators, sub-Riemannian manifolds, and Laplacians on metric graphs.