Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Emma Horton
Généalogies des processus de branchement critiques
14 janvier 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Les processus de branchement sont pertinents pour comprendre de nombreux processus différents du monde réel tels que la division cellulaire, la croissance de la population et le transport de neutrons. En particulier, la compréhension de leurs structures généalogiques peut s'avérer utile pour l'estimation des paramètres, les simulations de Monte Carlo et les limites d'échelle. Dans cet exposé, nous discutons d'une décomposition du processus de branchement connue sous le nom de formule “many-to-few", qui permet de comprendre le comportement d'un processus de branchement en termes de sous-arbre pondéré. Je donnerai ensuite deux applications de cette décomposition pour démontrer son utilité dans la compréhension de la structure généalogique du processus de branchement. -
Ivailo Hartarsky
Percolation de Catalan
21 janvier 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
En percolation de Catalan, on déclare les arêtes $\{i,i+1\}$ pour $i\in\mathbb Z$ occupées et chaque arête $\{i,j\}\subset\mathbb Z$ avec $j\geq i+2$ ouverte indépendamment avec probabilité $p$. Pour $k\geq i+2$, on déclare récursivement $\{i,k\}$ occupé, si $\{i,k\}$ est ouvert et $\{i,j\}$ et $\{j,k\}$ sont tous les deux occupés pour un $j\in\{i+1,\dots,k-1\}$. Ce modèle a été introduit par Gravner et Kolesnik dans le contexte de la percolation bootstrap polluée, mais il est également intimement lié aux structures de Catalan, ainsi qu’à la percolation orientée. On établit que le seuil critique de ce modèle est strictement compris entre les bornes naturelles inférieure et supérieure, données respectivement par $1/4$ et la probabilité critique de la percolation orientée par sites sur $\mathbb Z^2$. La partie la plus difficile de la preuve est une inégalité stricte pour le paramètre critique d’un modèle de percolation orientée avec des dépendances non-décroissantes de portée infinie, sans recours à l’argument classique d’Aizenman--Grimmett. L’exposé est basé sur un travail en commun avec Eleanor Archer, Brett Kolesnik, Sam Olesker-Taylor, Bruno Schapira et Daniel Valesin disponible à https://arxiv.org/abs/2404.19583. -
Franco Severo
Cutsets, percolation and random walks
4 février 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Which graphs $G$ admit a percolating phase (i.e. $p_c(G)<1$)? This seemingly simple question is one of the most fundamental ones in percolation theory. A famous argument of Peierls implies that if the number of minimal cutsets of size $n$ from a vertex to infinity in the graph grows at most exponentially in $n$, then $p_c(G)<1$. Our first theorem establishes the converse of this statement. This implies, for instance, that if a (uniformly) percolating phase exists, then a "strongly percolating” one also does. In a second theorem, we show that if the simple random walk on the graph is uniformly transient, then the number of minimal cutsets is bounded exponentially (and in particular $p_c<1$). Both proofs rely on a probabilistic method that uses a percolating random set to generate a random minimal cutset whose probability of taking any given value is lower bounded exponentially on its size. Based on a joint work with Philip Easo and Vincent Tassion. -
Thomas Budzinski
La plus longue sous-suite croissante d'une permutation séparable aléatoire
11 février 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Considérons un arbre binaire (i.e. où tous les sommets sont de degrés 1 ou 3) T, muni de signes positifs ou négatifs sur ses sommets. On se pose la question suivante : quelle est la plus grande taille possible d'un sous-arbre de T dans lequel aucun sommet négatif n'est de degré 3 ? Si T est choisi uniformément parmi tous les arbres binaires de taille n et si les signes sont choisis de manière i.i.d., cela décrit aussi la plus longue sous-suite croissante dans un modèle naturel de permutations séparables aléatoires. On verra alors que cette quantité se comporte comme $n^{\alpha}$, où $\alpha$ est la solution d'une équation explicite. Travail en cours avec Arka Adhikari, Jacopo Borga, William da Silva et Delphin Sénizergues -
Hansjoerg Albrecher
Matrix Distributions, Fractional Calculus and Insurance Risk Models
25 février 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
In this talk some recent developments on matrix distributions and their connection to absorption times of inhomogeneous Markov processes will be discussed, in particular how and why such constructions are natural tools for modelling in applied probability, with a particular emphasis on non-life and life insurance applications. We also illustrate how certain extensions to the non-Markovian case involve fractional calculus and lead to matrix Mittag-Leffler distributions, which turn out to be a flexible and parsimonious class for the modelling of large but rare insurance loss events. -
Lucile Laulin
La limite diffusive des marches aléatoires renforcées amnésiques
11 mars 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Résumé : Une marche aléatoire renforcée par ses pas est une marche aléatoire qui, à chaque instant, répète un de ses pas passés choisis uniformément au hasard ou fait un nouveau pas. Dans cet exposé, on présente une version modifiée où le choix du pas n’est plus uniforme mais dépend du passé de façon « amnésique ». On montre que dans un certain régime, on trouve toujours un résultat de type principe de Donsker où la limite est la somme de deux processus gaussiens dépendants et explicites, en lien avec la limite dans le cas d’une mémoire uniforme. -
Clément Cosco
Polymères dirigés en dimension 2
18 mars 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Le modèle de polymères dirigés en milieu aléatoire décrit le comportement d’une longue chaîne de particules, dont la trajectoire est perturbée par la présence d’impuretés disposées aléatoirement. Un aspect important de ce modèle est qu’on peut le voir comme une discrétisation de l’équation de la chaleur stochastique (et de l’équation KPZ (Kardar-Parisi-Zhang)). En dimension 2, il existe une limite d’échelle du modèle où une transition de phase apparaît. Dans cet exposé, je présenterai des résultats de travaux en collaboration avec Ofer Zeitouni, Shuta Nakajima et Anna donadini sur le régime de haute température, où la fonction de partition se comporte asymptotiquement comme un champ gaussien log-corrélé. Je discuterai notamment d'un théorème centrale limite et du maximum du champ de la fonction de partition. -
Antoine Jego
Integration by parts in random conformal geometry
25 mars 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Abstract: Random objects satisfying a conformal invariance property naturally appear from the scaling limit of critical models of statistical mechanics. Examples include Schramm—Loewner Evolutions (SLE), the Gaussian free field (GFF), or even more classically, planar Brownian motion. In this talk, I will present our new approach to random conformal geometry based on the derivation of integration by parts formulas. I will in particular focus on two applications: our proof of the Kontsevich—Suhov conjecture and our new approach to random conformal weldings (Sheffield’s celebrated quantum zipper). Based on joint works with Guillaume Baverez. -
Nils Detering
In-Context Operator Learning for Linear Propagator Models
1 avril 2025 - 10:45Salle C32
Abstract: We study operator learning in the context of linear propagator models for optimal order execution problems with transient price impact a la Bouchaud et al. (2004) and Gatheral (2010). Transient price impact persists and decays over time according to some propagator kernel. Specifically, we propose to use In-Context Operator Networks (ICON), a novel transformer-based neural network architecture introduced by Yang et al. (2023), which facilitates data-driven learning of operators by merging offline pre-training with an online few-shot prompting inference. First, we train ICON to learn the operator from various propagator models that maps the trading rate to the induced transient price impact. The inference step is then based on in-context prediction, where ICON is presented only with a few examples. We illustrate that ICON is capable of accurately inferring the underlying price impact model from the data prompts, even with propagator kernels not seen in the training data. In a second step, we employ the pre-trained ICON model provided with context as a surrogate operator in solving an optimal order execution problem via a neural network control policy, and demonstrate that the exact optimal execution strategies from Abi Jaber and Neuman (2022) for the models generating the context are correctly retrieved. Our introduced methodology is very general, offering a new approach to solving optimal stochastic control problems with unknown state dynamics, inferred data-efficiently from a limited number of examples by leveraging the few-shot and transfer learning capabilities of transformer networks. -
Koléhé Coulibaly-Pasquier
Cut-off en séparation pour le mouvement brownien sur des variétés compactes rotationnellement symétriques.
8 avril 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Résumé : Etant donné une famille de variétés compactes rotationnellement symétriques indexée par la dimension et une fonction poids, nous étudierons le phénomène de cut-off pour le mouvement brownien. Notre preuve est basée sur la construction d'un processus entrelacé et sur la concentration de la mesure. Nous verrons une transition de phase concernant l'existence ou non de phénomènes de cut-off, qui dépend de la forme de la fonction poids. -
Elie Cerf
Existence et calcul de la limite de Yaglom d'une chaîne de Markov absorbée à partir de ses excursions.
22 avril 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Résumé: Dans cet exposé, je présenterai une partie de mes travaux de thèse effectuées sous la direction de Bastien Mallein et Laurent Tournier. Nous nous intéressons à un processus de Markov en temps continu et espace d'états discret atteignant un état absorbant en temps fini. L'étude de son comportement avant l'absorption est fortement liée à l'étude de ses mesures quasi-stationnaires dont une condition nécessaire d'existence connue est celle dite de 'mort exponentielle' du processus. Après avoir introduit la théorie des mesures quasi-stationnaires en espace d'états discret, je présenterai un cadre original dans lequel la condition de mort exponentielle est suffisante à l'existence de la limite de Yaglom du processus. Nous supposons notamment que celui-ci ne peut atteindre son état absorbant que depuis un unique autre état dit 'de sortie', et proposons alors de décomposer ses trajectoires en excursions loin de l'état absorbant. Cette approche trajectorielle nous permet de relier l'étude de la limite de Yaglom du processus au comportement asymptotique de l'inverse de son temps local en l'état de sortie. Finalement, nous obtenons la représentation de la limite de Yaglom à partir de la mesure d'excursion du processus. -
Justin Salez
Une invitation au phénomène de cutoff pour les chaînes de Markov
20 mai 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Résumé : Le phénomène de cutoff est une transition abrupte vers l'équilibre subie par certains processus de Markov dans la limite où le nombre d'états tend vers l'infini. Découvert il y a quarante ans dans le contexte du mélange de cartes, il a depuis été établi dans une variété de contextes, notamment les marches aléatoires sur divers graphes et groupes, les systèmes de spins à haute température, ou les particules en interaction. Néanmoins, une théorie générale manque toujours, et l'identification des mécanismes généraux qui sous-tendent ce phénomène reste un problème ouvert majeur dans le domaine des temps de mélange. Mon exposé sera une introduction sans pré-requis à cette question fascinante. Si le temps le permet, je présenterai une avancée toute récente sur ce problème, basée sur les notions d'entropie, de courbure discrète et de concentration. -
Julie Tourniaire
A branching particle system as a model of FKPP fronts
27 mai 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
The FKPP equation is a common model in population dynamics, describing how a population spreads and grows over time and space, resulting in wave-like patterns. Recent studies by Birzu, Hallatschek and Korolev on the noisy FKPP equation with Allee effects (or cooperation) suggest the existence of three classes of fluctuating wavefronts: pulled, semipushed and fully pushed fronts. In this talk, I will introduce an analytically tractable model for fluctuating fronts, describing the internal mechanisms that drive the invasion of a habitat by a cooperating population. I will then use this model to explain how such mechanisms shape the genealogy of the population. -
Armand Ley
Décomposition des plans de transport optimaux et sélection entropique pour le problème de Monge–Kantorovich linéaire sur la droite.
10 juin 2025 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Nous étudions le problème de transport optimal sur la droite réelle quand le coût est donné par la distance, un cadre dans lequel les solutions (appelées plans de transport optimaux) sont en général non uniques. La première partie de l’exposé présente un théorème de décomposition : tout plan de transport optimal admet une décomposition unique en composantes, chacune agissant sur une région spécifique où la masse se déplace vers l’avant, vers l’arrière, ou reste immobile. En s’appuyant sur cette structure, la seconde partie examine le comportement d’une version entropiquement régularisée du problème de transport lorsque le paramètre de régularisation tend vers zéro. Un candidat limite naturel est construit à partir de notre décomposition et d’un théorème "à la Strassen" pour un ordre stochastique renforcé. Lorsque la distribution source et la distribution cible sont suffisamment singulières, les minimiseurs entropiques convergent vers ce plan. En général, tous les points limites vérifient une propriété structurelle appelée multiplicativité faible.