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  • Convergence exponentielle uniforme vers la distribution quasi-stationnaire de processus de Markov absorbés

    — Nicolas Champagnat

    13 janvier 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Il s'agit d'un travail en collaboration avec Denis Villemonais (IECL, Univ. Lorraine). On considère un processus de Markov général, absorbé presque sûrement en temps fini. Un exemple d'application typique concerne les dynamiques de populations, absorbées lorsqu'une ou plusieurs (sous-)populations s'éteint(s'éteignent). Le but de l'exposé est de présenter des critères garantissant la convergence exponentielle des tailles de population conditionnellement à la non-absorption, uniforme par rapport à la condition initiale. Ce dernier point est important en pratique car la distribution initiale de la population n'est en général pas connue précisément. On démontre que cette convergence uniforme est équivalente à deux conditions, la première exprimant que le processus descend rapidement de l'infini et s'éloigne des zones avec fort taux d'absorption lorsqu'il n'est pas absorbé, et la seconde que le processus ne peut pas survivre beaucoup mieux que lorsqu'il est issu d'un ensemble compact. On donnera ensuite des critères explicites impliquant ces conditions dans le cas des processus de naissance et mort et des diffusions, en dimension 1 et plus.
  • Grandes déviations pour l'étude de limites d'échelles de modèles déterministes de la dynamique adaptative

    — Benoit Henry

    19 janvier 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

  • Graphes aléatoires de Gibbs

    — Jean-Christophe Mourrat

    20 janvier 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Certains graphes d'intérêt, comme les réseaux de transport, ou les connexions des neurones d'un cerveau, sont plongés dans un espace ambiant, par exemple R^2 ou R^3. Dans l'exposé, je présenterai un nouveau modèle de graphe aléatoire cherchant à capturer l'interaction entre la géométrie intrinsèque du graphe et celle de l'espace ambiant. Le modèle privilégie les graphes de petit diamètre, au sens de la métrique du graphe; mais l'ajout d'une arête a un coût qui est fonction de la distance dans l'espace ambiant entre les extrémités. Malgré la simplicité du modèle, on verra l'émergence de structures hiérarchiques. Un régime critique possède une infinité de transitions de phase discontinues. Travail en collaboration avec Daniel Valesin.
  • Optimal Transport in general dimensions with various additional constraints

    — Tongseok Lim

    23 janvier 2017 - 15:30Salle de séminaire 418

    ATTENTION: JOUR, HORAIRE et SALLE INHABITUELS! We will introduce variants of the optimal transport problem, namely martingale optimal transport problem and its multi-variable version, called multi-martingale optimal transport problem. Their motivation is partly from mathematical finance. We will see that in dimension greater than one, the additional constraints imply interesting and deep mathematical subtlety on the attainment of dual problem, and it also affects heavily on the geometry of optimal solutions. If time permits, we will introduce still another variant of the martingale transport problem, called the subharmonic martingale optimal transport problem.
  • Invariance Times (joint work with Shiqi Song)

    — Stéphane Crépey

    27 janvier 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    On a probability space $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{Q})$ we consider two filtrations
    $\mathbb{F}\subset \mathbb{G}$ and a $\mathbb{G}$ stopping time $\theta$ such that the $\mathbb{G}$ predictable processes coincide with $\mathbb{F}$ predictable processes on $(0,\theta]$. In this setup it is well-known that, for any $\mathbb{F}$ semimartingale $X$,
    the process $X^{\theta-}$ ($X$ stopped ``right before $\theta$'') is a $\mathbb{G}$ semimartingale.
    Given a positive constant $T$, we call $\theta$ an invariance time if there exists a probability measure $\mathbb{P}$ equivalent to $\mathbb{Q}$ on $\mathcal{F}_T$ such that, for any $(\mathbb{F},\mathbb{P})$ local martingale $X$, $X^{\theta-}$ is a $(\mathbb{G},\mathbb{Q})$ local martingale. We characterize invariance times in terms of the $(\mathbb{F},\mathbb{Q})$ Az\'ema supermartingale of $\theta$ and we derive a mild and tractable invariance time sufficiency condition. We discuss invariance times in mathematical finance and BSDE applications.
  • Vol de grues sauvages

    — Sylvie Roelly

    10 février 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    On observe parfois dans la nature un phénomène étonnant de cohérence globale d'une multitude de mouvements particuliers, lors de migration d'oiseaux sauvages par exemple. Cela peut être modélisé par la notion de "flocking" (ou encore auto-organisation) de systèmes dynamiques. Nous en introduirons un exemple célèbre, celui du modèle (déterministe) de Cucker-Smale. Puis nous discuterons un certain nombre de variantes aléatoires d'une telle dynamique, et leurs différentes propriétés asymptotiques en taille et en temps.
  • Processus de risques en dimension 2

    — Landy Rabehasaina

    17 février 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    La théorie de la ruine en dimension supérieure à deux est relativement peu étudiée est peut être décrite de la manière suivante. Considérons une compagnie d'assurance souhaitant couvrir ses sinistres selon un contrat de réassurance proportionnelle, ou une compagnie ayant plusieurs branches et choisissant d'y partager ses sinistres de manière proportionnelle. Est il possible de déterminer la probabilité que l'une ou plusieurs branches se ruine, partant d'une réserve initiale fixée? Ce problème se traduit mathématiquement de la manière suivante: on souhaite déterminer la distribution du temps de sortie du premier quadrant d'un processus particulier à valeur dans R^2, ou au moins avoir des informations sur la probabilité que ce temps de sortie est fini. Nous présentons deux cas particuliers de processus de risque où nous pouvons obtenir cette distribution de manière explicite, ainsi que deux autres situations où nous obtenons des asymptotiques lorsque les réserves initiales tendent vers l'infini selon une direction fixée. Cet exposé repose sur des travaux en collaboration avec A.Badescu, E.C.K.Cheung et C.Dombry.
  • Étude de la percolation sur les triangulations par fonctions génératrices

    — Grégory Miermont

    10 mars 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Attention: début à 11h ! Nous nous intéressons au modèle de percolation par sites et par arêtes sur des triangulations planaires aléatoires. À l'aide d'une décomposition récursive des cartes à bord monochromatiques et de techniques de fonctions génératrices dont l'origine remonte aux travaux de Tutte, nous identifions le point critique de ces modèles, ainsi que des informations sur la taille et la géométrie des amas critiques dans les régimes sous-critique, critique et sur-critique. Travail en collaboration avec Olivier Bernardi et Nicolas Curien.
  • Intrinsic stochastic differential equations as jets: theory and applications

    — Damiano Brigo

    17 mars 2017 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    We quickly introduce Stochastic Differential Equations (SDEs) and their two main calculi: Ito and Stratonovich. Briefly recalling the definition of jets, we show how Ito SDEs on manifolds may be defined intuitively as 2-jets of curves driven by Brownian motion and show how this relationship can be interpreted in terms of a convergent numerical scheme. We show how jets can lead to intuitive and intrinsic representations of Ito SDEs, presenting several plots and numerical examples. We give a new geometric interpretation of the Ito-Stratonovich transformation in terms of the 2-jets of curves induced by consecutive vector flows. We interpret classic quantities and operators in stochastic analysis geometrically. We hint at applications of the jet representation to i) dimensionality reduction by projection of infinite dimensional stochastic partial differential equations (SPDEs) onto finite dimensional submanifolds for the filtering problem in signal processing, and ii) consistency between dynamics of interest rate factors and parametric form of term structures in mathematical finance. We explain that the in some cases the mainstream choice of Stratonovich calculus for stochastic differential geometry is not optimal when combining geometry and probability, using the mean square optimality of projection on submanifolds as a fundamental application.
  • Gestion des risques en présence d’incertitude de modèle

    — Areski Cousin

    27 mars 2017 - 15:40Salle de séminaire 418

    La gestion quantitative des risques financiers et d’assurance repose sur des modèles qui peuvent parfois être mal spécifiés ou mal estimés. Cela concerne, par exemple, le problème de la couverture des risques ou celui de l’allocation optimale de portefeuille. Dans le cas où la dynamique du système stochastique est soumise à une incertitude knightienne, des techniques de contrôle robuste ou adaptatif peuvent être utilisées. Dans cette présentation, nous proposerons une nouvelle méthode de contrôle stochastique pour des processus de décision markovien en temps discret. Cette méthode repose sur un mécanisme d’apprentissage robuste des paramètres caractérisant la loi du système dynamique. L’objectif est d’affiner le contrôle du système en réduisant l’incertitude sur ce dernier à mesure que la dynamique des variables d’état est observée. Nous montrerons que les stratégies optimales associées à ce problème de contrôle sont solutions d’une version robuste des équations de Bellman et qu’un principe de programmation dynamique s’applique. La méthode sera illustrée numériquement sur un problème de choix de portefeuille en présence d’incertitude de modèle.
  • Certains résultats récents sur le mouvement brownien branchant avec absorption

    — Pascal Maillard

    12 mai 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Je survolerai des résultats obtenus dans les dernières années sur le mouvement brownien branchant uni-dimensionnel avec une dérive vers l'origine et absorption à l'origine. Il existe une dérivé minimale à laquelle ce système meurt presque sûrement ; je me concentrerai sur les cas où la dérive est égale à cette dérive critique ou presque. Je présenterai également un travail en cours sur le cas critique (avec J. Berestycki et J. Schweinsberg).
  • Unbiased estimation of risk measures

    — Thorsten Schmidt

    19 mai 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

  • Compter les marches dans le quadrant par les invariants de Tutte's & théorie des transformations des fonctions elliptiques

    — Kilian Raschel

    9 juin 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    In the 70's, Tutte developed a clever algebraic approach, based on certain "invariants", to solve a functional equation that arises in the enumeration of properly coloured triangulations. The enumeration of plane lattice walks confined to the first quadrant is governed by similar equations, and has led in the past decade to a rich collection of attractive results dealing with the nature (algebraic, D-finite or not) of the associated generating function, depending on the set of allowed steps. To be applicable, the method requires the existence of two functions called "invariant", and "decoupling function", respectively. We construct those using the interpretation of the kernel of the model as a Riemann surface of genus 1, and using the transformation theory of elliptic functions.
  • Couplage L^p de deux mouvements browniens et de leur aire de Lévy

    — Nicolas Juillet

    27 octobre 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Travail avec Michel Bonnefont (Bordeaux). Il est connu (par un moyen indirect: l'inégalité de H-Q. Li suivie de la dualité de Kuwada) que la distance de transport L^1 entre deux mouvements browniens du groupe de Heisenberg est bornée à tout instant, uniformément en temps. Dans cet exposé j'examinerai la « bornitude » L^p de deux tels mouvements browniens co-immergés.
  • Le processus « quantile rendu markovien »

    — Charles Boubel

    10 novembre 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    (Travail avec Nicolas Juillet.) Nous nous sommes posé la question (1) suivante : étant donnée une famille (µt)t de mesures de probabilités sur R, indexée par un réel t et croissante pour l'ordre stochastique, existe-t-il un processus, c'est-à-dire une famille de variables aléatoires (Xt)t, croissant (c'est-à-dire Xs\leq Xt si s < t), markovien et tel que Loi(Xt)=µt ? En 1972, Hans Kellerer avait répondu par l'affirmative à des questions semblables pour d'autres ordres que l'ordre stochastique : l'ordre convexe, ou l'ordre convexe croissant, (Xt)t devant être alors une (sous-)martingale. La réponse est également affirmative ; nous proposons une démonstration commune avec les deux cas déjà traités par Kellerer. Le processus (Xt)t répondant à (1) est bâti grâce à des limites de composées de couplages quantiles. Ceci nous a amené à la question (2) plus générale : étant donnée une famille (µt)t quelconque, le processus quantile qui lui est associé peut-il être « rendu markovien » en un sens naturel qu'on précisera ? La réponse est encore positive, avec unicité du processus obtenu. L'exposé se concentrera sur ce point. Enfin, quand la famille (µt)t est convenablement régulière, le processus répondant à (2) fournit un transport optimal de marges (µt)t vérifiant une propriété d'unicité, ce qui constitue un ajout à des résultats d'Ambrosio-Gigli-Savaré et Lisini.
  • Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien: Integrale stochastique et théorèmes limites associés.

    — Raghid Zeineddine

    17 novembre 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Dans cet exposé je définirai le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien et donnerai la raison historique de son introduction dans la recherche mathématique. Je parlerai ensuite de la construction d'une intégrale stochastique contre ce processus et de l'analogue de la formule d'Itô qui en résulte. J'exposerai enfin les théorèmes limites qui ont émergé de cette étude.
  • Limites locales de grands arbres de Galton-Watson

    — Romain Abraham

    24 novembre 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Nous considérons des arbres de Galton-Watson critiques ou sous-
    critiques conditionnés à être 'grands' et étudions la limite (locale) de ces arbres lorsque le conditionnement tend à les faire devenir infinis. Ce type de questions remonte à Kesten (1986) qui a défini le loi d'un arbre critique 'conditionné à survivre'. Nous nous intéressons ici à des conditionnements très généraux et montrons qu'ils convergent tous vers le même arbre limite dans le cas critique, et des conditionnement plus spécifiques qui conduisent à de nouveaux types d'arbres infinis.
  • Universalité de la carte Brownienne

    — Cyril Marzouk

    1 décembre 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Jean-François Le Gall et Grégory Miermont ont (chacun) montré qu'une quadrangulation uniforme de la sphère à n faces converge après mise à l'échelle vers un objet limite appelé carte brownienne. Le Gall montre de plus que cet objet est universel, au sens où il apparaît également à la limite d'autres modèles de cartes discrètes, comme q-angulations uniformes pour tout entier pair q. Je présenterai un résultat plus général de convergence de grandes cartes vers cette limite, en autorisant notamment des faces de différents degrés. En corollaire, on obtient la convergence de cartes de Boltzmann conditionnées à être grandes sous une hypothèse de moment d'ordre deux sur le degré des faces.
  • Solving semilinear parabolic PDEs by branching diffusion processes.

    — Xiaolu Tan

    8 décembre 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    We provide a probabilistic representation for a class of semilinear parabolic PDEs, using branching diffusion processes. We then discuss how to use this representation to obtain a numerical algorithm to solve these PDEs.
  • Percolation arithmétique

    — Sébastien Martineau

    15 décembre 2017 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Si on part du réseau carré et efface chaque sommet indépendamment avec une certaine probabilité q, on effectue ce qui s'appelle une percolation de Bernoulli : cet important modèle de mécanique statistique rend compte des phénomènes d'infiltration en milieu poreux. Si on part du réseau carré mais cette fois-ci conserve les sommets (x,y) tels que PGCD(x,y) = 1, on obtient maintenant un objet déterministe de nature arithmétique. Est-il possible de former une percolation (véritablement aléatoire donc) riche en informations arithmétiques ? On va voir que cela est effectivement possible : on peut définir à quoi ressemble le sous-graphe arithmétique précédent "vu depuis un point tiré uniformément dans le plan". Ce sous-graphe aléatoire est obtenu selon un "crible d'Ératosthène aléatoire". On fournira de ce graphe aléatoire une définition élémentaire, puis utilisera le lemme chinois pour faire le pont entre le sous-graphe arithmétique déterministe et sa contrepartie aléatoire. On abordera ensuite brièvement quelques problèmes naturels, comme l'étude des composantes connexes infinies du graphe aléatoire.
  • Modélisation stochastique de l'effet d'une préférence sexuelle sur la spéciation

    — Hélène Leman

    22 décembre 2017 - 10:45Salle de conférences IRMA

    La spéciation est le processus évolutif par lequel de nouvelles espèces apparaissent. Pour qu'un événement de spéciation ait lieu, il faut premièrement qu'un isolement reproductif se crée entre les individus d'une population. L'exemple le plus simple correspond à un isolement géographique, lorsque les groupes d'individus sont séparés physiquement par une rivière, une montagne.., mais il peut exister d'autres mécanismes à l'origine d'isolements. Dans cet exposé, je présenterai le rôle d'une préférence sexuelle dans l'apparition d'un tel isolement reproductif. On parle de préférence sexuelle lorsque les individus choisissent de se reproduire préférentiellement avec des individus portant une caractéristique particulière. J'utiliserai un modèle stochastique de type individu-centré qui représente une population vivant sur deux ilots connectés par migration. On montrera qu'une préférence sexuelle (sans autre préférence écologique) peut mener à un isolement reproductif. Puis on s'intéressera au temps avant que cet événement ait lieu. Il s'agit d'un travail en commun avec Camille Coron, Manon Costa et Charline Smadi.