Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : This paper develops a general approach for deep learning for a setting that includes nonparametric regression and classification. We perform a framework from a data that fulfills a generalized Bernstein-type inequality, including, independent, ϕ-mixing, strongly mixing, C-mixing observations. Two estimators are proposed: a non-penalized deep neural network estimator (NPDNN) and a sparse-penalized deep neural network estimator (SPDNN). For each of these estimators, bounds of the expected excess risk on the class of Hölder smooth functions and composition Hölder functions are established. Applications to independent data, as well as to ϕ-mixing, strongly mixing, C-mixing processes are considered. For each of theses examples, the upper bounds of the expected excess risk of the proposed NPDNN and SPDNN predictors are derived. It is shown that, both the NPDNN and SPDNN estimators are minimax optimal (up to a logarithmic factor) in many classical settings.

Résumé : Dans un premier temps, je présenterai un cadre théorique général pour l’estimation non paramétrique de l’intensité d’événements aléatoires, à l’aide de noyaux dits associés, dont la forme s’adapte localement au point d’estimation. L’un des principaux atouts de ces noyaux est qu’ils permettent de corriger le biais bien connu des estimateurs à noyaux classiques près des bornes du support de la fonction à estimer. J’introduirai également une nouvelle inégalité de type oracle pour la sélection de la fenêtre de lissage. Dans un second temps, j’appliquerai ces résultats à un modèle de vieillissement en deux phases, à partir de données expérimentales sur la Drosophile, obtenues via le phénotype dit « Smurf ». Ce phénotype, qui mesure la perméabilité intestinale, est un indicateur important du vieillissement chez plusieurs espèces. Je montrerai enfin comment l’estimation des taux de transition et de mortalité à l’aide de noyaux associés permet d’apporter un éclairage nouveau sur les mécanismes biologiques sous-jacents au processus de vieillissement. Enfin, je présenterai une généralisation pour l’étude du vieillissement en populations naturelles, basée sur des dynamiques de populations individus-centrés, modélisées par des processus à valeur mesure. Travaux en cours avec L. Breuil, M.Doumic et M. Rera

Résumé : Le poumon constitue une interface d’échange essentielle entre l’air ambiant et le sang, jouant un rôle crucial dans l’oxygénation de ce dernier et l’élimination du dioxyde de carbone. Différentes modélisations mathématiques dans la littérature permettent d’étudier son fonctionnement, certaines faisant intervenir des équations aux dérivées partielles complexes. Une approche alternative consiste à considérer des modèles intégrant l’arbre bronchique dans son ensemble, ce qui constitue le point de vue adopté ici. Notre démarche repose sur l’hypothèse selon laquelle les échanges gazeux sont optimisés pour maximiser l’efficacité du poumon, en accord avec des principes tels que la théorie de l’évolution. Nous cherchons ainsi à retrouver les caractéristiques du cycle respiratoire en formulant un problème d’optimisation (modélisation inverse). Afin d’explorer cette hypothèse et d’évaluer ce principe d'optimalité, nous proposons un modèle basé sur des équations différentielles ordinaires décrivant l’évolution de la concentration de dioxygène dans le poumon et son transport. Dans ce cadre, nous introduisons, analysons et étudions un problème de contrôle optimal visant à caractériser les dynamiques du cycle respiratoire. ——— Travail en commun avec Zakaria BELHACHMI (Univ. Haute-Alsace), Benjamin MAUROY (Univ. Côte d’Azur), Yannick PRIVAT (Univ. Lorraine) et Jean-François SCHEID (Univ. Lorraine).

Résumé : Résumé : Border bases are a generalization of Gröbner bases for zero-dimensional ideals in polynomial rings. In recent work with Carlos Rodriguez (https://arxiv.org/abs/2510.23411), we introduced border bases for a non-commutative ring of linear differential operators, namely the rational Weyl algebra. We elaborate on their properties and present algorithms to compute with them. We apply this theory to represent integrable connections as cyclic D-modules explicitly. As an application, we visit computations with linear PDEs behind integrals in theoretical physics. We also address the classification of particular D-ideals of a fixed holonomic rank, namely the case of linear PDEs with constant coefficients as well as Frobenius ideals. Our approach rests on the theory of Hilbert schemes of points in affine space.