Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique
organisé par l'équipe Arithmétique et géométrie algébrique
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Marco Antusa
Dualité pour la cohomologie condensée du groupe de Weil d’un corps p-adique à coefficients dans les 1-motifs
9 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Les théorèmes de dualité font partie des énoncés centraux de la géométrie arithmétique. Pour les corps p-adiques, le premier exemple est la dualité de Tate pour la cohomologie galoisienne des variétés abéliennes. Pour généraliser ce résultat aux tores, on est obligés de modifier les groupes de cohomologie originaux. Cela met en évidence certains défauts de la cohomologie galoisienne, tels que l'absence d'une topologie naturelle sur les groupes de cohomologie. Dans cet exposé, on construit une nouvelle théorie cohomologique pour les corps p-adiques, grâce au groupe de Weil et aux Mathématiques Condensées. On obtient une théorie de cohomologie topologique, et on l’utilise pour étendre le résultat de Tate aux 1-motifs, en améliorant un théorème de Harari et Szamuely. Cette nouvelle dualité prend la forme d’une dualité de Pontryagin entre groupes abéliens localement compacts. -
Christopher Deninger
Dynamical systems for arithmetic schemes
16 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
For any arithmetic scheme X we construct a continuous time dynamical system whose periodic orbits come in compact packets that are in bijection with the closed points of X. All periodic orbits in a given packet have the same length equal to the logarithm of the order of the residue field of the corresponding closed point. For X = spec Z we get a dynamical system whose periodic orbits are related to the prime numbers. The construction uses new ringed spaces which are constructed from rational Witt vector rings. In the zero-dimensional case we recover a construction of Kucharczyk and Scholze who realized certain Galois groups as étale fundamental groups of ordinary topological spaces. A p-adic version of our construction turns out to be closely related to the Fargues-Fontaine curve of p-adic Hodge theory. -
Lyalya Guseva
Full exceptional collections on Isotropic Grassmannians
23 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
The bounded derived category of coherent sheaves D(X) is an important invariant of an algebraic variety X. While the structure of derived categories is generally quite intricate, in certain cases when D(X) admits a so-called full exceptional collection, D(X) can be described explicitly. Some of the earliest examples of full exceptional collections were constructed by Kapranov in 1983 for classical Grassmannians. Since then, a folklore conjecture says that full exceptional collections exist in the derived categories of all rational homogeneous varieties. In my talk I will outline the proof of this conjecture for all rational homogeneous varieties associated with symplectic groups. This is joint work with Sasha Novikov. -
Massimo Pippi
La formule de Deligne--Milnor
30 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soit X un schéma sur un trait S. Sous des hypothèses convenables, Spencer Bloch a conjecturé une formule (dite "formule du conducteur de Bloch") qui identifie la dimension totale de la cohomologie évanescente à l'aide des formes différentielles algébriques. Le cas où la fibre spéciale est lisse en dehors d'une singularité isolée avait apparu quelques ans avant dans une conjecture due à Pierre Deligne et qui est connue comme "formule de Deligne--Milnor". Dans cet exposé, je vais parler de la preuve de quelques nouveau cas (d'une généralisation) de la formule du conducteur de Bloch, y compris le cas d'une singularité isolée. Cet exposé se base sur un travail en collaboration avec Dario Beraldo. -
Adrien Morin
Cohomologie Weil-étale et la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa pour les faisceaux constructibles en caractéristique p
6 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soit X une variété sur un corps fini. Étant donné un ordre R dans une algèbre semi-simple sur les rationnels, par exemple l’algèbre de groupe d’un groupe fini ou un anneau d’entiers dans un corps de nombres, et un faisceau étale constructible F de R-modules sur X, on peut considérer une fonction L non-commutative naturellement associée à F. Dans cet exposé, je présenterai une formule de valeurs spéciales aux entiers négatifs pour cette fonction L, exprimée en termes de la cohomologie Weil-étale introduite par Lichtenbaum. Ce résultat est un analogue géométrique, et implique, la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa de Burns-Flach pour un motif d’Artin et ses twists négatifs sur un corps global de caractéristique p. La formule généralise aussi les résultats de Lichtenbaum et Geisser sur les valeurs spéciales aux entiers négatifs pour les fonctions zeta de variétés sur les corps finis, et les travaux de Burns-Kakde pour la fonction L non-commutative provenant d’un revêtement Galoisien de variétés sur un corps fini. -
Bianca Gouthier
Infinitesimal rational actions
13 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
For any finite k-group scheme G acting rationally on a k-variety X, if the action is generically free then the dimension of Lie (G) is upper bounded by the dimension of the variety. This inequality turns out to be also a sufficient condition for the existence of such actions, when k is a perfect field of positive characteristic and G is infinitesimal commutative trigonalizable. These group schemes are non-reduced and arise only in positive characteristic. After presenting the main objects involved and overviewing the motivation for this problem, we will explain the result in the case of actions of the p-torsion of a supersingular elliptic curve. -
Anthony Poëls
Sur la conjecture de Wirsing
27 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Dans son papier fondateur de 1961, Wirsing étudie comment on peut approcher un nombre réel transcendant ξ donné par des nombres algébriques α de degré au plus n, en terme de leur hauteur naïve H(α). Il montre que l'exposant ω_n*(ξ) mesurant cette qualité d'approximation est au moins égal à (n + 1)/2. Il remarque aussi que rien ne suggère que cette estimation soit optimale, et qu'on pourrait même avoir toujours ω_n*(ξ) ≥ n (cette inégalité étant une égalité presque partout au sens de la mesure de Lebesgue). Depuis ses travaux, toutes les améliorations de la borne inférieure de Wirsing étaient de la forme n/2 + O(1), jusqu'à ce que Badziahin et Schleischitz prouvent en 2021 que ω_n*(ξ) ≥ an pour tout n ≥ 4, où a = 1/√3 ≃ 0.577. Dans la première partie de cet exposé, nous nous attarderons sur cet historique et les idées derrière la preuve originelle de Wirsing. Si le temps le permet, nous présenterons une nouvelle approche permettant d'obtenir la borne ω_n*(ξ) ≥ an, où a = 1/(2 − log 2) ≃ 0.765. -
Baptiste Calmès
K-théorie hermitienne, progrès récents
6 mars 2025 - 11:00Salle de séminaires IRMA
(travail en commun avec E. Dotto, Y. Harpaz, F. Hebestreit, M. Land, K. Moi, D. Nardin, T. Nikolaus et W. Steimle)
La K-théorie hermitienne est à la classification des formes quadratiques ce que la K-théorie est à la classification des modules. Elle joue de plus un rôle particulier en théorie des motifs.
Une nouvelle définition de la K-théorie hermitienne dans le cadre des ∞-catégories stables a permis la résolution de conjectures de périodicité de Karoubi et Giffen, la solution du problème de la limite homotopique de Thomason, ainsi que le calcul des groupes de K-théorie hermitienne des entiers.
Je donnerai un aperçu de la souplesse de ce nouveau formalisme, et des méthodes employées dans ces travaux.
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Takumi Watanabe
On the (phi, Gamma)-modules Corresponding to Crystalline Representations and Semi-stable Representations
6 mars 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
From the 1980s to the 1990s, Jean-Marc Fontaine introduced the theory of (phi, Gamma)-modules to study p-adic Galois representations. They are simpler than p-adic Galois representations, but he showed an equivalence between them. Among p-adic Galois representations, some classes are particularly important in number theory. Main examples are crystalline representations, semi-stable representations and de Rham representations. In this talk, I will explain how we can determine the (phi, Gamma)-modules corresponding to crystalline representations and semi-stable representations. These results can be seen, in a sense, as generalizations of Wach modules. -
Clement Dupont
Petits disques et points-base tangentiels : une invitation à la géométrie logarithmique
13 mars 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
En topologie, certaines constructions semblent vouloir venir de morphismes en géométrie algébrique, si ces morphismes avaient le droit de prendre leurs valeurs « à l’infini ». C’est le cas par exemple de l’opérade des petits disques, dont les espaces topologiques sous-jacents ont le type d’homotopie des espaces de configuration de points dans la droite affine, mais dont les morphismes de structure ne sont pas algébriques en un sens évident. J’expliquerai comment résoudre ce problème en utilisant la géométrie logarithmique, réalisant alors la stratégie, due à Beilinson, d’une preuve « purement algébrique » de la formalité de l’opérade des petits disques. De manière peut-être surprenante, on a besoin d’une notion non standard de morphisme en géométrie logarithmique, appelée « morphisme virtuel » par Howell. Cette notion nous permet aussi de réaliser les « points-base tangentiels » de Deligne comme des points au sens catégorique. Il s’agit d’un travail en commun avec Erik Panzer et Brent Pym. -
Benjamin Hennion
Invariants de Donaldson-Thomas et espace de modules des coordonnées de Darboux
20 mars 2025 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Les invariants de Donaldson-Thomas (DT) sont des invariants numériques, calculés comme certaines intégrales sur un espace de module adapté. Nous expliquerons comment relier ces invariants DT (ou des raffinements de ceux-ci) et invariants de singularités (nombre de Milnor, cycles évanescents ou factorisations matricielles). Cela nous permettra de construire de nouveaux raffinements des invariants DT à partir d'invariants de singularités plus fins, répondant ainsi à une conjecture de Kontsevich et Soibelman. Il s'agit de travaux en collaboration avec J. Holstein et M. Robalo -
Francesca Rizzo
On the geometry of singular EPW cubes
20 mars 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
EPW cubes are projective hyper-Kähler varieties of dimension 6, constructed by Iliev, Kapustka, Kapustka, and Ranestad. Their construction and behavior share many similarities with the double EPW sextics constructed by O'Grady. Both double EPW sextics and EPW cubes are among the few classes of hyper-Kähler varieties for which it is possible to provide a geometric construction for the general element in their moduli space. In this talk, we will briefly introduce hyper-Kähler varieties and their moduli spaces. We will describe the construction of double EPW sextics and EPW cubes, along with their properties. Finally, we will discuss how, following O'Grady's results, we obtain a hyper-Kähler resolution of singular EPW cubes. -
Alexei Skorobogatov
Finiteness questions about the Brauer group
27 mars 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
I will recall the computation of the Brauer group of a smooth and projective variety over an algebraically closed field, in particular, the p-primary torsion in characteristic p, with special reference to the case of abelian varieties. Then I will discuss finiteness results for abelian varieties and K3 surfaces over finitely generated fields