Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Nicolas Juillet
Composition markovienne et stabilité du couplage rideau.
9 janvier 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Philip Protter
Strict local martingales: Financial Bubbles, and examples
30 janvier 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
A strict local martingale is a local martingale that is not a martingale. Long a curiosity, recently they have emerged to play an important role in Mathematical Finance, especially in the modeling of financial bubbles. While they arise naturally in the theory of stochastic integration, Markov examples are hard to come by, except for the important class first introduced by Delbaen and Shirakawa. In this talk we will sketch the role of strict local martingales in relation to financial bubbles, and also "illusory arbitrage." We will also review the examples of Delbaen and Shirakawa, and discuss attempts to enlarge this class of examples. The talk will be based on a series of joint papers with Robert Jarrow, Kazuhiro Shimbo, Hans Föllmer, and recent work with Jean Jacod. -
Michel Émery
Algèbre multilinéaire et classification des martingales d'Azéma.
6 février 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Le comportement spatial des martingales d'Azéma multidimensionnelles est gouverné par les propriétés algébriques de certaines formes cubiques. Plus précisément, à chaque martingale d'Azéma est associé un espace de formes cubiques "doublement symétriques", qui contraint en retour le générateur infinitésimal du processus. Il sera très peu (peut-être pas du tout) question de probabilités, l'accent étant mis sur les aspects algébriques de cette étude, qui semblent nouveaux. -
Matthias Schulte
Malliavin-Stein method for Poisson functionals
6 mars 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The aim of this talk is to give an introduction to the Malliavin-Stein method for Poisson functionals and to show how it can be applied to problems arising, for example, in stochastic geometry. As a Poisson functional we denote a random variable depending on an underlying Poisson point process. By combining Malliavin calculus and Stein's method one can derive abstract bounds for the normal approximation of such Poisson functionals. These results are applied to derive central limit theorems for some examples. In particular, we consider problems from stochastic geometry as the total edge length of the k-nearest neighbour graph or the (intrinsic) volumes of the k-faces of Poisson-Voronoi tessellations as well as some functionals of Poisson shot noise random fields. Most of this talk is joint work with Günter Last and Giovanni Peccati. -
Alejandro Ramirez
Quenched central limit theorem for random walk in ergodic space-time environment
11 mars 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
We prove a quenched central limit theorem for random walk in a time dependent random environment under a mild ergodicity assumption.
This is a joint work with Xiaoqin Guo and Jean-Dominique Deuschel. -
Nathael Gozlan
Coûts de transport optimaux et inégalités fonctionnelles
20 mars 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L’exposé commencera par un survol des liens unissant transport optimal et inégalités fonctionnelles. Nous verrons tout d'abord que le transport de mesures est un outil puissant permettant de démontrer certaines inégalités fonctionnelles classiques (comme par exemple les Inégalités de Sobolev ou de Sobolev logarithmiques). Nous présenterons ensuite une classe d’inégalités fonctionnelles appelée inégalités de transport. Cette classe d’inégalités a été introduite dans les années 90 dans les travaux de K. Marton et M. Talagrand et joue un rôle important dans la description du phénomène de concentration de la mesure. La seconde partie de l’exposé sera consacrée à des développements récents autour des inégalités de Poincaré pour les mesures log-concaves (travail en collaboration avec D. Cordero-Erausquin) et autour des inégalités de transport pour des mesures discrètes (travail en collaboration avec C. Roberto, P-M Samson, Y. Shu et P. Tetali). -
Ivan Nourdin
Transitions de phase gaussiennes et volumes intrinsèques coniques
10 avril 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Il y a beaucoup d'exemples de problèmes d'optimisation convexe sous contraintes aléatoires où on observe empiriquement une transition de phase quand le nombre de contraintes augmente. J'en donnerai quelques-uns au début de l'exposé. J'expliquerai ensuite comment ces transitions de phase sont reliées aux fluctuations asymptotiques gaussiennes des volumes intrinsèques d'un certain cône naturellement attaché au problème. Pour suivre cet exposé, fruit d'un travail en collaboration avec Larry Goldstein (Univ. Southern California) et Giovanni Peccati (Univ. du Luxembourg), il n'y a aucun prérequis; nous resterons à un niveau basique. -
Nicolas Juillet
Sur le théorème de Kellerer
24 avril 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
J'énoncerai le théorème de Kellerer (1972) et expliquerai le principe des démonstrations connues. Ce théorème énonce une condition nécessaire et suffisante à ce qu'une famille de mesures de probabilité réelles, indexées sur R, soit la famille des distributions temporelles d'une martingale markovienne. Nous verrons ce qui freine ou rend impossible la généralisation de ce théorème aux dimensions supérieurs, que cela concerne l'ensemble des indices ou l'espace des mesures. -
Clément Dombry
Exact simulation of max-stable processes
22 mai 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Joint work with S. Engelke (EPFL) and M.Oesting (University of Twente)
Max-stable processes play an important role as models for spatial extreme
events. Their complex structure as the pointwise maximum over an infinite
number of random functions makes simulation highly nontrivial. Algorithms based
on finite approximations that are used in practice are often not exact and
computationally inefficient. We will present two algorithms for exact
simulation of a max-stable process at a finite number of locations. The first
algorithm generalizes the approach by Diecker & Miskosch (2014) for Brown--Resnick
processes and it is based on simulation from the spectral measure. The second
algorithm relies on the idea to simulate only the extremal functions, that is,
those functions in the construction of a max-stable process that effectively
contribute to the pointwise maximum. We study the complexity of both algorithms
and prove that the second procedure is always more efficient. Moreover, we
provide closed expressions for their implementation that cover the most popular
models for max-stable processes and extreme value copulas. For simulation on
dense grids, an adaptive design of the second algorithm is proposed.
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Nathanaël Enriquez
Combinatoire de lignes convexes à sommets entiers dans le plan
29 mai 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
On se pose la question de l'asymptotique du nombre de ligne polygonale croissante convexes à sommets entiers joignant l'origine au point de coordonnées (n,n). Un équivalent logarithmique avait été trouvé indépendamment et par des méthodes différentes par Barany, Vershik et Sinai. Nous suivons l'approche de Sinai, qui introduit un modèle de physique statistique relatif à ce problème. Dans ce modèle, nous parvenons à donner une représentation intégrale de la fonction de partition faisant intervenir la fonction zeta. Nous en déduisons un véritable équivalent du nombre de lignes, mettant en jeu notamment les zéros de la fonction zeta. Nous évoquerons comment d'autres résultats peuvent également obtenus au sujet des lignes dont le nombre de sommets est contraint (combinatoire, forme limite...) répondant ainsi à une question de Vershik. (Ce travail est effectué en collaboration avec Julien Bureaux) -
Elise Janvresse
Classification des filtrations en temps négatif
5 juin 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
On s'intéressera dans cet exposé à la théorie des filtrations en temps négatif développée par A. Vershik, et en particulier à la propriété de standardité : une filtration est standard lorsqu'elle peut-être "plongée" dans une filtration engendrée par un processus i.i.d.
Nous verrons que même si aucun événement n'est connu depuis toujours (la tribu queue est triviale) et que l'univers des événements connus s'enrichit à chaque instant du résultat d'un pile ou face, une filtration n'est pas nécessairement standard. Nous donnerons un critère simple de standardité pour les filtrations engendrées par un processus de Markov monotone.
(travail en collaboration avec Stéphane Laurent et Thierry de la Rue) -
Philippe Marchal
Tableaux de Young rectangulaires
25 septembre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Un tableau de Young rectangulaire est un rectangle de taille, disons m*n, comportant mn "cases" numérotées de 1 à mn de manière croissante le long des lignes et des colonnes. Si on considère le numéro d'une case comme sa hauteur, on peut voir le tableau de Young comme une surface et si on choisit la numérotation au hasard, on obtient une surface aléatoire. Dans un article, Pittel et Romik montrent l'existence d'une forme limite. Nous étudions ce problème par une méthode plus probabiliste et mettons en évidence un lien avec la théorie des matrices aléatoires. -
Kavel Pärna
Optimal partitions and approximating sets for probability distributions
2 octobre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Expected value EX can be regarded as approximation of the distribution P by one single point which minimizes mean square error. In this talk the problem of approximation of P by much more general sets is considered: finite sets consisting of k points (so called k-means), parametric sets, bounded sets etc. Main focus is on existence and stability problems: do small changes in P can cause only small changes in optimum approximation sets. Also, it is shown how certain asymptotic theory can be used for large number k of approximating points. -
Laurent Navoret
Modèles particulaires et macroscopiques pour le déplacement collectif de cellules
9 octobre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Aline Kurtzmann
La conjecture de Cantelli
16 octobre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Il s'agit d'un travail en commun avec V. Kleptsyn (Rennes). Soit X une variable aléatoire gaussienne indépendante de Y, où Y est une variable gaussienne également. Cantelli conjecture en 1918 que la somme X + f(X)Y est encore une variable gaussienne si et seulement si la fonction mesurable f est constante. Nous allons construire une fonction f non constante, mesurable et telle que X + f(X) Y est gaussienne. Pour ce faire, nous travaillerons avec le mouvement brownien, nous inspirerons du plongement de Skorokhod et définirons un nouveau transport de masse généralisant la barrière de Root. -
Marie Théret
Courant maximal et ensemble de coupure minimal dans le modèle de percolation de premier passage
23 octobre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous considérons le modèle de percolation de premier passage sur le graphe $\mathbb{Z}^d/n$ pour $d \geq 2$. Nous l'interprétons comme un modèle de roche poreuse : les arêtes du graphes sont de petits tuyaux, auxquels nous associons une famille de capacités aléatoires i.i.d. Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{R}^d$, représentant le morceau de roche poreuse étudié. Soient $\Gamma^1$ et $\Gamma^2$ deux ouverts disjoints de $\partial \Omega$ qui représentent la zone de $\partial \Omega$ à travers laquelle de l'eau peut rentrer dans la roche et en sortir. Une loi des grands nombres pour le flux maximal de $\Gamma^1$ à $\Gamma^2$ dans $\Omega$ quand $n$ tend vers l'infini est déjà connue. Sous certaines conditions sur la régularité du domaine et sur la loi des capacités des arêtes, nous prouvons la convergence p.s. d'une suite de courants maximaux (respectivement d'ensemble de coupure minimaux) vers l'ensemble des solutions d'un problème de courant continu maximal (respectivement d'ensemble de coupure minimal) non aléatoire. -
Christophe Cuny
Sur la convergence presque-sûre de séries de valables aléatoires
6 novembre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Soit un espace de probabilité muni d'une filtration (F_n)_{n\in N} (croissante ou décroissante). Etant donnée une suite de variables aléatoires intégrables (X_k)_{k\in N}, on donne des conditions portants sur $\E(X_k|F_n)_{k,n}$, suffisantes pour la convergence presque-sûre de la série $\sum_k X_k$. On les applique en particulier aux deux situations suivantes: (A). $X_k:= a_k f(T^k)$ avec (a_k)_k suite de carrés sommables, $f\in L^2(\Omega)$ centrée et $T$ préservant la mesure, ou (B). $X_k:= a_k f(n_k)$ avec (a_k)_k de carrés sommables, $f\in L^2([0,1),\lambda)$ centrée et $(n_k)_{k\in N}$ lacunaire. Travail en collaboration avec Ai Hua Fan (Université de Picardie) -
Nils Berglund
Structures de régularité et renormalisation d'EDPS de FitzHugh-Nagumo
13 novembre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
La théorie des structures de régularité, récemment développée par Martin Hairer, permet de définir une notion de solution pour des EDPs stochastiques très singulières, à condition de les renormaliser de manière adéquate. Ces équations comprennent une vaste classe d'EDPS paraboliques dirigées par un bruit blanc spatio-temporel. Nous donnerons une introduction à la théorie des structures de régularité, avant d'en présenter une généralisation à des systèmes d'EDPS paraboliques couplées à une EDO, en 2 ou 3 dimensions spatiales. Un cas particulier en est l'équation de FitzHugh-Nagumo pour l'évolution du potentiel d'action d'une large population de neurones. Notre principal résultat montre l'existence de solutions pour une version renormalisée de l'équation, avec une expression explicite des constantes de renormalisation.
Travail en commun avec Christian Kuehn (TU Vienne). -
Yang Lu
Broken-Heart, Common Life, Heterogeneity: Analyzing the Spousal Mortality Dependence
20 novembre 2015 - 11:00Salle de conférences IRMA
Using data on joint annuities, we conduct an analysis of the inter-couple lifetime dependence. We estimate a mixed proportional hazards model with treatment e ects, which disentangles the broken-heart syndrome from the spurious risk dependence induced by unobserved heterogeneities. We use a flexible semi-parametric distribution for the unobserved heterogeneities to allow for either positive or negative spurious risk dependence. We nd that the e ect of losing one's spouse is persistent, and asymmetric for the two sexes. Moreover, although the broken-heart syndrome explains a large portion of the dependency, there is evidence of positive spurious risk dependence. These ndings have important implications for the pricing of joint insurance products. Failure to take into account either of these two e ects leads to pricing error that can be either positive or negative, depending on the characteristics of the couple. -
Marwa Banna
Universalité de la distribution spectrale limite de matrices aléatoires à entrées corrélées
27 novembre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L’étude des matrices aléatoires est un sujet important qui trouve application dans plusieurs nombreux domaines comme la mécanique quantique, le traitement de signal appliqué aux télécommunications, la finance, etc. Dans cet exposé, je ferai une petite introduction sur la théorie des matrices aléatoires et plus précisément sur l'étude du comportement asymptotique global du spectre de ces matrices. Puis, je présenterai un résultat d'universalité de la distribution spectrale limite pour des matrices dont les entrées sont des fonctions de variables aléatoires indépendantes. La preuve est basée sur une technique de blocs associée à la méthode de Lindeberg.
(travail en collaboration avec Florence Merlevède et Magda Peligrad) -
Pierre Nolin
Percolation gelée en deux dimensions
4 décembre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous étudions le modèle de percolation gelée, qui est un processus de percolation où la croissance d'une composante connexe est stoppée dès que celle-ci devient infinie. Ce modèle a été introduit par Aldous en 1999 sur l'arbre binaire, et nous discutons un modèle analogue en deux dimensions. En particulier, nous expliquons pourquoi le régime "presque-critique" de la percolation indépendante joue un rôle important. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Rob van den Berg (CWI and VU, Amsterdam), Demeter Kiss (U. Cambridge), et Bernardo de Lima (UFMG, Belo Horizonte). -
Olivier Zindy
Etude de la mesure de Gibbs associée au champ libre Gaussien discret en dimension 2
11 décembre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Des travaux récents de physiciens (dont Carpentier & Le Doussal et Fyodorov & Bouchaud) concernent les champs gaussiens admettant des corrélations qui décroissent logarithmiquement et suggèrent qu’ils constituent une classe d’universalité du point de vue des statistiques des valeurs extrêmes. En fait, cette classe serait à la frontière entre la classe des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (REM) et les modèles où les corrélations commencent à affecter ces statistiques. Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents et rigoureux obtenus avec Louis-Pierre Arguin concernant cette classe de modèles. Plus particulièrement, je décrirai, avec une approche “verres de spin”, la mesure de Gibbs (à basse température) associée au champ libre Gaussien discret en dimension 2. -
Jean Bérard
Exposé annulé.
18 décembre 2015 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L'exposé est reporté au 29 janvier 2016.