Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Peter Imkeller
Utility indifference hedging and (F)BSDE of quadratic growth.
14 janvier 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
A financial market model is considered on which agents (e.g. insurers) are subject to an exogenous financial risk, which they trade by issuing a risk bond. They are able to invest in a market asset correlated with the exogenous risk. We investigate their utility maximization problem, and calculate bond prices using utility indifference. In the case of exponential utility, this hedging concept is interpreted by means of martingale optimality, and solved with BSDE with drivers of quadratic growth in the control variable.
For more general utility functions defined on the whole real line we show that if an optimal strategy exists then it is given in terms of the solution (X,Y,Z) of a fully coupled FBSDE. Conversely if the FBSDE admits a solution (X,Y,Z) then an optimal strategy can be obtained. In the complete market case, an assumption on the risk aversion guarantees that the FBSDE admits a solution for any finite time horizon. As a particular example of our approach we recover the BSDE for exponential utility, and are able to treat non-classical utility functions like the sum of exponential ones.
For utility functions defined on the half line we also reduce the maximization problem to the solution of FBSDE connected with the ones obtained by Peng (1993). In complete markets, once again we provide conditions for solvability that are applicable to the power, the logarithmic and some non-classical utilities. In our approach we propose an alternative form of the maximum principle for which the Hamiltonian is reflected in a remarkable martingale. This is joint work with U. Horst, Y. Hu, A. Réveillac, and J. Zhang. -
Jérémie Unterberger
Chemins rugueux, algèbres de Hopf et renormalisation: une approche physico-algébrique du calcul stochastique fractionnaire.
21 janvier 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
L'article fondateur de L. Coutin et Z. Qian (2002) a montré la difficulté de définir l'aire de Lévy, et partant -- suivant la théorie de l'intégration due à T. Lyons, dite théorie des chemins rugueux ou rough paths -- un calcul stochastique pour le brownien fractionnaire d'indice de Hurst inférieur à 1/4. De manière générale, le problème consiste à définir les intégrales itérées de chemins -- déterministes ou aléatoires -- de faible régularité Hölder. Nous apportons en un certain sens une réponse générale à cette question grâce à une algorithmique algébrique. Nous apportons également des constructions explicites dans le cas du brownien fractionnaire, montrant que le problème s'interprète en réalité comme un problème de théorie quantique des champs et se résout en tant que tel. Celles-ci permettront sans doute en retour d'attaquer des problèmes ouverts liés au calcul stochastique et aux équations différentielles stochastiques. -
Vilmos Prokaj
The drift-hiding problem.
4 février 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
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Vilmos Prokaj
The perturbed Tanaka equation (I).
11 février 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
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Vilmos Prokaj
The perturbed Tanaka equation (II).
25 février 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
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Pierre Petit
Sur la théorie de Cramér et sa généralisation aux champs asymptotiquement découplés.
11 mars 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
Je présenterai des résultats qui s'inscrivent dans une suite de travaux sur la théorie fondamentale des grandes déviations. Cramér (1938) a montré que les moyennes empiriques d’une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi vérifient un principe de grandes déviations (PGD). Et Chernoff (1952) a identifié l’entropie du PGD et l’opposée de la fonction convexe-conjuguée de la pression (s=-p*). Donsker et Varadhan (1966) ont proposé un cadre généralisant l’obtention du PGD, d’où découle l’égalité s=-p*. Leur formalisme a été approfondi dans les ouvrages classiques d’Azencott (1980), de Acosta (1985), Deuschel et Stroock (1989) et Dembo et Zeitouni (1993). Reprenant les idées de Bahadur et Zabell (1979), nous essayerons de bien comprendre les outils pertinents pour la théorie de Cramér (sous-additivité, convexité, convexe-tension) sur une nouvelle preuve, plus simple, du résultat originel de Cramér sur la droite réelle. D'autre part, nous évoquerons la généralisation de la théorie de Cramér aux champs asymptotiquement découplés introduits par Pfister (2002) : nous relaxerons donc l'hypothèse d'indépendance, tout en conservant une forme de sous-additivité. Ces idées permettent d'obtenir un cadre unifiant les théories de Cramér et de Sanov pour des variables indépendantes, ainsi que les principes de grandes déviations pour les chaînes de Markov (Donsker et Varadhan) et les mesures de Gibbs (Comets, Orey, Pelikan, Föllmer, Ort et Olla). -
Alano Ancona
Critères de régularité fine (à la Dynkin) pour des opérateurs de Schrödinger.
18 mars 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
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Stéphane Laurent
Techniques de martingales en estimation de survie.
15 avril 2011 - 11:15Salle de séminaires IRMA
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Jan Maas
Gradient flows of the entropy for finite Markov chains.
6 mai 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
ATTENTION À L'HORAIRE ! Le séminaire est désormais à 11 heures. At the end of the nineties, Jordan, Kinderlehrer, and Otto discovered a new interpretation of the heat equation in R^n, as the gradient flow of the entropy in the Wasserstein space of probability measures. In this talk, I will present a discrete counterpart to this result: given a reversible Markov kernel on a finite set, there exists a Riemannian metric on the space of probability densities, for which the law of the continuous time Markov chain is the gradient flow of the entropy.
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Erwan Hillion
Sur l'entropie des sommes de Bernouilli indépendantes
20 mai 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Soient X_1,...X_n des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètres respectifs p_1,...p_n, et soit S la somme de ces variables aléatoires. Nous pouvons donc voir l'entropie de S comme fonction des n paramètres p_1,...p_n, notée H(p_1,...p_n). Durant l'exposé, je parlerai de conjectures énoncées par Olkin et Shepp, relatives à la monotonie et la convexité de la fonction H ainsi que des dernières avancées à ce sujet. -
Shigeyoshi Ogawa
Sur la transformation de Fourier stochastique.
27 mai 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Bénédicte Haas
Limites d'échelle de chaînes de Markov décroissantes à valeurs entières positives.
30 septembre 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L'idée est de regarder de telles chaînes partant d'un entier n qu'on va faire tendre vers l'infini. Sous l'hypothèse que les sauts macroscopiques (i.e. de taille proportionnelle à n) sont rares, on montre que ces chaînes correctement normalisées convergent vers un processus de Markov auto-similaire. L'intérêt de ce résultat est dans ses applications, par exemple aux marches aléatoires avec barrières, aux Lambda-coalescents, aux arbres aléatoires. -
Michel Émery
Un borélien plan qui coupe chaque borélien produit.
7 octobre 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Brève incursion dans l'algèbre linéaire sur le corps à deux éléments. -
Camille Tardif
Asymptotique d'un flot associé à une diffusion relativiste dans l'espace-temps de de Sitter.
14 octobre 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous présentons l'étude du comportement asymptotique d'une diffusion à valeurs dans le groupe de Lorentz (groupe des isométries directes de l'espace de Minkowski) vu comme fibré des repères orthonormés de l'espace-temps de de Sitter. Cette diffusion est le relevé d'une diffusion relativiste, à valeurs dans le fibré unitaire de de Sitter, dont les trajectoires sont de genre temps et invariantes en loi par isométries Lorentziennes. Plus précisément nous calculons le spectre de Lyapunov et déterminons la frontière de Poisson de la diffusion dans le groupe de Lorentz. -
Wilfrid S. Kendall
Shy Couplings, CAT(0) Spaces, and the Lion and Man.
21 octobre 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Classical probabilistic coupling aims to construct realizations of two random processes (often Markov) on the same probability space, in such a manner that they have a high chance of meeting each other soon. However, as part of a wider programme aimed at acquiring better understanding of such couplings, suppose that one wishes to consider whether there can exist couplings which do not meet at all; for which the relevant processes always stay at least some fixed positive distance away from each other? Recent work has established that such shy couplings cannot exist for reflected Brownian motion in the presence of convexity [1,2]; and still more recent work [3] uncovers surprising relationships to the geometric theory of CAT(0) domains and to the classic Lion and Man problem of recreational mathematics. References: 1: Itai Benjamini, Krzysztof Burdzy, Zhen-Qing Chen Shy couplings. Probability Theory and Related Fields 137 (2007), nos. 3-4, 345-377. 2: WSK. Brownian couplings, convexity, and shy-ness. Electronic Communications in Probability 14 (2009), Paper 7, 66-80. 3: Maury Bramson, Krzysztof Burdzy, WSK. Shy Couplings, CAT(0) Spaces, and the Lion and Man. arXiv:1007.3199 (2010). -
Christophe Garban
Le champ de magnétisation du modèle d'Ising sur Z^2.
4 novembre 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Si l'on considère une grille N x N remplie de variables de Bernoulli sigma_x dans {-1,1} indépendantes les unes des autres, il est bien connu que le "champ renormalisé" N^{-1}\sum_x \delta_{x/N} \sigma_{x} converge, quand N tend vers l'infini, vers un bruit blanc gaussien dans le carré [0,1]^2. Plus précisément, pour chaque sous-ensemble ouvert A de ce carré, le champ mesuré dans A est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance l'aire de A.
Maintenant, si l'hypothèse d'indépendance entre les variables sigma_x est supprimée, "l'universalité" de la limite gaussienne n'a plus lieu, et plusieurs comportements limites peuvent apparaître. Le but de cet exposé est d'étudier ce qui se passe dans le cas particulier ou les variables sigma_x dans {-1,1} sont définies comme étant les "spins" du modèle d'Ising planaire sur la grille N x N. Dans ce contexte, la somme sur tous les spins (\sum_x \sigma_x) correspond à ce qu'on appelle la magnétisation. En dehors du point critique (T=T_c), on sait que ce champ de magnétisation (proprement renormalisé) converge lui aussi vers un bruit blanc gaussien. Il restait à comprendre le cas critique qui est de nature différente car les corrélations sont plus forte entre les spins (décroissance polynomiale v.s. exponentielle). Dans un travail en commun avec Federico Camia et Charles Newman, on démontre les résultats suivants :
(i) à T=T_c, le champ de magnétisation proprement renormalisé a une (unique) limite d'échelle quand N tend vers l'infini.
(ii) Cette limite n'est pas gaussienne.
(iii) La distribution limite satisfait une certaine forme d'invariance conforme (appelée " covariance conforme"). -
Vincent Vigon
Standardité et paramétrisation.
18 novembre 2011 - 14:00Salle de séminaires IRMA
ATTENTION : horaire exceptionnel. Une filtration est dite "standard" lorsqu'elle peut être "immergée" dans une filtration engendrée par des variables aléatoires indépendantes. Une filtration est dite "paramétrisable" lorsque qu'on peut la sur-engendrer par des variables aléatoires indépendantes sympathiques. En nous basant sur un "critère de Vershik", nous montrerons l'équivalence entre "standard" et "paramétrisable". Cet exposé est à la frontière entre les probabilités et la théorie ergodique (remplacer le mot "filtration" par "suite de partitions"). -
Christian Léonard
Quelques géodésiques dans des espaces de probabilités.
25 novembre 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
La théorie du transport optimal quadratique nous offre une notion naturelle de géodésique dans un espace de probabilités sur un espace d'états X qui est analogue à celle de géodésique dans une variété Riemannienne. Cette analogie est un support intuitif fécond dont la formalisation rigoureuse, lorsque X est un espace métrique général, est l'objet de travaux récents (Ambrosio, Gigli, Lott, Savaré, Sturm, Villani, ...) On peut aussi obtenir une autre notion de géodésique en remplaçant le problème de transport optimal de Monge-Kantorovich par un problème de minimisation d'entropie portant sur des probabilités sur les trajectoires à valeurs dans X. Ce problème de minimisation d'entropie a été introduit par Schrödinger au début des années 30 pour souligner une troublante analogie entre la mécanique quantique et la physique statistique. Nous présenterons ces deux approches qui sont liées du fait que le problème de Monge-Kantorovich s'obtient comme limite de problèmes de Schrödinger lorsqu'un paramètre de fluctuation tend vers zéro. -
Julian Tugaut
Convergence en temps long d'une diffusion de McKean-Vlasov.
2 décembre 2011 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Une diffusion de McKean-Vlasov correspond à une particule d'un système de type champ moyen dont la dimension tend vers l'infini. Benachour, Roynette et Vallois ont prouvé la convergence en loi de ce genre de processus. Cattiaux, Guillin et Malrieu ont étendu ce résultat en ajoutant le gradient d'un potentiel convexe. Carrillo, McCann et Villani prouvent un résultat similaire dans un cas non-convexe en supposant que le centre de masse est fixe. En utilisant le dénombrement exact des mesures stationnaires et l'énergie-libre, la convergence en temps long sera prouvée sous des conditions naturelles portant uniquement sur la loi initiale. -
Sylvain Rubenthaler
Propagation du chaos et normalité asymptotique dans le cas des systèmes de particules de Bird et Nanbu.
9 décembre 2011 - 11:00Salle de séminaires 309
Les systèmes de Bird et Nanbu sont des systèmes de particules approchant la solution de l'équation de Boltzmann mollifiée. La normalité asymptotique du processus des fluctuations est connue sous diverses formes et sous diverses hypothèses depuis un certain temps. Je présenterai dans cet exposé une nouvelle approche qui consiste à étudier finement la propagation du chaos. Les techniques utilisées contiennent des couplages entre les trajectoires des particules.