COURS M1 "GÉOMETRIE DIFFÉRENTIELLE"
4M022
Université Pierre et Marie Curie, Master
de Mathématiques fondamentales
Septembre-Décembre 2014
Cours : je
10h45-12h45 (14.15.105), ve 8h30-10h30 (13.14.108) (Alexandru
Oancea)
TD : lu 13h30-16h30 (T06), ma 17h-20h (T14) (Hélène
Eynard-Bontemps)
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DATE DE L'EXAMEN
FINAL : 17 décembre 2014
Cette page contient l'état d'avancement du cours, le polycopié
du cours, les feuilles d'exercices, des corrections, et
d'autres documents supplémentaires.
Sujet et corrigé de
l'examen de rattrapage du 19 mai 2015.
PAGE
WEB DU TD
POLYCOPIÉ DU COURS
(version finale du 7 décembre 2014) (versions antérieures :
23 septembre 2014, 7 octobre 2014, 15 octobre 2014, 28 octobre 2014, 18 novembre 2014, 4 décembre 2014).
Semaine 1, séances du 12 et 15
septembre : Sous-variétés
de Rn (trois définitions équivalentes :
redressement, image locale de plongement lisse, solution
locale d'un système d'équations submersif).
Rappels de calcul différentiel. Théorèmes d'inversion locale
et fonctions implicites. Immersion, plongement, submersion. Théorèmes de forme
normale locale pour immersions et submersions.
Les notions de valeur critique, valeur régulière, point
critique. Énoncé du théorème de Sard.
Équations paramétriques et équations cartésiennes pour
sous-espaces vectoriels. Dualité. Espace vectoriel quotient.
La notion d'isomorphisme canonique. Objets définis par des
propriétés universelles. La notion de catégorie.
La notion de variété différentielle abstraite. Cartes, atlas.
La notion d'application lisse entre variétés. Immersions,
submersions, points critiques. Ensemble de mesure nulle.
Énoncé du théorème de Sard pour des applications lisses entre
variétés.
Feuille
d'exercices No. 1 distribuée le 12 septembre
Équivalences
entre différentes définitions des sous-variétés PDF
Semaine 2, séances du 18 et 19 septembre : Fonctions de
troncature lisses. Principe d'extension après restriction.
Toute variété compacte séparée se plonge dans un espace
euclidien. Exemple de variété non-séparée.
La notion de partition de l'unité. Existence des partitions de
l'unité sur les variétés séparées et à base dénombrable.
Plan projectif réel et bande de Möbius.
Espace tangent en un point à une variété. Espace tangent en un
point à une sous-variété de Rn.
Feuille
d'exercices No. 2 distribuée le 19 septembre
Semaine 3, séances du 25 et 26 septembre : Vecteurs tangents
comme classes d'équivalence de courbes, vecteurs tangents comme
dérivations. L'espace des dérivations sur les germes de
fonctions lisses autour de 0∈Rn
est de dimension n. Structure de variété différentiable
sur le fibré tangent. La notion de fibré vectoriel. Sections,
applications de trivialisation, changements de trivialisation.
Le fibré tangent du cercle est trivial. Champs de vecteurs
lisses. Sections du fibré tangent et expression en coordonnées
locales.
Constructions de variétés : variété produit ; variétés affines ;
variétés projectives.
Autour des difféomorphismes de la
boule unité
Feuille d'exercices No. 3
distribuée pendant la semaine du 29 septembre
Semaine 4, séance du 6 octobre : Le fibré
tautologique sur l'espace projectif réel. Le fibré hyperplan et
ses puissances tensorielles. Calcul de l'espace des sections.
Les polynômes homogènes en n+1 variables sont
naturellement des sections d'une puissance tensorielle du fibré
hyperplan sur RPn.
Constructions de variétés : quotients par des actions propres et
libres de groupes discrets. La notion de revêtement.
Semaine 5, séances du 9 et 10 octobre : Champs de
vecteurs. Un champ de vecteurs est une équation différentielle.
Courbe intégrale. Flot. Groupe à un paramètre de
difféomorphismes. Champs de vecteurs complets. Un champ de
vecteurs à support compact est complet. Le groupe des
difféomorphismes agit transitivement sur une variété connexe. Théorème
de redressement.
Semaine 6, séance du 17 octobre : crochet de Lie, dérivée
de Lie des champs de vecteurs, poussé-en-avant et
tiré-en-arrière d'un champ de vecteurs par un difféomorphisme.
Feuille
d'exercices No. 4
Sujet du devoir maison distribué le 17
octobre
Corrigé
partiel de la feuille 3
Semaine 7, séances du 23 et 24 octobre :
le crochet de deux champs de vecteurs est nul si et seulement si
les flots commutent. Interprétation du crochet comme dérivée du
commutateur des flots.
Groupes de Lie. Définition, exemples, champs invariants à
gauche. Le fibré tangent à un
groupe de Lie est trivial. Les champs
invariants à gauche sont complets. Groupes à 1 paramètre.
Application exponentielle. L'application exponentielle est un
difféomorphisme local en 0.
Algèbre de Lie d'un groupe de Lie. Le crochet sur les matrices
est égal au commutateur. Expression du crochet en termes de
groupes à 1 paramètre.
Semaine 8, séances 30 et 31 octobre : le crochet sur
les matrices est égal au commutateur. Un groupe de Lie connexe
est commutatif si et seulement si son algèbre de Lie est munie
d'un crochet trivial. Exemple de groupe de Lie non-connexe et
non-commutatif dont l'algèbre de Lie est munie d'un crochet
trivial. Digression : correspondance entre groupes et algèbres
de Lie. Enoncé de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff et mise
en contexte.
Actions de groupes de Lie sur les variétés. Exemples. Le
quotient par une action propre et libre possède une structure
canonique de variété (esquisse de preuve). Fibrés principaux
comme analogues continus des revêtements.
Semaine 9, séances du 6 et 7 novembre : Je
9h30-10h30 : espaces homogènes. Exemples. Sphères,
grassmaniennes.
Espace cotangent. 1-formes différentielles. Intégrale des
1-formes différentielles. Formule de changement de variable dans
l'intégrale de Lebesgue.
Semaine 10, séances du 13 et 14 novembre : Je 9h30-10h30
: compléments d'algèbre sur les formes multi-linéaires
alternées.
Définition des formes différentielles de degré k.
Intégrale d'une k-forme sur une nappe k-dimensionnelle.
Orientabilité. Définition de l'intégrale d'une k-forme
sur une sous-variété orientée de dimension k.
Semaine 11, séances du 20 et 21 novembre : Enoncé de
la formule de Stokes. Motivation.
Variétés à bord. Orientation induite sur le bord.
Produit extérieur d'applications multilinéaires alternées.
Produit tensoriel et algèbre extérieure. Produit extérieur de
formes différentielles.
Semaine 12, séances du 27 et 28 novembre : Différentielle
extérieure. Définition de la cohomologie de De Rham. La notion
de foncteur.
Preuve de la formule de Stokes. Non-existence d'un rétracte de
la boule Bn sur la sphère Sn-1
(deux preuves : formes différentielles et Stokes ; cohomologie
de De Rham). Théorème de Brouwer.
Compléments sur la différentielle extérieure. Dérivée de Lie. La
notion de dérivation graduée. Formule de Cartan. Expression
globale de la différentielle extérieure à l'aide de champs de
vecteurs.
FIN DU COURS.
©2014 Alexandru Oancea. Dernière mise à jour : 19 mai 2015.