Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : The connection between music and number theory is ancient, but it continues to hold mysteries. Gene Ward Smith (1947–2021), an American mathematician who worked in the areas of Galois theory and Moonshine theory, and as well music theorist and composer, discovered a surprising fact that is still not completely understood. Large peaks in the absolute value of the Riemann zeta function on the line Re(z) = 1/2 correspond to good equal-tempered tuning systems! I will try to explain this, pointing out some issues that still need more work. More information on the mathematics of Tuning Systems at: https://johncarlosbaez.wordpress.com/2025/12/26/the-mathematics-of-tuning-systems/

Résumé : Cette thèse de doctorat en VAE (validation des acquis de l'expérience) développe des cadres catégoriels pour la formalisation des réseaux musicaux transformationnels en théorie musicale, et aborde les aspects computationnels pertinents pour leur mise en œuvre en informatique musicale.
Le paradigme transformationnel en théorie musicale est à la base du travail présenté dans cette thèse. Cette approche, introduite par David Lewin, met l’accent sur les relations entre objets musicaux plutôt que sur les propriétés intrinsèques de ces objets eux-mêmes.
Dans cette perspective, des éléments musicaux tels que les classes de hauteur, les accords, les durées et les structures rythmiques ne sont pas analysés principalement comme des entités isolées, mais selon la manière dont ils se rapportent les uns aux autres via des transformations issues de structures algébriques telles que les groupes et les semi-groupes. Les réseaux musicaux transformationnels, et les réseaux de Klumpenhouwer (K-Nets), sont des objets analytiques importants en théorie transformationnelle. Introduits à l’origine par Lewin, ces réseaux sont informellement décrits comme des graphes orientés dont les nœuds ou sommets représentent des éléments musicaux (classes de hauteur dans les K-Nets) et dont les flèches représentent des relations transformationnelles telles que des transpositions ou des inversions issues du groupe T/I des transpositions et inversions (isomorphe au groupe diédral d’ordre 24). Ces réseaux permettent aux analystes de visualiser et de comparer des structures partageant des schémas transformationnels communs, même lorsque leur matériau sonore semble très différent — un outil particulièrement puissant pour l’analyse de la musique post-tonale.
Les travaux existants sur les réseaux transformationnels montrent cependant une absence de définition pleinement formelle et générale, les comparaisons entre différents contextes pouvant poser problème en raison de variations dans l’usage et l’interprétation. L'argument principal de cette thèse est de montrer que le formalisme de la théorie des catégories est naturellement adapté à la définition mathématique des réseaux transformationnels. Nous développons cet argument au travers de trois axes :
- la théorie des PK-Nets, une généralisation catégorielle des réseaux transformationnels classiques au travers d’une construction catégorielle diagrammatique, qui permet d’encoder non
seulement les nœuds et les flèches sous-jacents, mais également les morphismes formels entre réseaux.
- l'étude des extensions de cette approche par la généralisation de cette construction diagrammatique. Par exemple, en utilisant la catégorie Rel (ou Rel(Q) avec Q une quantale) plutôt que Sets, nous pouvons étendre la théorie transformationnelle à l'utilisation de relations binaires entre éléments musicaux.
- l'exploration de cadres computationnels pour les réseaux transformationnels et relationnels. Nous présentons des algorithmes pour représenter et manipuler ces réseaux en Python, ainsi que le calcul de morphismes de réseaux. De nouvelles formalisations théoriques
sont également introduites, avec pour objectif principal une mise en œuvre informatique facilitée.

Les différents formalismes introduits dans cette thèse sont comparés et des perspectives — mathématiques, computationnelles et musicologiques — sont proposées pour de futures recherches.

Résumé : Résumé : Un des points de départ de la géométrie arithmétique d'aujourd'hui est le théorème de finitude de Mordell--Weil concernant les points rationnels des variétés abéliennes au-dessus d'un corps de nombres de degré fini. En particulier, ces variétés n'ont qu'un nombre fini de points rationnels d'ordre fini. Dans l'exposé j'expliquerai comment cet énoncé de finitude se généralise à certains groupes de cohomologie de torsion et, plus remarquablement, à certains corps de nombres de degré infini.

Résumé : We present a compact scheme whose core concept involves decomposing it into two subsystems of equations. The Physical Equations utilise the function and its K derivatives at a node by implementing physical relations. These equations operate locally, with no exchange of information with other nodes,as the physics involved are governed by local operators. The Structural Equations depend on linear relationships between the function and its derivatives across a stencil of R points, which we call a R-block, establishing complete connections between a node and its neighbours. These relationships are independent of the physics involved since they are established regardless of the specific problem. In this presentation we address in particular the accuracy and stability of these methods. Based on joint work with S. Clain, G. J. Machado and Ricardo Costa

Résumé : The number of homomorphisms from a graph G to graphs G_q indexed by a positive integer q defines an invariant of G in the parameter q. We shall take G_q to be a Cayley graph on an Abelian group. (For the cognoscenti: because we are then effectively counting tensions and can then define a dual invariant counting the corresponding flows.) Of particular interest have been those sequences for which a polynomial in q results, not least because you can evaluate a polynomial invariant in q at values of q that are not positive integers and sometimes make sense of what this invariant says about G. The classical case is where (G_q) is the sequence of complete graphs on q vertices, for which we obtain the chromatic polynomial of G, and if for instance I evaluate the chromatic polynomial at q = -1, then I get the number of acyclic orientations of G. In this talk I will try to explain why we might wish to cast our net further out and seek those sequences (G_q) for which the homomorphism counts from G have a rational generating function (which includes the case where the counts are polynomial in q). To help do so, I will use two examples, the first where the Abelian group on which G_q is defined is cyclic order q, and the second where the Abelian group is a q-fold direct sum of the group of order 2. Joint work with Delia Garijo (Univ. Seville) and Anna de Mier (UPC Barcelona)

Résumé : The Mordell-Weil group of abelian varieties over complex function fields can be studied using techniques from differential geometry and algebraic topology. Specifically, each rational point corresponds to an algebraic section of the associated abelian scheme. While such sections admit local logarithms, the obstruction to the existence of a global logarithm is encoded in a lattice known as the relative monodromy of the section. Intriguingly, this object appears to be deeply linked to the arithmetic properties of the section itself. For example, under certain hypotheses, the non-triviality of the relative monodromy is equivalent to the section being non-torsion. Furthermore, it is conjectured that the rank of the relative monodromy relates to the dimension of the minimal abelian subscheme containing the section’s image. In this talk, I will present partial results toward this conjecture, along with applications to transcendence problems. This is joint work with F. Tropeano (Università Roma Tre), extending earlier work of Corvaja and Zannier in the setting of elliptic surfaces.