Séminaire Sem in
organisé par l'équipe Géométrie
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Hubert Rubenthaler
Les fonctions zeta locales: de la thèse de Tate aux espaces symétriques
6 février 2025 - 09:00Salle de séminaires IRMA
La fonction zeta locale la plus élémentaire est la fonction $s\longmapsto \frac{1}{1-p^{-s}}$ où $s\in\mathbb{C}$ et où $p$ est un nombre premier. On reconnaît évidemment là les facteurs qui apparaissent dans l'expresssion de la fonction $\zeta $ de Riemann en produit infini. Dans sa thèse (1950) John Tate a généralisé cette fonction en une ``fonction zeta locale" qui est une distribution sur le corps des nombres p-adiques $\mathbb{Q}_{p}$ (ou $\R$) d\'ependant d'un paramètre complexe $s$ et d'un caractère de $\mathbb{Q}_{p}^*$ ($\R^*$). Cette fonction zeta vérifie une équation fonctionnelle qui traduit une relation surprenante entre transformée de Fourier additive (sur $\mathbb{Q}_{p}$) et multiplicative (sur $\mathbb{Q}_{p}^*$). Par la suite, dans un exposé au séminaire Bourbaki en 1966, André Weil a re-interprété l'équation fonctionnelle de Tate en terme d'unicité de distributions homogènes et suggéra une généralisation de la situation ($\mathbb{Q}_{p}^*=GL_{1}(\mathbb{Q}_{p}), \mathbb{Q}_{p}$) (cas de Tate) à ($GL_{n}(\mathbb{Q}_{p}),M_{n}(\mathbb{Q}_{p})$) Cette généralisation a été obtenue, dans un cadre plus large que ne le suggérait Weil, par Godement et Jacquet, en 1972. En faisant intervenir la théorie des espaces préhomogènes, Pascale Harinck et moi-même avons étendu (partiellement) les résultats de Godement et Jacquet à certains espaces symétriques (i.e $\Omega=G/H$ où $G$ est un groupe réductif et $H$ les points fixes d'une involution). Note: Aucun pré-requis concernant les corps p-adiques n'est nécessaire. -
Pierre-Louis Blayac
Approximations diophantiennes et excursions dans les pointes d'une variété hyperbolique
13 février 2025 - 09:00Salle de séminaires IRMA
Certains résultats de dynamique sur les groupes de Lie semisimples et l'action de leurs sous-groupes, par exemple sur le flot géodésique des variétés hyperboliques, ont des conséquences étonnantes en arithmétiques, par l'intermédiaire des réseaux arithmétiques, tels que SL(2,Z) dans SL(2,R).
Par exemple, je propose de voir ensemble comment Sullivan a obtenu en 1983 une généralisation du théorème d'approximation diophantienne de Khintchine en étudiant les excursions des géodésiques dans les pointes de variétés hyperboliques de volume fini. -
Kenza Memlouk
La conjecture de Kontsevich-Zagier
6 mars 2025 - 09:00Salle de séminaires IRMA
Les périodes sont des nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire s'écrivent comme des intégrales de fonctions rationnelles à coefficients rationnels sur des ensembles semi-algébriques. Un ensemble est semi-algébrique s'il est défini par des inégalités de polynômes à coefficients rationnels. Historiquement, ces nombres sont apparus dans le calcul intégral, par exemple pour étudier les intégrales elliptiques. Aujourd'hui ce sont avant tout des objets arithmétiques. Je présenterai cette classe de nombres complexes qui contient les nombres algébriques. Nous verrons que les périodes forment un anneau. L'objectif de cette présentation est d'énoncer la conjecture de Kontsevich-Zagier qui prédit que toutes les relations algébriques entre ces périodes sont "simples" en un certain sens (typiquement liées aux formules de calcul intégral, comme Stokes). Nous essaierons d'illustrer par des exemples cette conjecture, dont la preuve est aujourd'hui considérée hors de portée. -
Arnaud Maret
Bouleversement dans l'ordre des entiers naturels
13 mars 2025 - 09:00A confirmer
Qui serait assez saugrenu pour prétendre que 3 est le plus grand entier naturel ? Ou que 2025 est plus grand que 2026 ? Certainement un dynamiciste de l'intervalle. Pour comprendre la signification de ce nouvel ordre sur les entiers naturels, il faut étudier les travaux du mathématicien ukrainien Oleksandr Sharkovsky sur les orbites finies des transformations continues de l'intervalle. Je présenterai ce résultat soixantenaire et j'évoquerai quelques (tentatives de) généralisations. Cet exposé sera aussi l'occasion de parler de chaos en dynamique. -
Marco Artusa
Au delà des ouverts : le concept de topos
27 mars 2025 - 09:00Salle de séminaires IRMA
En analyse complexe, les problèmes de Cousin concernent l’existence de fonctions méromorphes sur une variété, à partir de données locales définies sur des ouverts qui la recouvrent. Ceci est un exemple typique d’un problème qui apparaît souvent en géométrie algébrique : le passage du local au global. On va présenter un langage commun pour traiter ces problèmes, applicable aussi bien en analyse complexe qu’en géométrie algébrique. Pour cela, il faudra généraliser la notion de « local » et l’étendre au delà de celle d’ouvert: les ouvert d’une variété algébrique sont trop grands ! L’idée profonde qui sous-tend cet exposé est le remplacement de la notion d’espace topologique par celle de topos. -
Joubine Aghili
Introduction aux méthodes Hybrid High-Order : Théorie, Applications et Implémentation
3 avril 2025 - 09:00Salle de séminaires IRMA
Les méthodes Hybrid High-Order (HHO) [Di Pietro et al.], constituent un cadre numérique à la fois flexible et robuste pour la résolution de problèmes aux dérivées partielles. Ce séminaire propose une introduction accessible à ces méthodes, en mettant l’accent sur leurs fondements théoriques — consistance, stabilité et convergence — illustrés par le problème de Poisson (-Δu = f) sur un domaine simple comme le carré. Nous étendrons ensuite l’analyse au cas du transport-réaction, en considérant par exemple le problème d’Oseen. Les connexions avec d’autres méthodes numériques seront également abordées, en comparant HHO aux éléments finis classiques et aux méthodes discontinues de Galerkin (dG), tout en esquissant, si le temps le permet, des liens avec des approches plus récentes telles que les méthodes hybrides de Galerkin discontinu (HDG) et les méthodes d’éléments virtuels (VEM). Enfin, nous discuterons des aspects pratiques d’implémentation, en particulier l’exploitation du calcul parallèle, pour mettre en lumière les atouts de HHO dans des contextes computationnels plus exigeants. -
Léa Bittmann
Frises d'entiers de Conway-Coxeter
15 mai 2025 - 09:00Salle de séminaires IRMA
Les frises d'entier, introduites par Conway dans les années 70, sont des arrangements de nombres vérifiant une condition locale de type SL_2 : pour quatre éléments a, b, c, d disposés en losange, on a ad-bc=1. Conway et Coxeter ont pu montré que cette règle combinatoire simple permet de déduire des résultats surprenants de positivité, d'entièreté et de périodicité. Depuis, ces résultats ont été interprétés grâce à la théorie des algèbres amassées, et des liens ont été trouvés avec la théorie des représentations, la géométrie et la combinatoire. Dans cette exposé, je présenterai les premières propriétés des frises d'entiers, et surtout leurs interprétations graphiques grâce aux triangulations de surfaces.