Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : I will explain how to fill the full volume of any compact connected symplectic 4-manifold with smooth boundary with a single symplectic ellipsoid. This can be seen as a strong version of Biran’s famous packing stability theorem and has interesting consequences concerning the subleading asymptotics of various symplectic Weyl laws. The embedding construction draws inspiration from Thurston’s work on foliations and relies on a smooth perfectness result refining Banyaga’s classical theorem on the perfectness of Hamiltonian diffeomorphism groups. I will also explain some progress towards pinpointing the exact transition point between packing stability and failure thereof for domains with rough boundary and mention some open questions.

Résumé : Résumé : Travail en commun avec Christophe Reutenauer (UQAM). Il y a quelques années nous avions calculé le nombre d'idéaux de codimension finie $n$ de l’algèbre des polynômes de Laurent à deux variables sur un corps fini. Ce nombre s’exprime à l’aide d’un polynôme $P_n(X)$ de degré $n-1$ prenant une valeur entière $P_n(N)$ pour chaque entier $N$. Nous montrons que la suite d’entiers $(P_n(N))_{n\geq 1}$ est proche d’une autre suite d’entiers $(E_n(N))_{n\geq 1}$ qui, elle, s’exprime simplement à l’aide de polynômes de Tchebychev de première espèce. La différence entre $P_n(N)$ et $E_n(N)$ est fonction du nombre de diviseurs impairs de $n$. Lors que ce nombre est égal à $1$, c’est-à-dire lorsque $n$ est une puissance de $2$, on a $P_n(N) = E_n(N)$, et seulement dans ce cas.

Résumé : Hall algebras play a central role in realizing quantum groups, and their cohomological and K-theoretic versions provide similar constructions. In this talk, we discuss the case of the 0-affine quantum group introduced by Arkhipov–Mazin and its relation with K-theoretic Hall algebras. We then discuss categorical actions of these algebras and explain how such actions naturally lead to semiorthogonal decompositions. Finally, I will mention some related works and possible future directions.

Résumé : To every algebraic vector bundle one can associate a series of algebraic invariants: its Chern classes. In general, all vector bundles on an algebraic variety X are a very rich invariant of X. In particular, Chern classes do not contain full information about vector bundles. However, if X is a smooth affine surface or threefold over an algebraically closed field, then it is known that Chern classes in fact do fully encode vector bundles on X. But what if X is singular? That we shall see. (This is joint work with Jean Fasel)

Résumé : Parmi les structures algébriques, la notion de groupe cyclique occupe une place de choix, tant par sa simplicité que par son omniprésence à travers le paysage mathématique. Une telle position en fait un fil conducteur idéal pour évoluer à travers une quantité croissante d’abstraction et de théorie. Après un bref rappel de la notion de groupe cyclique, on regardera l’exemple naturel des représentations de groupes, c’est-à-dire des groupes comme sous-groupes d’automorphismes d’un objet mathématique quelconque. Dès lors muni d’un prétexte pour étudier de nouveaux objets mathématiques, nous regarderons une version catégorifiée d’une représentation d’un groupe cyclique.