Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Un ensemble à 6 éléments est dans un sens (équivalence de catégories) la même chose qu’un espace vectoriel symplectique de dimension 4 sur ${\bb F}_2$. Dans l’exposé je construirai explicitement cette équivalence et les correspondances qu’elle induit entre objets `géométriques’ d’un côté (sous-ensembles, dyades et synthèmes de Sylvester, l’ensemble dual de Sylvester) et objets de la géométrie symplectique de l’autre (formes quadratiques, Lagrangiens, foliations Lagrangiennes, indice de Maslov/Kashiwara). Je rappellerai les définitions de tous ces objets lors de l’exposé.

Résumé : Le groupoïde de Malgrange est une des généralisations aux équations différentielles non-linéaires du groupe de Galois. Introduite il y a une vingtaine d’années, sa théorie a bien été développée mais son calcul reste hors de portée en général. Dans ce projet, commun avec Guy Casale et Primitivo Acosta-Humanez, nous utilisons un résultat majeur de Casale, dans la suite des travaux de Morales et Ramis : lorsque l’on linéarise une équation différentielle le long d’une solution algébrique, les groupes de Galois des équations linéarisées peuvent se voir comme sous-objets du groupe de Malgrange. Celà nous a permis de donner un critère effectif sur la dimension de ces groupes de Galois différentiels pour déterminer les groupoïdes de Malgrange des équations de Painlevé admettant une solution algébrique. L’exposé s’appuiera sur des exemples où l’on peut dérouler toute la démarche et voir la plupart des calculs “à la main”.

Résumé : We exhibit examples of slope-stable and modular vector bundles on a hyperkähler manifold of K3^[2]-type. These are obtained by performing standard linear algebra constructions on the examples studied by O’Grady of (rigid) modular bundles on the Fano varieties of lines of a general cubic 4-fold and the Debarre-Voisin hyperkähler. Interestingly enough, these constructions are almost never infinitesimally rigid, and more precisely we show how to get (infinitely many) 20 and 40 dimensional families. This is a joint work with Claudio Onorati. Time permitting, I will also present a joint work with Alessandro D'Andrea and Claudio Onorati on a connection between discriminants of vector bundles on smooth and projective varieties and representation theory of GL(n).

Résumé : Hamiltonian mechanics on symplectic manifolds can be seen as a general setting for physical problems in classical mechanics. The goal of this talk is to present this setting and show how Floer homology appears as a natural construction to answer dynamical questions. If the time allows it, we will present an application of this general theory to the research of periodic trajectories on a given energy level.

Résumé : J’expliquerai pourquoi une marche aléatoire sur un espace homogène simple s’équidistribue vers la mesure de Haar avec une vitesse explicite, à condition que la marche ne soit pas piégée dans un ensemble invariant fini et que la loi qui la dirige soit Zariski-dense et à coefficients algébriques. L’argument repose sur un théorème de multislicing qui étend le théorème de projection de Bourgain et présente un intérêt indépendant. Travail commun avec Weikun He.