Séminaire ART
organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie
-
Quentin Ehret
Extensions centrales de superalgèbres de Lie restreintes et classification des superalgèbres de Lie p-nilpotentes en dimension 4
14 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Sur un corps de caractéristique positive p, les algèbres de Lie restreintes sont d’un intérêt primordial, principalement en raison de leur lien avec les groupes algébriques et de leur rôle dans la théorie des représentations et la classification. La cohomologie associée aux algèbres de Lie restreintes est considérablement plus compliquée que la cohomologie ordinaire de Chevalley-Eilenberg et des formules explicites ne sont connues que jusqu’à l’ordre 2. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire le premier et deuxième groupes de cohomologie restreinte pour les superalgèbres de Lie restreintes en caractéristique p supérieure à 3, en modifiant une construction précédente. J’expliquerai comment ces groupes capturent certaines structures algébriques, telles que les extensions restreintes. De plus, je montrerai comment appliquer cette construction pour classifier les superalgèbres de Lie restreintes p-nilpotentes jusqu’à la dimension 4 sur un corps algébriquement clos de caractéristique p supérieure à 3. Ce travail est en collaboration avec Sofiane Bouarroudj (New York University Abu Dhabi). -
Nikita Markarian
Multiplicative convolution and double shuffle relations
11 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Multiple zeta values (and their motivic version) is the gadget lying in the heart of many subjects, such as mixed Tate motives over Z. The geometric relations between them are, therefore, crucial for these subjects. The associator relations are supposed to be the strongest among all relations. Regularized double shuffle relations form another set of relations. The interaction between these two sets seems to be an important question. Deligne and Terasoma initiated a geometric approach to interpreting regularized double shuffle relations. This approach explains the form of these relations: group-likeness of a certain element of a Hopf algebra. The tensor category standing behind this Hopf algebra is a certain category built of perverse sheaves, the tensor product being given by convolution. I will present my version of this approach, which (in my opinion) clarifies and simplifies some points. -
Emilien Zabeth
Vers un modèle géométrique pour les représentations du premier noyau de Frobenius.
25 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soient G un groupe algébrique réductif sur un corps k de caractéristique positive, et Rep(G) la catégorie des représentations algébriques (de dimension finie) de G. Durant les dernières décennies, la théorie des faisceaux pervers est devenue un outil central pour l'étude des représentations des groupes algébriques. Par exemple, l'équivalence de Satake géométrique affirme qu'il y a une équivalence de catégories entre Rep(G) et la catégorie des faisceaux pervers (à coefficients dans k) sur la grassmannienne affine associé au groupe dual de Langlands de G. Ce résultat a récemment été utilisé par Riche-Williamson pour obtenir une formule des caractères pour les G-modules simples. En m'appuyant sur l'équivalence de Satake géométrique ainsi que sur d'anciens travaux de Arkhipov-Bezrukavnikov-Braverman-Gaitsgory-Mirkovi\'c, j'expliquerai la construction d'une catégorie de faisceaux pervers qui devrait être équivalente à la catégorie des G_1T-modules, dont l'étude s'avère souvent utile pour la compréhension de Rep(G). -
Alexander Soibelman
Quantum integrable systems, noncommutative periods, and normal forms
11 mars 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : The quantum normal form of a Hamiltonian, introduced by theoretical physicists developing quantum mechanics in the early 20th century, can be used as an algebraic method of finding the asymptotic expansions of eigenvalues of the Schrödinger operator. In this talk, we will introduce the quantum normal form, then show how it can be reinterpreted in two distinct ways: using formal deformations of variations of Hodge structure and as a noncommutative period associated with the quantization of a complex integrable system. This is joint work with Maxim Kontsevich. -
Yan Soibelman
The algebra and geometry of the Riemann-Hilbert correspondence
11 mars 2025 - 15:15Salle de séminaires IRMA
Résumé : Riemann-Hilbert correspondence is typically understood as the (derived) equivalence of two categories: the category of (certain) D-modules on a complex manifold X and the category of (certain) constructible sheaves on X. The underlying geometry is the symplectic geometry of the cotangent bundle of X. In 2015 together with Maxim Kontsevich we proposed a vast generalization of the Riemann-Hilbert correspondence in which the cotangent bundle is replaced by an arbitrary complex symplectic manifold. This conjectural generalization is quite natural from the point of view of our program "Holomorphic Floer Theory",since it relates the Fukaya category of the symplectic manifold with the category of holonomic modules over its deformation quantization algebra. Our proposal is related to interesting questions of representation theory, Donaldson-Thomas invariants, periodic monopoles, etc. I am going to review algebraic and geometric structures involved in our generalized Riemann-Hilbert correspondence, illustrate it in several examples and discuss some open questions. -
Benjamin Dequêne
De la combinatoire des catégories résolvantes sur des arbres aimables.
18 mars 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Un carquois aimable est la donnée d'un graphe fini orienté connexe avec une certaine collection de chemins de longueur deux satisfaisant quelques conditions supplémentaires. Une sous-catégorie de ses représentations sera dite résolvante si elle contient les projectifs, et si elle est stable par extension et par noyau d'épimorphismes. Dans notre cadre, une telle sous-catégorie peut se décrire combinatoirement via une collection de représentations indécomposables stable sous certaines conditions calculatoires. Un but dans ce contexte algébrique est de décrire toutes les sous-catégories résolvantes. Pour cela, en se restreignant à des arbres aimables (le graphe orienté est un arbre), et en utilisant un modèle géométrique permettant de voir les représentations indécomposables comme des courbes sur un disque, nous construisons un algorithme qui nous permet de les calculer explicitement. Dans cet exposé, après avoir fait un tour de toutes les notions importantes afin d’en cerner le contexte, j'expliquerai comment nous parvenons d'abord à décrire les sous-catégories résolvantes monogènes (engendrées par une seule représentation indécomposable). Puis, je vous sensibiliserai à la conception de l'algorithme qui permet de construire toutes les sous-catégories résolvantes d'un arbre aimable. Tout cela avec une perspective combinatoire. Il s'agit de travaux en cours, en collaboration avec Michael Schoonheere. -
Victor Carmona
Enveloping operads; one construction to rule them all
25 mars 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Enveloping algebras have been the focus of numerous studies and a possible reason for that is their appearance in different fields of mathematics and mathematical physics. In many of those cases, the universal enveloping algebra construction is restricted to Lie-algebras, but enveloping algebras are a general device that can be considered for a quite broad notion of algebra. Furthermore, enveloping algebras are just the unary part of a more general construction, enveloping operads. While this operadic enhancement has been of crucial importance in work of Berger-Moerdijk, Fresse, Harper, Muro, Pavlov-Scholbach, White-Yau, etc, it has not been given the attention that it deserves. It is curious that a quick search of “universal enveloping algebra” in Mathscinet gives back around 5000 matches, whereas searching “enveloping operad” just gives 52 matches. In this talk, based on arXiv:2407.18190, we are going to discuss all these notions and various applications of enveloping operads that will hopefully convince the audience about the potential of these objects. -
Joakim Færgeman
Motivicity of rigid G-local systems on curves via geometric Langlands
8 avril 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
-
Adrien Laurent
The exotic aromatic Butcher series for the backward error analysis in stochastic numerics
8 avril 2025 - 15:15Salle de séminaires IRMA
Résumé: The Butcher trees and series form a famous algebraic tool for the manipulation of Taylor expansions of flows of differential equations, with fundamental applications in numerical analysis. In particular, the backward error analysis studies the properties of a numerical flow by writing it as the exact solution of a modified system, which is then described with a Hopf algebra of trees.
After introducing Butcher series, their exotic and aromatic extensions for stochastic systems, and some of their numerical applications, we will show that exotic aromatic B-series satisfy a universal geometric property of equivariance. This will confirm that B-series are a natural geometric object that is interesting beyond their numerical applications.
If time allows, we shall give an overview of the combinatorial Hopf algebra framework linked to the backward error analysis of stochastic differential equations, and related open problems. -
Jean-Sébastien Sereni
Espaces vectoriels engendrés par les polynômes de Tutte
22 avril 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
À quel point les polynômes de Tutte sont-ils « typiques » parmi les polynômes bivariés ? Cet exposé traite cette question en prenant pour mesure la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les polynômes de Tutte des matroïdes (de taille et rang fixés). Je présenterai les dimensions exactes pour plusieurs classes de matroïdes (tous, uniquement les graphiques, les connexes, ceux sans boucle), avec des bases explicites et les liens entre ces différents espaces, fournissant une réponse surprenante à une question élémentaire. (En guise de conclusion, et si le temps le permet, je mentionnerai une autre mesure qui capture des liens entre des aspects combinatoires et algébriques ainsi que géométriques de ces polynômes.) Aucune connaissance préalable des matroïdes ou des polynômes de Tutte ne sera nécessaire. Cet exposé est basé sur une coopération avec Andrew Goodall et Florent Jouve.