Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Dans cet exposé j'introduirai les notions de variétés localement conformément symplectiques (lcs) et leurs symétries. Bien étudiées du point de vue géométrique, peu de résultats rigides du point de vue topologique sont connus. Je montrerai dans cet exposé comment une construction de produit amalgamé (travail en collaboration avec Kevin Sackel), combiné à un résultat obtenu en collaboration avec Emmy Murphy, permet d'obtenir un lien entres orbites fermées de flot hamiltonien et homologie de Novikov dans la classe de Lee d'une variété lcs. L'exposé sera introductif et je parlerai aussi des motivations pour l'étude de ces structures venant de la géométrie de contact.

Résumé : The resource-consuming mining of blocks on a blockchain equipped with a proof of work consensus protocol bears the risk of ruin, namely when the operational costs for the mining exceed the received rewards. In this talk, we will introduce main concepts of a blockchain and its application to cryptocurrencies. Further, we will present a classical surplus process model in insurance and explain the main concepts of ruin theory. Finally, we will discuss to what extent it is of interest to join a mining pool that reduces the variance of the return of a miner for a specified cost for participation. Using insights and techniques from ruin theory and risk sharing in insurance, we quantitatively study the effects of pooling in this context and derive several explicit formulas for quantities of interest. The results will be illustrated in numerical examples for parameters of practical relevance.

Résumé : Résumé : I will give an overview of my recent results on localizing invariants of small stable infinity-categories. In particular, I will explain the comparison result on two approaches to K-theory of formal schemes: the usual continuous K-theory is equivalent to K-theory of the category of nuclear modules, defined by Clausen and Scholze. This result turns out to be a special case of a computation of morphisms in the category of localizing motives -- the target of the universal localizing invariant commuting with filtered colimits. One of the more striking new results about this category is its rigidity (in the sense of Gaitsgory and Rozenblyum). Also, certain classical invariants of E_1 rings become corepresentable in this framework, such as TR and TC. I will try to give a non-technical overview of these statements and the key ideas on how to work with this category of motives.

Résumé : On s'intéresse au problème d'optimisation de formes consistant à maximiser les valeurs propres du Laplacien avec conditions de Neumann homogènes. Ces valeurs propres interviennent notamment dans des problèmes acoustiques ou thermiques et sont en particulier liées à la "hot spot conjecture". Contrairement aux valeurs propres de Dirichlet, celles associées au problème de Neumann sont de nature plutôt instables, ce qui rend le problème d'optimisation difficile. On verra comment certaines explorations numériques du problème pour des domaines du plan et de la sphère ont permis de mettre en évidence certaines propriétés des optima.

Résumé : Let G be a complex reductive group. The celebrated Peter--Weyl theorem decomposes the algebra of functions on G as a G x G module with respect to left and right translations. In this talk we introduce a natural analogue for the loop group G((z)). A key role is played by a family of G((z)) representations at negative level, the phantom minimal series. These are dual, in a precise but somewhat subtle homological sense, to the more familiar positive energy representations at positive level. Time permitting, we will discuss the existence of phantom minimal series for many related algebras, and some interesting analytic properties of their characters.