Séminaire Calcul stochastique
organisé par l'équipe Probabilités
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Barbara Dembin
Coalescence des géodésiques en percolation de premier passage
17 janvier 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Considérons le modèle de percolation de premier passage sur Z^2: pour chaque arête, on associe indépendamment une variable aléatoire à valeur dans R_+ qui représente le temps pour traverser cette arête. On s'intéresse alors à la métrique aléatoire où le temps entre deux points correspond au temps du plus court chemin. Plus précisément, nous nous intéressons aux propriété de coalescence des géodésiques. Sous des hypothèses sur la loi des temps, nous prouvons que les géodésiques avec des extrémités proches ont une intersection significative. Nous verrons également le lien avec le problème du point milieu de BKS. Travail en commun avec Dor Elboim et Ron Peled. -
Gaussian fields with logarithmically decaying correlations, such as branching Brownian motion and the two-dimensional Gaussian free field, are conjectured to form universality class of extreme value statistics (notably in the work of Carpentier & Le Doussal and Fyodorov & Bouchaud). This class is the borderline case between the class of IID random variables, and models where correlations start to affect the statistics. In this talk, I will describe a general approach based on rigorous works in spin glass theory to describe features of the Gibbs measure of these Gaussian fields. I will focus on the two-dimensional discrete Gaussian free field. At low temperature, we show that the normalized covariance of two points sampled from the Gibbs measure is either 0 or 1. This is used to prove that the joint distribution of the Gibbs weights converges in a suitable sense to that of a Poisson-Dirichlet variable. (joint work with L.-P. Arguin, 2015). In a second work (with M. Pain, 2021), we prove absence of temperature chaos for the two-dimensional discrete Gaussian free field using the convergence of the full extremal process, which has been obtained by Biskup and Louidor. This means that the overlap of two points chosen under Gibbs measures at different temperatures has a nontrivial distribution. Whereas this distribution is the same as for the random energy model when the two points are sampled at the same temperature, we point out here that they are different when temperatures are distinct: more precisely, we prove that the mean overlap of two points chosen under Gibbs measures at different temperatures for the DGFF is strictly smaller than the REM's one. Therefore, although neither of these models exhibits temperature chaos, one could say that the DGFF is more chaotic in temperature than the REM. Finally, I will discuss ongoing works with B. Bonnefont (PhD student) and M. Pain (CR @ Toulouse), on questions suggested by B. Derrida.
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Patrick Laub
Empirical Dynamic Modeling: Automatic Causal Inference & Forecasting for Time Series
7 février 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
How can social and health researchers study complex dynamic systems that function in nonlinear and even chaotic ways? Common methods, such as experiments and equation-based models, may be ill-suited to this task. To address the limitations of existing methods and offer nonparametric tools for characterising and testing causality in nonlinear dynamic systems, we created empirical dynamic modeling (EDM) packages for Stata, R, and Python. The packages implement the key EDM methods for time series and panel data. In particular, it implements convergent cross-mapping, which offers a nonparametric approach to modeling causal effects. We can observe these algorithms in action on simulated data, and on real daily Chicago temperature and crime, showing an effect of temperature on crime but not the reverse. This is joint work with Jinjing Li, Michael Zyphur, and George Sugihara. -
Karl-Theodor Eisele
Insurance-finance arbitrage
28 février 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
The lighthouse result of mathematical finance is the Fundamental Theorem of Asset Pricing (FTAP) stating the equivalence between the no-arbitrage possibil- ity in a finacial market and the existence of an equivalent martingale measure. When it comes to insurance business linked to the financial market, two new aspects arise: First, insurance contracts are not traded in the market and, even more important: an insurance has a different information level than the market. Mathematically speaking, we are faced with (at least) two filtrations. By defining strategies on an insurance portfolio and combining them with financial trading strategies, we arrive at the notion of insurance-finance arbitrage (IFA) and give a fundamental theorem on the absence of IFA, leading to the existence of an insurance-finance-consistent probability. Joint work with Ph. Artzner and Th. Schmidt -
Yuchen Liao
RSK dynamics, TASEP, and the KPZ fixed point
21 mars 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
The KPZ fixed point, constructed by Matetski-Quastel-Remenik, is a scaling invariant Markov process that is believed to be the universal scaling limit of a large family of models, known to form the Kardar-Parisi-Zhang universality class, which describes random interface growth in 1+1 dimensions. In this talk, I will discuss a new way of exactly solving (a discrete-time version of) the totally asymmetric simple exclusion process, a prototypical discrete model in the KPZ universality class. It is based on a classical combinatorial bijection known as the Robinson-Schensted-Knuth correspondence and standard non-intersecting path constructions. This allows a more systematic derivation for the transition probability formula compared to the original work of MQR and also leads to natural generalizations with particle and time inhomogeneity. Time permitting I will also discuss how to obtain the KPZ fixed point as a 1:2:3 scaling limit of TASEP and possible generalizations when there is spatial or temporal inhomogeneity. The talk is based on joint work with Elia Bisi, Axel Saenz and Nikos Zygouras. -
Dina Finger
Blockchain mining in pools: Analyzing the trade-off between profitability and ruin
4 avril 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
The resource-consuming mining of blocks on a blockchain equipped with a proof of work consensus protocol bears the risk of ruin, namely when the operational costs for the mining exceed the received rewards. In this talk, we will introduce main concepts of a blockchain and its application to cryptocurrencies. Further, we will present a classical surplus process model in insurance and explain the main concepts of ruin theory. Finally, we will discuss to what extent it is of interest to join a mining pool that reduces the variance of the return of a miner for a specified cost for participation. Using insights and techniques from ruin theory and risk sharing in insurance, we quantitatively study the effects of pooling in this context and derive several explicit formulas for quantities of interest. The results will be illustrated in numerical examples for parameters of practical relevance. -
Lucas Gerin
Graphes denses aléatoires : un exemple de limite fractale
11 avril 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Dans les années 2000, une théorie des limites de graphes denses vers des graphes « continus » (aussi appelés « graphons ») a émergé, initiée notamment par Lovasz. Cette théorie a été étendue aux graphes denses aléatoires (sous l'impulsion de Diaconis et Janson), mais il existe très peu d'exemples où la limite est elle-même aléatoire. L'objectif de cet exposé est de présenter un « graphon Brownien » qui est la limite d'une famille de graphes aléatoires uniformes naturels : les cographes. (Basé sur des travaux avec Frédérique Bassino, Mathilde Bouvel, Valentin Féray, Mickaël Maazoun, Adeline Pierrot.)
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Laure Marêché
Une marche aléatoire auto-répulsive
18 avril 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé, on s'intéressera à une marche aléatoire non markovienne, telle que la probabilité que la marche aille en un point donné est plus faible si elle est déjà passée souvent le long de l'arête entre la position initiale et la cible ; on dit que la marche est auto-répulsive. Les modèles de ce type les plus étudiés sont ceux dans lesquels les arêtes sont non orientées. Cependant, en 2008 Tóth et Vető ont introduit une telle marche aléatoire auto-répulsive avec des arêtes orientées, et découvert des propriétés très différentes de celles des modèles avec arêtes non orientées. Malgré l'intérêt d'un tel comportement, très peu de résultats ont été obtenus depuis sur ce modèle. On présentera de nouveaux théorèmes limites pour cette marche aléatoire.
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Valentin Rapenne
Marches aléatoires branchantes spatiales et processus ponctuels invariants
2 mai 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Les marches aléatoires branchantes constituent une généralisation des marches aléatoires standards au sens où elles peuvent se diviser à chaque instant? Dans cet exposé, nous étudierons des marches aléatoires branchantes spatiales ce qui signifie que les marches aléatoires branchantes évolueront dans R^d ou Z^d. De plus, nous nous concentrerons sur un cas particulier où le branchement est "critique". Une conséquence de cette hypothèse est que la marche aléatoire branchante va mourir presque sûrement. Afin d'éviter la mort du processus, on a deux solutions: on peut le conditionner à survivre ou bien considérer une infinité de copies i.i.d du processus. Nous verrons que ces deux méthodes de survie sont liées. Afin de considérer une infinité de marches aléatoires branchantes, on peut, par exemple, considérer un processus ponctuel de Poisson et attacher une marche aléatoire branchante spatiale indépendamment à chaque particule du processus ponctuel. Cela nous donne une suite de processus ponctuels qui semble assez mystérieuse à première vue. Est-ce que cette suite converge vers un processus ponctuel invariant? Peut-on caractériser l'ensemble des processus ponctuels invariants? Est-ce que cela dépend de la dimension d? Dans cet exposé, nous apporterons des réponses partielles à ces questions. -
Adam Arras
Stabilité du spectre absolument continu pour les arbres de Galton-Watson.
16 mai 2023 - 10:45Salle de conférences IRMA
Résumé: La décomposition de Lebesgue du spectre d’un opérateur auto-adjoint est une notion importante. En mécanique quantique, cette décomposition régit le comportement en temps long du système via une généralisation du lemme de Riemann-Lebesgue. Nous étudierons le cas des arbres de Galton-Watson surcritiques, qui apparaissent par exemple comme limite locale du modèle d’Erdős–Rényi. On montrera un critère quantitatif sur la variance relative de la loi de reproduction, assurant la présence de spectre absolument continue. Travail commun avec Charles Bordenave (arXiv:2105.10177) -
Irene Marcovici
Automates cellulaires et phénomènes d'auto-organisation
30 mai 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Les automates cellulaires sont des systèmes dynamiques pour lesquels le temps et l'espace sont discrets. Ils permettent de modéliser l'évolution d'un ensemble de composantes interagissant entre elles de manière locale : au cours du temps, chacune actualise son état en fonction de ce qu'elle perçoit de son voisinage. En étudiant certains automates cellulaires, on peut observer des phénomènes d'auto-organisation : à partir d'un état initial désordonné, les mises à jour successives des cellules par la règle locale conduisent à l'apparition d'une structure macroscopique. À l'inverse, si l'on souhaite parvenir à un certain comportement global, on peut chercher à concevoir une règle locale permettant de l'atteindre de manière décentralisée. J'exposerai différents problèmes de ce type (obtention de consensus, synchronisation, correction d'erreurs, diagnostic de défaillances dans un réseau...), en étudiant l'influence que peut avoir l'introduction d'aléa dans les dynamiques. La présentation reposera sur différents travaux effectués en collaboration avec Nazim Fatès, Régine Marchand, Mathieu Sablik et Siamak Taati.
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Thibaut Lemoine
Méthodes de Monte Carlo sur des variétés complexes via les processus déterminantaux
26 septembre 2023 - 10:45Salle de séminaires IRMA
Les processus déterminantaux sont des processus ponctuels répulsifs que l'on retrouve traditionnellement en matrices aléatoires, et dans certains modèles de physique quantique ou de physique statistique. Récemment, Bardenet & Hardy ont montré que ces processus sont permettent un échantillonnage efficace pour des méthodes de Monte Carlo sur le cube unité de R^d. Je vais présenter dans cet exposé une généralisation de cette théorie à des variétés complexes, en utilisant des processus dont le noyau déterminantal est le noyau de Bergman. Travail en collaboration avec Rémi Bardenet.