Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : La détection et la localisation des modes d'une densité de probabilité (i.e., les points où la densité atteint un maximum local) constituent un problème classique de statistique non paramétrique. L’estimation du mode global, lorsqu’il est unique, en particulier pour les densités unimodales, a longtemps concentré l’attention, conduisant à la fois à la conception d’algorithmes efficaces et à une caractérisation précise des vitesses minimax sous différentes hypothèses sur la densité sous-jacente. Le problème plus général de l’estimation de l’ensemble des modes est plus difficile. Plusieurs approches ont été proposées, notamment les méthodes de type mean-shift, qui donnent des résultats satisfaisants en pratique, mais dont les performances restent peu comprises théoriquement. Dans cette présentation, nous proposerons une alternative fondée sur un outil central de l’analyse topologique des données (TDA) : l’homologie persistante et sa représentation pratique via les diagrammes de persistance. Nous présenterons plusieurs résultats sur la consistance de cette approche, pour de larges classes de densités pouvant admettre des discontinuités (y compris en les modes) ainsi que son optimalité au sens minimax. Au-delà de l’estimation des modes, nous discuterons également du problème de l’estimation des diagrammes de persistance pour de telles densités.

Résumé : String topology studies algebraic structures arising from the interactions of loops and paths on a geometric space. The subject originated in 1999 with work of Chas and Sullivan who discovered that classical Poincaré duality and intersection theory has a rich manifestation on the homology of the free loop space, recovering structures also appearing in mathematical physics such as BV-algebras, TQFTs, and Lie bialgebras. This insight emerged from the broader question: what characterizes the algebraic topology of manifolds? Since then, string topology has developed into a vibrant area, revealing a wealth of new operations describing string interactions, with deep connections to knot theory, symplectic geometry, homotopy theory, homological algebra, and mathematical physics. In this talk, I will survey some developments from the past decade regarding new understanding of the structure and computations in string topology as well as their significance in other fields of mathematics, with focus on operations that capture geometric information beyond the oriented homotopy type of the underlying manifold.

Résumé : The recent development of Machine Learning (ML) and Deep Learning methods, coupled with recent advances in GPU-based computing defined new promising techniques for the numerical resolution of PDEs entirely solved with ML, as well as tuning existing algorithms for learning corrections or discretizations. In this work, we combine finite volume numerical schemes and neural networks to learn the discretization of the spatial derivatives of partial differential equations (PDEs) in order to better resolve the small spatial scales. We use approximate solutions of the 1D and 2D Euler equations obtained on a finer grid for the reference database in order to learn an optimal spatial discretization on a coarse grid, even with discontinuities in the solution. We post-process the outputs of the neural network to propose an interpretable, entropy consistent subgrid-model with super-resolution capabilities within a second-order finite volume solver without violating physical constraints.

Résumé : Dans les années 90 sont apparues deux algèbres de Hopf définies en termes de battage : l'algèbre de Hopf de Malvenuto-Reutenauer sur les permutations et l'algèbres de Hopf de Loday-Ronco sur les arbres binaires. Ces deux familles combinatoires étiquètent les sommets de deux polytopes : le permutoèdre et l'associaèdre. L'extension des produits de battage aux faces de ces polytopes, encodées par les surjections et les arbres plans respectivement est alors une question très naturelle à laquelle Burgunder et Ronco et Loday et Ronco, respectivement, ont répondu. Les permutoèdres et les associaèdres sont deux exemples de familles d'une classe plus grande de polytopes appelés nestoèdres introduite par Postnikov dans les années 2000. Ces polytopes disposent d'une description combinatoire de leurs faces qui permet de les munir d'un produit combinatoire associatif (et même tridendriforme) [D.O.-Curien-Obradovic 2025]. Orthogonalement au point de vue des algèbres figure celui des posets, ou ensembles partiellement ordonnés. Si l'on se restreint aux sommets et arêtes des permutoèdres et des associaèdres (1-squelette), les graphes obtenus sont les diagrammes de Hasse de deux posets classiques en combinatoire : l'ordre de Bruhat faible et l'ordre de Tamari. Carr et Devadoss ont défini un ordre sur les sommets de certain nestoèdres (associaèdres de graphes), étendu par Barnard et McConville aux faces de ces polytopes. Dermenjian, Pilaud et Hohlweg ont par ailleurs proposé un autre ordre sur les faces de certaines généralisations de permutoèdres, appelé ordre faible facial. Pierre-Louis Curien et Guillaume Laplante-Anfossi ont récemment proposé un ordre sur les faces des nestoèdres. Ces deux points de vue se rejoigne de manière surprenante : en 2002, Loday et Ronco ont montré que le produit de battage sur les arbres binaires s'écrit comme une somme sur les éléments d'un intervalle du treillis de Tamari. Il en est de même pour les permutations : le battage des permutations s'écrit comme une somme sur les éléments d'un intervalle de l'ordre de Bruhat faible. Dans un travail en cours avec Pierre-Louis Curien et Jovana Obradovic, nous relions le produit de Curien et Laplante-Anfossi à celui de Barnard et McConville et donnons les conditions qui permettent d'obtenir une formule reliant les éléments d'un intervalle pour cet ordre avec le produit de battage sur les faces de ces polytopes. Après une introduction accessible des deux points de vue, je présenterai nos avancées.

Résumé : Un ensemble à 6 éléments est dans un sens (équivalence de catégories) la même chose qu’un espace vectoriel symplectique de dimension 4 sur ${\bb F}_2$. Dans l’exposé je construirai explicitement cette équivalence et les correspondances qu’elle induit entre objets `géométriques’ d’un côté (sous-ensembles, dyades et synthèmes de Sylvester, l’ensemble dual de Sylvester) et objets de la géométrie symplectique de l’autre (formes quadratiques, Lagrangiens, foliations Lagrangiennes, indice de Maslov/Kashiwara). Je rappellerai les définitions de tous ces objets lors de l’exposé.

Résumé : Le groupoïde de Malgrange est une des généralisations aux équations différentielles non-linéaires du groupe de Galois. Introduite il y a une vingtaine d’années, sa théorie a bien été développée mais son calcul reste hors de portée en général. Dans ce projet, commun avec Guy Casale et Primitivo Acosta-Humanez, nous utilisons un résultat majeur de Casale, dans la suite des travaux de Morales et Ramis : lorsque l’on linéarise une équation différentielle le long d’une solution algébrique, les groupes de Galois des équations linéarisées peuvent se voir comme sous-objets du groupe de Malgrange. Celà nous a permis de donner un critère effectif sur la dimension de ces groupes de Galois différentiels pour déterminer les groupoïdes de Malgrange des équations de Painlevé admettant une solution algébrique. L’exposé s’appuiera sur des exemples où l’on peut dérouler toute la démarche et voir la plupart des calculs “à la main”.