Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d'un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini- Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Résumé : Dans cet exposé je vais donner une vision d'ensemble de mes travaux en théorie géométrique des représentations. En commençant par rappeler la notion d'algèbre de Hall cohomologique et sa relevance dans l'étude de la géométrie des espaces de modules de faisceaux, je vais ensuite expliquer comment un approche uniforme à la construction à l'aide de la géométrie dérivée à amené à une compréhension plus profonde de sa structure. Je conclurai en esquissant deux travaux en cours de rédaction ; dans le premier, en collaboration avec E. D. Diaconescu, F. Sala, O. Schiffmann et E. Vasserot nous utilisons l'algèbre de Hall des faisceaux cohérents nilpotents pour donner une nouvelle réalisation des groupes quantiques de type ADE affines ; et dans un deuxième, en collaboration avec L. Hennecart, F. Sala et O. Schiffmann, nous étudions la variation d'algèbres de Hall de type Higgs d'une courbe sur M_{g,n}, avec le but de démontrer une conjecture de positivité forte du polynôme de Kac-Schiffmann.

Résumé : Toute image numérique est inévitablement bruitée en raison du processus acquisition ou de transmission. Pour des applications où la précision est cruciale -par exemple pour établir un diagnostique médical basé sur l’imagerie par rayons X- ce bruit complique le traitement et l’analyse des images. Cet exposé porte sur un modèle de débruitage d’images et un algorithme associé reposant sur des notions de dualité (Chambolle, 2004). L’idée du modèle est d’extraire l’information pertinente en minimisant une fonctionnelle construite de façon à filtrer le bruit tout en préservant au mieux la netteté des contours de l’image sous-jacente. Après une introduction à la modélisation des images, la discussion s’articulera autour de trois concepts fondamentaux : la variation totale d’une image ainsi que la conjuguée convexe et les sous-gradients d’une fonctionnelle. L’objectif est de motiver ces notions et expliquer comment elles peuvent parfois offrir un point de vue fructueux sur un problème d’optimisation.