Séminaire Analyse
organisé par l'équipe Analyse
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Guy David
Comptage des fonctions propres pour des équations de Schr"odinger
12 janvier 2021 - 11:00Web-séminaire
Je vais essayer de présenter un résultat récent (avec M. Filoche et S. Mayboroda) estimant la fonction de comptage des fonctions propres pour un opérateur $-\Delta + V$ (densité d'état). On pense naturellement à la formule de Weyl, mais les estimations obtenues sont valables sur tour le spectre. Certaines utilisent ce qu'on appelle la fonction paysage et son potentiel effectif, que j'essaierai aussi de décrire. On parlera aussi du cas particulier de potentiels aléatoires. https://webconf.math.cnrs.fr/b/dre-nm6-42q -
Colin Faverjon
Méthode de Mahler : transcendance, indépendance algébrique et conséquences sur le développement des nombres réels.
19 janvier 2021 - 11:00Web-séminaire
Le développement en base entière des nombres réels irrationnels est la source de beaucoup de mystère. On a par exemple l’intuition qu’il n’existe aucune manière simple de décrire le développement d’un nombre algébrique irrationnel donné. De même, on conjecture que si le développement d’un nombre réel irrationnel a une description simple dans une base donnée, son développement devrait être compliqué dans tout autre base multiplicativement indépendante. Algorithmiquement, on peut considérer qu’un nombre a un développement simple dans une base donnée si ce développement peut-être engendré par un automate fini. Les questions suivantes se posent alors : 1) Le développement en base entière d’un nombre algébrique irrationnel peut-il être engendré par un automate fini ? 2) Existe-il un nombre réel irrationnel dont les développements dans deux bases entières multiplicativement indépendantes sont engendrés par des automates finis ? En 1929, Mahler a développé une méthode permettant de démontrer la transcendance et l’indépendance algébrique de valeurs de fonctions vérifiant des équations aux différences, pour l’opérateur z→z^q, q ≥2 un entier. On qualifie aujourd’hui ces fonctions de q-mahlériennes. La méthode de Mahler et nos deux questions sont liées du fait que la série génératrice d'une suite engendrée par un automate fini est une fonction mahlérienne. Les résultats obtenus ces dernières années, concernant la nature arithmétique des valeurs de fonctions mahlériennes en un point algébrique, sont équivalents à ceux connus pour les E-fonctions. On sait notamment dire si une fonction mahlérienne prend une valeur algébrique ou transcendante en un point algébrique donné. Il existe également un analogue du théorème de Siegel-Shidlovskii pour les fonctions mahlériennes : le théorème de Nishioka. La méthode de Mahler a toutefois des spécificités : elle permet de travailler avec des fonctions de plusieurs variables et avec plusieurs opérateurs différents, simultanément. Dans ce cadre, les développements récents de la méthode permettent d’obtenir de puissants résultats d’indépendance algébrique. Dans cet exposé, nous présenterons la méthode de Mahler. Nous verrons les principaux résultats de transcendance et d’indépendance algébrique qu’elle permet d’obtenir. Nous étudierons enfin ses conséquences sur le développement des nombres réels, en répondant notamment aux deux questions initiales. -
Elba Garcia-Failde
Quantizing spectral curves via topological recursion
2 février 2021 - 11:00Web-séminaire
The topological recursion is a ubiquitous procedure that associates to some initial data called spectral curve, consisting of a Riemann surface and some extra data, a doubly indexed family of differentials on the curve, which often encode some enumerative geometric information, such as volumes of moduli spaces, intersection numbers and knot invariants. The quantum curve conjecture claims that one can associate to a spectral curve a differential equation, whose solution can be reconstructed by topological recursion applied to the original spectral curve. I will explain how starting just from loop equations, one can construct a system of PDEs which will annihilate the wave function built from topological recursion, solving the conjecture affirmatively for all generic algebraic curves. Certain deformation parameters, which give rise to families of spectral curves and can be defined as periods on the curves, will play a key role when producing our system of PDEs. Using this system we can prove that the WKB solution of many isomonodromic systems coincide with the topological recursion wave function. This is based on work with B. Eynard, in which we solved the hyperelliptic case, and work in progress also with N. Orantin and O. Marchal, in which we treat the generalization to spectral curves of arbitrary rank, but with simple ramifications. https://webconf.math.cnrs.fr/b/dre-nm6-42q -
Xavier Friederich
Solutions non-dispersives des équations de Korteweg-de Vries généralisées
9 février 2021 - 11:00Web-séminaire
Les équations de Korteweg-de Vries généralisées (gKdV) sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui ont la propriété remarquable d'admettre des solitons, mais également d'autres solutions particulières que l'on appelle multi-solitons et qui se comportent en temps long comme une somme de solitons. Ces objets sont des éléments "non-dispersifs", en un sens que nous préciserons. Notre propos est de caractériser de façon dynamique les multi-solitons des équations (gKdV) à l'aide de cette propriété de non-dispersion -
Guillaume Bal
Topological invariants for asymmetric transport
9 mars 2021 - 16:00Web-séminaire
Several asymmetric transport phenomena observed in materials science, superconductors, and geophysical fluid flows at an interface between two insulating phases, can be given a topological origin. This asymmetry is characterized by a physical observable, which takes quantized values given by a topological invariant, and hence is immune to continuous perturbations of the system. In this talk, we consider Hamiltonians modeled by systems of partial differential equations. We associate to them several invariants given by indices of Fredholm operators. We show how to relate them to the physical observable, to bulk properties of the insulating phases (bulk-interface correspondence encoding a topological charge conservation that does not always hold), and how to compute them explicitly. -
Mike Lipnowski
Towards optimal spectral gaps in large genus.
18 mars 2021 - 15:00Web-séminaire
Abstract: We prove that the Weil-Petersson probability that a random genus g surface has lambda_1 < 3/16-epsilon goes to 0 as g goes to infinity. Joint work with Alex Wright. ATTENTION JOUR ET HORAIRE EXCEPTIONNELS ! https://bbb.unistra.fr/b/nal-vq6-3ww -
Yoshinori Hashimoto
Expected centre of mass of the random Kodaira embedding
8 juin 2021 - 11:00Web-séminaire
Suppose that X is a smooth projective variety embedded in a projective space of dimension N-1 by the Kodaira embedding. We can displace the image of the Kodaira embedding by the linear action of GL(N), and to each displaced embedding we can associate a hermitian matrix called the centre of mass, which captures subtle yet interesting geometric properties of X. We prove that, with respect to an appropriate class of probability measures on GL(N), the expectation of the centre of mass is a constant multiple of the identity matrix for any embedded smooth projective variety. -
Ood Shabtai
Pairs of spectral projections of spin operators
15 juin 2021 - 11:00Web-séminaire
Abstract: We study the semiclassical behavior of an arbitrary bivariate polynomial, evaluated on certain spectral projections of spin operators, and contrast it with the behavior of the polynomial when evaluated on random pairs of projections. -
Michael Magee
Extension of Alon's and Friedman's conjectures to Schottky surfaces
22 juin 2021 - 11:00Salle de conférences IRMA
A famous conjecture of Alon stated that for fixed d, random d-regular graphs on a large number of vertices have almost optimal spectral gap between the two largest eigenvalues of the adjacency operator. Friedman proved this conjecture in 2008. Friedman also broadened the conjecture to random large-degree covering spaces of a fixed finite base graph. This more general conjecture was recently proved by Bordenave and Collins. We have proved an analog of these conjectures for random infinite area hyperbolic surfaces without cusps. The spectral theory here is interesting; we obtain almost optimal spectral gap results for objects called resonances that generalize eigenvalues of the Laplacian but can be much more subtle. I'll describe all this background in the talk and give some ideas of the proof. (This is joint work with F. Naud) Lien BBB : https://webconf.math.cnrs.fr/b/dre-nm6-42q -
Martin Vogel
Eigenvectors of non-selfadjoint Toeplitz with small random peturbations
14 octobre 2021 - 13:30Salle de séminaires IRMA
The spectral theory of non-selfadjoint operators is an old and highly developed subject. Yet it still poses many new challenges crucial for the understanding of modern problems such as scattering systems, open or damped quantum systems, the analysis of the stability of solutions to non-linear PDEs, and many more. The lack of powerful tools readily available for their selfadjoint counterparts, such a general spectral theorem or variational methods, makes the analysis of the spectra of non-selfadjoint operators a subtle and highly varied subject. One fundamental issue of non-selfadjoint operators is their intrinsic sensitivity to perturbations, indeed even small perturbations can change the spectrum dramatically. This spectral instability, also called pseudospectral effect, was initially considered a drawback as it can be at the origin of severe numerical errors. However, recent works in semiclassical analysis and random matrix theory have shown that this pseudospectral effect also leads to new and beautiful results concerning the spectral distribution and eigenvector localization of non-selfadjoint operators with small random perturbations. In this talk, I will discuss recent results and some fundamental techniques involved in the analysis. The talk is partly based on joint work with Anirban Basak, Johannes Sjöstrand and Ofer Zeitouni. -
Yohann Le Floch
Théorie spectrale inverse pour les systèmes semitoriques
4 novembre 2021 - 13:30Salle de séminaires IRMA
Je vais présenter un résultat obtenu récemment avec S. Vu Ngoc (Rennes 1): à partir du spectre d'un certain type de système intégrable quantique en dimension 4, on peut retrouver, constructivement, le système intégrable sous-jacent (à isomorphisme près). Mon but sera de définir tous ces termes et de donner une idée du résultat. En particulier, aucun prérequis ne sera nécessaire (si je fais bien mon travail). -
Benoît Estienne
Entanglement entropy and charge fluctuations in the Integer Quantum Hall effect : an overview
25 novembre 2021 - 13:30Salle de séminaires IRMA
Ideas coming from quantum information theory have provided invaluable insights and powerful tools for quantum many-body systems. One of the most basic tools in the arsenal of quantum information theory is entanglement entropy. A particularly striking phenomenon is the area law of the entanglement entropy, which has been widely discussed in recent years in condensed matter and quantum field theories. Typically, one considers a many-particle state and a partition of space in two sub-regions. The von Neumann entropy then measures the amount of entanglement between the two regions. The area law states that the leading semiclassical asymptotic of the entanglement entropy is proportional to the volume of the boundary of the sub-region. Subdominant corrections to the area law typically capture detailed information on the geometry around the entangling surface. I will present an overview of the results known for the entanglement entropy (as well as the charge fluctuations) in the integer quantum Hall effect. -
Sandro Franceschi
Nature algébrique de la distribution stationnaire d'un mouvement brownien réfléchi dans un cône et invariants de Tutte.
9 décembre 2021 - 13:30Salle de séminaires IRMA
Nous considérerons la distribution stationnaire du mouvement brownien réfléchi dans cône bidimensionnel. Nous étudierons alors la nature algébrique et différentielle de la transformée de Laplace de cette distribution stationnaire. Plus précisément on déterminera les conditions nécessaires et suffisantes pour que cette transformée de Laplace soit rationnelle, algébrique, différentiellement finie ou plus généralement différentiellement algébrique. Dans le cas différentiellement algébrique, nous irons plus loin en proposant une expression explicite, sans intégrale. Pour prouver ces résultats, nous partirons d'une équation fonctionnelle satisfaite par la transformée de Laplace, à laquelle nous appliquerons des outils d'horizons divers. Pour établir l'algébricité différentielle, un ingrédient clé sera la méthode des invariants de Tutte, qui trouve son origine dans la combinatoire énumérative. Elle permet d'exprimer la transformée de Laplace comme une fonction rationnelle d'un certain invariant canonique, une fonction hypergéométrique dans notre contexte. Pour établir la transcendance différentielle, nous transformerons l'équation fonctionnelle en une équation aux q-différences et appliquerons des résultats galoisiens sur la nature des solutions de telles équations. Travail conjoint avec Mireille Bousquet-Mélou, Andrew Elvey Price, Charlotte Hardouin et Kilian Raschel. -
Yacin Ameur
An explicit charge-charge correlation function at the edge of a two-dimensional Coulomb droplet.
16 décembre 2021 - 13:30Salle de séminaires IRMA
In this work we find and discuss an asymptotic formula, as $n\to\infty$, for the reproducing kernel $K_n(z,w)$ in spaces of full-plane weighted polynomials $W(z)=P(z)\cdot e^{-\frac 12nQ(z)},$ where $P(z)$ is a holomorphic polynomial of degree at most $n-1$ and $Q(z)$ is a fixed, real-valued function termed "external potential". The kernel $K_n$ corresponds precisely to the canonical correlation kernel in the theory of random normal matrices. As is well-known, the large $n$ behaviour of $K_n(z,w)$ must depend crucially on the position of the points $z$ and $w$ relative to the droplet $S$, i.e., the support of Frostman's equilibrium measure in external potential.