Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Nicolas Broutin
La limite d’échelle de la percolation critique sur l’hypercube
30 janvier 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Nous parlerons de la phase critique de la percolation par arête sur l’hypercube de Hamming {0,1}^m, et plus particulièrement de la limite d’échelle des grandes composantes connexes. Nous montrons en particulier que la limite est la même que pour les graphes aléatoires d’Erdos-Rényi critiques, c’est-à-dire la percolation par arête critique sur le graphe complet. La présentation sera basée sur un travail en commun avec Arthur Blanc-Renaudie et Asaf Nachmias. -
Charlotte Derouet
La fonction de densité: un regard didactique sur l'enseignement et l'apprentissage de cette notion
13 février 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Lors de mon exposé, je présenterai plusieurs travaux de recherche en didactique des mathématiques que j'ai menés autour de l'enseignement et l'apprentissage des probabilités au lycée et à la transition lycée/université. Plus particulièrement, je m'intéresserai à la fonction de densité, notion au carrefour entre les probabilités et l'analyse. -
Pierre Tarrago
Frontière de Martin pour marches aléatoires dans des cônes
27 février 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé, je rappellerai pourquoi les fonctions harmoniques permettent le conditionnement d'une marche aléatoire à rester dans un domaine, et comment la frontière de Martin donne une description qualitative de ces fonctions harmoniques. J'exposerai ensuite des résultats récents sur la description de la frontière de Martin dans le cas particulier où le domaine est un cône (travail en collaboration avec Jetlir Duraj, Kilian Raschel et Vitali Wachtel). A cette occasion, j'expliquerai également une méthode assez nouvelle, due à Denisov et Wachtel, qui permet d'étudier efficacement des marches aléatoires conditionnées. -
Pierrick Siest
Modèle de Richardson avec mélange
19 mars 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Le modèle de Richardson a été introduit par Richardson en 1973. C'est un modèle de croissance aléatoire, qui peut par exemple modéliser la propagation d'une maladie. On s'intéresse à ce modèle sur le graphe $ (\Z^d,\E^d)$, où $\E^d$ est l'ensemble des arêtes entre plus proches voisins de $\Z^d$. Au temps $t=0$, l'origine est considérée comme un sommet infecté, tous les autres sommets sont considérés comme des sommets sains. Ensuite, à chaque instant $t>0$, chaque sommet infecté $x$ infecte un voisin sain $y$ à taux $\lambda>0$, indépendamment des autres sommets. Dans cet exposé, je parlerai du modèle de Richardson avec mélange, qui correspond au modèle de Richardson pour lequel chaque sommet infecté $x$ échange son état d'infection avec un sommet voisin $y$, à taux $1$, indépendamment des infections et des autres échanges. Cela modélise les déplacements des personnes infectées. Je présenterai un théorème de forme asymptotique, démontré par Richardson en 1973 pour le modèle sans mélange, que nous avons démontré pour le modèle avec mélange, pour $\lambda$ suffisamment grand, avec Irène Marcovici et Régine Marchand. Il concerne la forme de l'ensemble des sommets qui ont déjà été infectés au moins une fois au temps $t$, lorsque $t\to +\infty$. Je parlerai également d'un résultat de fixation, qui concerne l'état en temps long d'un site : est-ce qu'il fixe sur un même état à partir d'un certain temps ? -
Guillaume Cebron
Matrices aléatoires en liberté conditionnelle
2 avril 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Résumé : La liberté de Voiculescu émerge lors du calcul de la distribution asymptotique de matrices aléatoires indépendantes et unitairement invariantes. Nous présenterons ce lien établi par Voiculescu entre la théorie des probabilités libres et les matrices aléatoires, et expliquerons quelques extensions récentes de ce résultat : en considérant une suite de vecteurs déterministes v_N, la distribution asymptotique des matrices par rapport aux états vectoriels associés aux v_N peut être calculée grâce à la liberté conditionnelle définie par Bozejko et Speicher. De plus, le terme infinitésimal dans la limite de la trace normalisée est régie par une nouvelle indépendance non commutative : la liberté conditionnelle cyclique. La présentation est basée sur des résultats obtenus avec A. Dahlqvist, F. Gabriel et N. Gilliers. -
Francesca Crucinio
A connection between Tempering and Entropic Mirror Descent
9 avril 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
This talk explores the connections between tempering (for Sequential Monte Carlo; SMC) and entropic mirror descent to sample from a target probability distribution whose unnormalized density is known. We establish that tempering SMC corresponds to entropic mirror descent applied to the reverse Kullback-Leibler (KL) divergence and obtain convergence rates for the tempering iterates. Our result motivates the tempering iterates from an optimization point of view, showing that tempering can be seen as a descent scheme of the KL divergence with respect to the Fisher-Rao geometry, in contrast to Langevin dynamics that perform descent of the KL with respect to the Wasserstein-2 geometry. -
Jürgen Angst
TLC en variation totale pour les beta-ensembles
16 avril 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé, on s'intéresse aux fluctuations des statistiques linéaires associées aux beta-ensembles, qui sont des modèles de physique statistique généralisant les spectres de matrices aléatoires. Dans le cadre des matrices aléatoires précisément (GOE, GUE par ex), la "loi des grands nombres" est le théorème de Wigner qui indique que la mesure empirique des valeurs propres converge vers la loi du demi-cercle et on peut montrer que les fluctuations autour de l'équilibre sont gaussiennes. Nous décrirons comment ce résultat se généralise aux beta-ensembles et comment il est possible de quantifier la vitesse de convergence vers la loi normale. Nous obtenons ainsi des vitesses optimales pour la distance en variation totale et les distances de Wasserstein. Pour ce faire, nous introduisons une variante de la méthode de Stein pour un générateur $L$ qui n'est pas nécessairement inversible, et qui permet d'établir la normalité asymptotique d'observables qui ne sont pas dans l'image de $L$. Si le temps le permet, nous nous intéresserons également au phénomène de super-convergence, qui assure que la convergence vers la loi normale a lieu pour des métriques très fortes, typiquement la convergence $C^{\infty}$ des densités. L'exposé est basé sur des travaux récents avec D. Malicet, R. Herry et G. Poly. -
Alexis Devulder
Théorème limite local annealed pour la Marche de Sinai
14 mai 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Nous considérons la marche de Sinai $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ (marche aléatoire en milieu aléatoire récurrente sur $\mathbb{Z}$). Nous prouvons un théorème limite local pour $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sous la loi annealed $\mathbb{P}$. Nous en déduisons notamment un équivalent pour la probabilité annealed $\mathbb{P}(S_n=z_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini, quand $z_n=O\big((\log n)^2\big)$. Dans ce but, nous développons et étudions une décomposition de la trajectoire du potentiel de la marche de Sinai, c'est à dire de certaines marches aléatoires avec des incréments i.i.d. La preuve repose également sur la théorie du renouvellement, un argument de couplage, une analyse détaillée des environnements et trajectoires de la marche de Sinai satisfaisant $S_n=z_n$, et utilise des estimations précises pour les marches aléatoires conditionnées à être positives. -
Nicolas Chenavier
Agrégats et forêt IDLA basés sur un nombre infini de sources
4 juin 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Le modèle d’agrégation limitée par diffusion interne (IDLA) est un modèle de croissance dans lequel des ensembles aléatoires sont construits récursivement à l’aide de marches aléatoires. Derrière ce processus se cache un arbre qui est délicat à étudier. L'une des difficultés est qu'il présente un caractère radial. Pour y remédier, deux agrégats basés sur un un nombre infini de sources sont introduits. L'un des protocoles utilisé permet de construire une forêt aléatoire inédite, dans le réseau Z^2, qui a pour but d'approcher l'arbre IDLA. Divers résultats sont établis, notamment la stationnarité, l'ergodicité, des propriétés de stabilisation et des théorèmes de forme asymptotique. Travail joint avec David Coupier et Arnaud Rousselle. -
Oriane Blondel
A random Markov property for random walks in dynamic random environments
18 juin 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
We consider random walks in dynamic random environments. We propose a criterion which, if satisfied, allows to decompose the random walk trajectory into iid increments, and ultimately to prove limit theorems. The criterion involves the construction of a random field satisfying a certain random Markov property along with some mixing estimates. We apply this criterion to correlated environments such as Boolean percolation and iid (in space) renewal chains. -
Fumihiko Nakano
Eigenvalue Statistics for the Random Dimer Model
8 octobre 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
The local eigenvalue statistics problem for 1-dimensional random Schrödinger operators has been studied extensively, and many results are now available. For example, if the random potential decays as O(∣x∣−α) at infinity, the statistics are as follows:
"Clock" for α>1/2,
"Sine" for α=1/2, and
"Poisson" for α<1/2 ([KS, KVV, KN1, KN2, CN]).
We examine the random dimer model, where the almost sure spectrum Σ is a pure point, but there are finitely many points {Ejc}j=1J where the Lyapunov exponent vanishes. The time evolution near these states {Ejc}j=1J exhibits non-trivial transport [JSS]. We show:
The statistics for {Ejc}j=1J form a clock process.
The statistics for {Ejc}j=1J∩Σc form a Poisson process under certain technical conditions.
This is joint work with P. Hislop (Kentucky) and X. Zeng (Strasbourg).
References:
[CN] Chulaevsky, V. and Nakano, F., Clock statistics for 1d Schrödinger operators, J. Math. Phys. 64, No.12 122101 (2023)
[JSS] Jitomirskaya, S., Schulz-Baldes, H., and Stolz, G., Delocalization in Random Polymer Models, Comm. Math. Phys. 233 (2003), 27-48
[KS] Killip, R., Stoiciu, M., Eigenvalue statistics for CMV matrices: from Poisson to clock via random matrix ensembles, Duke Math. 146 (2009), 361-399
[KN1] Kotani, S. and Nakano, F., Level statistics for the one-dimensional Schrödinger operators with random decaying potential, Interdisciplinary Mathematical Sciences Vol. 17 (2014), 343-373
[KN2] Kotani, S. and Nakano, F., Poisson statistics for 1d Schrödinger operators with random decaying potentials, Electronic Journal of Probability 22 (2017), no.69, 1-31
[KVV] Kritchevski, E., Valkó, B., Virág, B., The scaling limit of the critical one-dimensional random Schrödinger operators, Commun. Math. Phys. 314 (2012), 775-806 -
Lucas Journel
Convergence uniforme en temps d'une approximation champ moyen de la loi d'un processus conditionné.
15 octobre 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Le processus de Fleming-Viot est un système de particule en interaction de type champ moyen. Lorsque le nombre de particule tends vers l'infini, la mesure empirique au temps t>0 d'un tel système est un estimateur de la loi d'un processus de Markov, conditionné à sa survie (en un sens que l'on définira). Dans cette exposé, je présenterai la preuve de la convergence uniforme en temps du processus de Fleming-Viot, dans le cas d'une mort douce, possiblement non-bornée, vers cette loi conditionnée. Cet exposé sera basé sur un travail en collaboration avec Mathias Rousset de l'INRIA Rennes. -
Eleanor Archer
Limite d'échelle des arbres couvrants aléatoires
19 novembre 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Résumé : Un arbre couvrant d'un graphe connexe fini G est un sous-graphe connexe de G qui contient chaque sommet et ne contient aucun cycle. Un résultat bien connu d'Aldous énonce que la limite d'échelle de l'arbre couvrant uniforme du graphe complet est l'arbre brownien. En fait cet énoncé est plus général : l'arbre brownien est la limite d'échelle des arbres couvrants uniformes pour un grand ensemble de graphes en grande dimension. Dans cet exposé, nous allons essayer d'expliquer ce phénomène universel. Si le temps nous permet, nous allons également discuter des limites d’échelle des arbres couvrants aléatoires non-uniformes. Travaux en collaboration avec Asaf Nachmias et Matan Shalev. -
Peggy Cenac
Chaînes de Markov à mémoire variable, marches aléatoires persistantes: une rencontre avec du semi-Markov.
10 décembre 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
On considère un marcheur sur une ligne et qui, à chaque pas, garde la même direction avec une probabilité qui dépend du temps déjà passé dans la direction dans laquelle il marche. Ces marches avec des mémoires de longueur variable peuvent être vues comme des généralisations des marches aléatoires renforcées de manière directionnelle (DRRWs) introduites par Mauldin et al. Dans cet exposé, on s'intéressera à des critères de récurrence/transience de ces marches. Ces conditions sont liées à des conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité de mesure de probabilité stationnaire pour une chaîne de Markov particulière. On définira le modèle général des chaînes de Markov à mémoire variable, les marches persistantes puis nous introduirons une structure combinatoire clé pour déterminer des mesures de probabilités invariantes. Enfin, nous verrons comment ces marches et ces chaînes de Markov se rencontrent à travers le monde des chaînes semi-markoviennes. Les travaux décrits dans cet exposé sont le fruit de plusieurs collaboration avec B. Chauvin, F. Paccaut et N. Pouyanne ou B. de Loynes, A. Le Ny et Y. Offret et A. Rousselle. -
Marie Théret
Quelques propriétés de la constante de temps en percolation de premier passage
17 décembre 2024 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Le modèle de percolation de premier passage, introduit sur des graphes dans les années 50 par Hammersley et Welsh, est un modèle-jouet pour étudier des phénomènes de propagation. On peut en définir une version continue élémentaire à l’aide d’un processus ponctuel de Poisson homogène $\chi$ sur $\mathbb{R}^d$ de la façon suivante. Etant donnée une norme $N$ sur $\mathbb{R}^d$ (par exemple, la norme $p$ pour $p\in [1,+\infty]$), on considère le modèle Booléen $\Sigma$ défini comme la réunion des boules de rayon $1$ (pour $N$) centrées en les points de $\chi$. On considère que la propagation a lieu à vitesse $1$ en dehors de $\Sigma$ (pour la norme $N$) et à vitesse infinie dans $\Sigma$. Il en découle une pseudo-métrique aléatoire $T$, qui quantifie le temps nécessaire pour observer la propagation entre deux points de l’espace. Par sous-additivité, il est connu que $T (0,nx) \sim n \mu (x) $ pour $n$ grand, où $\mu (x)$ est appelée constante de temps. Il est notoirement difficile d’étudier la dépendance de $\mu (x)$ en les paramètres du modèle. Dans ce travail, en collaboration avec Anne-Laure Basdevant (LPSM, Sorbonne Université) et Jean-Baptiste Gouéré (IDP, Université de Tours), nous étudions le comportement au premier ordre de $\mu (x)$ quand l’intensité du processus sous-jacent $\chi$ tend vers $0$, et tentons de comprendre comment il dépend à la fois de la norme $N$ et de la direction de $x$.