Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Bowditch, suivi de Tan-Wong-Zhang, a introduit en 1998 une classe de représentations du groupe fondamental du tore percé dans PSL(2,C). En utilisant les relations de traces dans PSL(2,C) et les triplets de Markoff, ils donnent une condition sur une représentation qui garantit que les longueurs de translation des images des courbes simples croissent linéairement en la longueur de mot. Dans cet exposé, j’expliquerai comment définir et étudier une généralisation de ces conditions dans le contexte des espaces hyperboliques au sens de Gromov, où il n’y a pas de relations de traces, et donnerai plusieurs caractérisations de cet ensemble. J’expliquerai comment cette étude permet de décrire la dynamique du groupe modulaire sur l’espace des représentations de Bowditch.

Résumé : We are interested in the behavior of horocycles in the unit tangent bundles to hyperbolic surfaces with infinite topology. The simplest examples of these geometrically infinite surfaces are those with a cocompact abelian symmetry group. I will explain some connections between the large scale geometry of such a cover by way of the “(co)-stable norm” on the deck group, the geometry of certain optimal Lipschitz maps, and fine features of horocycle orbit closures. This is based on joint work (in process) with Or Landesberg and Yair Minsky.

Résumé : Over the past decade, the study of the asymptotic growth of volumes has yielded numerous results on the length spectrum and on the spectrum of the Laplacian of typical high-genus surfaces. A more precise understanding of the expansion of the volumes allows us to figure out what happens to the counting functions of closed geodesics of length less than L at the threshold square-root of g.