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  • Ponts Browniens sur les matrices unitaires de grande taille

    — Antoine Dahlqvist

    12 janvier 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    On s’intéressera au modèle de matrices aléatoires suivant. On considère un mouvement Brownien sur les matrices unitaires de taille N, partant de l’identité et conditionné à y revenir en un temps fixé T, dans un régime où N est grand. Contrairement au pont Brownien standard, ou au pont Brownien sur un espace linéaire, la loi de cette trajectoire ne peut à priori être décrite comme une fonctionnelle simple de la trajectoire du mouvement Brownien. Néanmoins on verra qu’ asymptotiquement, dans un certain régime, cette relation reste partiellement vraie et qu’elle est une manifestation d’une transition de phase, portant le nom des physiciens Douglas et Kazakov. Celle-ci dépend du paramètre de temps T. En régime sous-critique, les valeurs propres du pont se comportent de façon « linéaire »; une loi du demi-cercle décrit asymptotiquement leur mesure empirique. En régime sur-critique, le comportement des valeurs propres devient plus compliqué et la boucle aléatoire formée par le pont Brownien peut être topologiquement non-trivial. On illustrera comment les relations de ce modèle avec un gas de Coulomb discret en dimension un et la mesure de Yang-Mills en dimension deux permettent de comprendre la valeur du paramètre critique et d’obtenir de tels résultats. Cet exposé est basé sur un travail en commun avec J.R. Norris.
  • Grandes déviations pour l'étude de limites d'échelles de modèles déterministes de la dynamique adaptative

    — Benoit Henry

    19 janvier 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Nous allons nous intéresser à une limite d'échelle d'une équation aux dérivées partielles modélisant la dynamique d'une population structurée par un trait quantitatif et sujette à mutations. Dans la limite d'échelle des petites mutations et du temps long, ce type d'équation donne lieu à des équations de Hamilton-Jacobi avec contraintes (Dieckmann et al, 2005). Dans ce travail, nous donnons une représentation de la solution de cette EDP comme l'espérance d'une fonctionnelle d'un processus stochastique (mouvement Brownien si l'opérateur de mutation est un Laplacien). La limite d'échelle peut alors être étudiée grâce à des estimées de grandes déviations, et nous obtenons ainsi une caractérisation variationnelle du problème de Hamilton-Jacobi limite. Dans certain cas simples, nous sommes alors en mesure de démontrer l'unicité de la solution du problème variationnel.
  • Marche renforcée et localisation d'Anderson

    — Xiaolin Zeng

    26 janvier 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    La marche linéairement renforcée (par arête) est une marche aléatoire qui interagit avec sa trajectoire, c'est-à-dire qu'à chaque étape, elle préfère traverser les arêtes déjà visitées, avec une biais proportionnel au nombre de fois où l'arête a déjà été traversée. Nous commencerons par une introduction douce au sujet, puis nous dévoilerons les liens entre la marche renforcée et l’opérateur de Schrödinger aléatoire, en particulier en ce qui concerne la transition localisation/délocalisation d’Anderson. On finira en présentant une nouvelle preuve du fait que la marche renforcée sur Z^d est récurrente si le renforcement est suffisamment fort, cela, par la méthode des moments fractionnels.
  • Behaviour of ancestral lineages of locally regulated populations

    — Andrej Depperschmidt

    2 février 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Spatial embeddings of ancestral lineages of certain spatial population models with local regulation can be seen as random walks in dynamic random environment, where the environment is generated by the forwards in time evolution of the population. We discuss the asymptotic behaviour of ancestral lineages in two particular population models, namely the discrete time contact process and the logistic branching random walk. The talk is based on joint works with Matthias Birkner, Jiří Černý and Nina Gantert.
  • La géométrie du champ libre Gaussien continu en 2 dimensions

    — Juhan Aru

    9 février 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Le champ libre Gaussian continu (GFF) peut être vu comme une généralisation du mouvement Brownien, mais aussi comme un exemple canonique d'une fonction de hauteur aléatoire. Je voudrais discuter des propriétés géométriques et probabilistes du GFF continu 2D : par exemple de ses lignes de niveau et d'une décomposition du GFF en une somme de mesures positives et négatives. Sur le chemin, je veux expliquer ses liens avec les modèles de physique statistique et avec les surfaces aléatoires qui apparaissent dans l'étude de gravité quantique de Liouville.
  • Limites d'échelles des graphes inhomogènes critiques

    — Minmin Wang

    16 février 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Dans cet exposé, on considère un modèle des graphes aléatoires qui généralise le modèle G(n, p) (le graphe d’Erdos-Renyi). Un travail précédent d'Aldous et Limic a montré un lien étroit entre ces graphes et les coalescents multiplicatifs. En s’appuyant sur une nouvelle représentation de ces graphes à l’aide d’une forêt de Galton—Watson, nous déterminons les limites d’échelles pour ces graphes dans le régime critique. De plus, nous donnons une construction des limites graphes à partir des arbres de Lévy de Le Gall & Le Jan, qui sont les limites d’échelles des arbres de Galton—Watson. L’exposé est basé sur un travail en commun avec N. Broutin et T. Duquesne.
  • Représentation probabiliste d'EDP elliptiques semi-linéaires par des processus de branchement-diffusion et applications numériques

    — Julien Claisse

    23 février 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Dans ce travail, on s'intéresse à une classe d'EDP elliptiques semi-linéaires avec condition de Dirichlet et on donne une représentation probabiliste de leur solution à l'aide de processus de branchement-diffusion. Lorsque la non-linéarité porte uniquement sur la solution, nous étendons les résultats précédents de la littérature en montrant que la représentation probabiliste fournit une solution de l'EDP, sans supposer l'existence au préalable. Nous développons également de nouveaux outils permettant d'assurer la validité de la représentation sous des conditions explicites portant sur la taille du domaine ou l'amplitude de la non-linéarité . Dans le cas général, nous obtenons une nouvelle représentation probabiliste en exploitant des formules de différentiation automatique pour rendre compte du terme de gradient non-linéaire. Ces résultats permettent de mettre en œuvre des algorithmes de Monte Carlo pour calculer les solutions d'EDP, ce qui est particulièrement utile en grande dimension, comme nous l'illustrons par des exemples numériques. Travail réalisé en collaboration avec Ankush Agarwal.
  • Processus de branchement pour la modélisation d'une population de cellules.

    — Aline Marguet

    9 mars 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    On s'intéresse au comportement asymptotique d'une population structurée branchante. Chaque individu dans la population est caractérisé par un trait (l’âge, la taille, etc...) dont la dynamique au cours du temps suit un processus de Markov. Ce trait détermine le cycle de vie de chaque individu : sa durée de vie et le trait à la naissance de ses descendants. Dans cet exposé, nous nous intéresserons au comportement asymptotique de la mesure empirique associée au processus de branchement. Celui-ci repose sur l'étude d'un processus inhomogène en temps correspondant au trait d'un individu "typique" dans la population, appelé processus auxiliaire ou épine. Une première étape consiste à montrer l'ergodicité de ce processus le long de ses lignées ancestrales. Puis, nous montrons que la mesure empirique du processus de branchement converge en probabilités vers une quantité déterministe donnée par la valeur moyenne limite du processus auxiliaire.
  • Flux de gènes à travers une barrière géographique

    — Raphaël Forien

    16 mars 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    De nombreuses espèces occupent un habitat fragmenté par des obstacles géographiques qui réduisent les échanges génétiques entre différentes régions de l'espace. Pour étudier la composition génétique d'une population en présence d'un tel obstacle, on s'intéresse à la position des ancêtres d'un échantillon d'individus à différents instants dans le passé. Chacune de ces lignées ancestrales suit une marche aléatoire symétrique en dehors d'une région bornée autour de l'origine. Convenablement renormalisée, cette marche aléatoire s'approche d'un processus continu qui peut être décrit comme un mouvement brownien partiellement réfléchi. Nous donnons une preuve de cette convergence ainsi que plusieurs constructions et caractérisations de ce processus.
  • Renormalisation des EDPS singulières

    — Yvain Bruned

    23 mars 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Dans cet exposé, on présentera les avancées récentes sur la résolution des EDPS singulières par les Structures de Régularité introduites par Martin Hairer. Après avoir développé les nouveaux outils de renormalisation, on s'attachera à montrer sur des exemples le calcul de l'équation renormalisée.
  • Limite d'échelle du processus de contact sous-critique

    — Aurelia Deshayes

    29 mars 2018 - 14:00Salle de séminaire 418

    Dans cet exposé je parlerai du processus de contact sous critique. Ce processus modélise une infection qui s'éteint presque sûrement si on commence avec un nombre fini de particules infectées et qu'on choisit un paramètre d'infection suffisamment petit. Mais que se passe-t-il si, dans ce même régime, on part cette fois d'un nombre infini de particules infectées? Je présenterai un travail en collaboration avec Leonardo T. Rolla où nous donnons une description des configurations asymptotiques. Une configuration sera décrite par la collection des "emplacements macroscopiques" des zones de particules infectées et par la position relative de ces particules dans chaque zone (faisant intervenir la distribution quasi stationnaire du processus de contact modulo translation).
  • L'opérateur Z-Dirac et le Laplacien massique dans le modèle d'Ising Z-invariant

    — Béatrice De Tilière

    6 avril 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Le sujet de cet exposé est le modèle d'Ising Z-invariant défini sur un graphe isoradial, introduit par Baxter. A titre d'exemple, le modèle d'Ising défini sur chacun des trois réseaux réguliers (carré, triangulaire, hexagonal), rentre dans ce cadre. Le but est de montrer que certaines quantités clés d'un tel modèle d'Ising - la fonction de partition et les probabilités de présence d'arêtes dans la représentation en contour - s'expriment explicitement en fonction du Laplacien massique Z-invariant et de son inverse, la fonction de Green massique, introduits par Boutillier, dT et Raschel. Ceci a pour conséquence d'établir un lien profond entre deux modèles très classiques de mécanique statistique 2d : le modèle d'Ising et la marche aléatoire. Afin de prouver ces résultats, nous introduisons l'opérateur Z-Dirac que nous relions au Laplacien massique, étendant au régime Z-invariant complet des résultats obtenus par Kenyon au point critique; nous relions ensuite l'opérateur Z-Dirac au modèle d'Ising. Les relations démontrées sont de type matricielles; elles permettent de comparer les matrices inverses ainsi que, avec une travail combinatoire suplémentaire, leur déterminant.
  • Structure locale et approximation entropique du transport optimal de martingale multidimensionnel

    — Hadrien De March

    18 mai 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Le transport optimal martingale est une variante du transport optimal qui a connu son essor au cours des dix dernières années. Après un rappel des propriétés classiques du transport optimal, nous présenterons certaines avancées récentes concernant la structure locale des transports martingales optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtiendra ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géomètrie algébrique réelle. On en déduira la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permettra de résoudre une des conjectures de Ghoussoub, Kim et Lim de 2015 sur la structure des transports optimaux. Nous présenterons ensuite les méthodes numériques existantes et proposerons une nouvelle méthode qui s’avérera plus efficace et permettra de traiter un problème intrinsèque à la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. Nous donnerons également un nouveau résultat d'estimation d'erreur asymptotique universel pour l'approximation entropique du problème de transport optimal martingale, améliorant sensiblement les résultats existants.
  • Chaos multiplicative comme une cascade multiplicative

    — Avelio Sepúlveda Donoso

    1 juin 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Travail commun avec Juhan Aru et Ellen Powell. Nous allons voir que le chaos multiplicative Gaussien peut-être vu comme une cascade multiplicative avec branchement infini. Comme conséquence on réduit l'étude de chaos multiplicative à ce d'une promenade aléatoire branchante où chaque sommet a un nombre infini des enfants.
  • Densité en temps petit d'une diffusion de Langevin quadratique plane.

    — Jacques Franchi

    21 septembre 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    L'asymptotique pour t --> 0 de la densité p_t(x,x') d'une diffusion est plutôt bien connue dans les cadres elliptique et sous-elliptique (sous-riemannien), mais pas du tout dans le cadre strictement hypoelliptique, dont un exemple de base est une diffusion de Langevin (non plane). Le cas non gaussien le plus simple est celui de X_t := ( B_t , \int_0^t B_s^2 ds ), où B_t est brownien réel. Pour cet exemple, les asymptotiques pour t --> 0 de la densité p_t(0,(w,y)) et de p_t(0,(w,ty)) sont calculées (le cas particulier w=0 inclus). On trouve un comportement différent des cas sous-elliptiques ou Langevin plat (gaussien).
  • Marche aléatoire en environnement aléatoire dynamique à décorrélations polynomiales

    — Oriane Blondel

    19 octobre 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    On étudie des marches aléatoires en dimension 1 dans un environnement dynamique stationnaire. Dans ce cadre, on formulera une condition de décroissance polynomiale des corrélations dans l'environnement permettant de montrer une loi des grands nombres pour une classe assez générale de marches aléatoires aux plus proches voisins. Travail réalisé avec Marcelo Hilario et Augusto Teixeira.
  • Complémentabilité et maximalité, en théorie ergodique et en théorie des filtrations

    — Christophe Leuridan

    9 novembre 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Ornstein et Weiss ont introduit en 1970 des notions de complémentabilité (existence d'un complément indépendant) et de maximalité pour les facteurs d'un automorphisme d'un espace mesuré. Nous présentons des notions analogues pour les filtrations browniennes et pour les filtrations poly-adiques indexées par les entiers négatifs, c'est-à-dire les filtrations pour lesquelles à chaque instant, l'accroissement d'information peut être codé par une variable aléatoire indépendante du passé et de loi uniforme sur un ensemble fini.
  • Density and tube estimates for diffusion processes under Hormander-type conditions

    — Paolo Pigato

    23 novembre 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    We recall some classic results on the regularity of solutions of stochastic differential equations. We consider then two specific diffusions satisfying hypoellipticity conditions of Hormander type. Using Malliavin Calculus techniques recently developed to deal with degenerate problems, we find estimates for the density of the law of the solution, which we use to prove exponential bounds for the probability that the diffusion remains in a small tube, around a deterministic path, up to a given time. We then present some work in progress on asymptotic sharp estimates for the density and its derivatives for a similar system.
  • Réseaux de neurones : principes et applications

    — Vincent Vigon

    30 novembre 2018 - 10:45None

    Qu'est-ce qu'un réseau de neurone ? Comment l'entraine-t-on ? Quelles sont les architectures possibles ? Quelles sont les applications possibles ? On commencera par suivre un cas d'école : la reconnaissance de caractères manuscrits, puis on verra des exemples plus complexes à base d'images, de sons et de textes. Si le temps le permet, on fera un rapide survol des succès de l'intelligence artificielle et poserons quelques questions existentielles qui en découlent.
  • Quelques remarques et résultats aux sujets des flots gradients et des grandes déviations.

    — Christian Léonard

    6 décembre 2018 - 15:45Salle de séminaires IRMA

    La mesure empirique d'un grand nombre de particules évoluant en contact avec un réservoir thermique constitue parfois une bonne approximation de la solution d'une EDP dissipative (comme par exemple l'équation de la chaleur). L'évaluation des probabilités des grands écarts à ce comportement limite lorsque le nombre de particules tend vers l'infini suggère une manière de définir de façon naturelle un "coût de grandes déviations" de ces fluctuations, tout à fait dans l'esprit du transport optimal. Quelques flots gradients pour la métrique de Wasserstein sont repensés dans cette perspective. Cet exposé s'inspire de différents travaux en collaboration avec Julio Backhoff, Giovanni Conforti, Ivan Gentil, Luigia Ripani et Johannes Zimmer.
  • Characterization of Ricci curvature and Ricci flow by Brownian motion

    — Anton Thalmaier

    6 décembre 2018 - 17:00Salle de séminaire 418

    We present recent work characterizing Ricci curvature and Ricci flow on manifolds in terms of functional inequalities for heat semigroups. The observation of Aaron Naber that bounded Ricci curvature on a Riemannian manifold controls the analysis on path space, in a manner analogous to how lower Ricci curvature bounds control the analysis on the manifold, gave new impetus to the field. The functional inequalities allow in particular to characterize Einstein manifolds and Ricci solitons. The talk includes extensions of these methods to geometric flows on manifolds, as well as to the path space of Riemannian manifolds evolving under a geometric flow.
  • Stabilité du théorème de Bakry-Emery

    — Max Fathi

    14 décembre 2018 - 10:45Salle de séminaires IRMA

    Le théorème de Bakry-Emery nous dit que pour des mesures uniformément log-concaves, certaines inégalités fonctionnelles (inégalité de Poincaré, inégalité de Sobolev logarithmique) sont vérifiées avec des constantes meilleures que celles associées à la mesure Gaussienne. Je montrerai comment on peut combiner la méthode de Stein et des arguments simples issus du calcul des variations pour obtenir des estimées de stabilité pour ce problème : si les constantes optimales sont proches de celle pour la gaussienne, alors la mesure est proche d’être une mesure produit, avec un facteur gaussien. Travail en collaboration avec Thomas Courtade.