Séminaire Arithmétique et géométrie algébrique
organisé par l'équipe Arithmétique et géométrie algébrique
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Marco Antusa
Dualité pour la cohomologie condensée du groupe de Weil d’un corps p-adique à coefficients dans les 1-motifs
9 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Les théorèmes de dualité font partie des énoncés centraux de la géométrie arithmétique. Pour les corps p-adiques, le premier exemple est la dualité de Tate pour la cohomologie galoisienne des variétés abéliennes. Pour généraliser ce résultat aux tores, on est obligés de modifier les groupes de cohomologie originaux. Cela met en évidence certains défauts de la cohomologie galoisienne, tels que l'absence d'une topologie naturelle sur les groupes de cohomologie. Dans cet exposé, on construit une nouvelle théorie cohomologique pour les corps p-adiques, grâce au groupe de Weil et aux Mathématiques Condensées. On obtient une théorie de cohomologie topologique, et on l’utilise pour étendre le résultat de Tate aux 1-motifs, en améliorant un théorème de Harari et Szamuely. Cette nouvelle dualité prend la forme d’une dualité de Pontryagin entre groupes abéliens localement compacts. -
Christopher Deninger
Dynamical systems for arithmetic schemes
16 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
For any arithmetic scheme X we construct a continuous time dynamical system whose periodic orbits come in compact packets that are in bijection with the closed points of X. All periodic orbits in a given packet have the same length equal to the logarithm of the order of the residue field of the corresponding closed point. For X = spec Z we get a dynamical system whose periodic orbits are related to the prime numbers. The construction uses new ringed spaces which are constructed from rational Witt vector rings. In the zero-dimensional case we recover a construction of Kucharczyk and Scholze who realized certain Galois groups as étale fundamental groups of ordinary topological spaces. A p-adic version of our construction turns out to be closely related to the Fargues-Fontaine curve of p-adic Hodge theory. -
Lyalya Guseva
Full exceptional collections on Isotropic Grassmannians
23 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
The bounded derived category of coherent sheaves D(X) is an important invariant of an algebraic variety X. While the structure of derived categories is generally quite intricate, in certain cases when D(X) admits a so-called full exceptional collection, D(X) can be described explicitly. Some of the earliest examples of full exceptional collections were constructed by Kapranov in 1983 for classical Grassmannians. Since then, a folklore conjecture says that full exceptional collections exist in the derived categories of all rational homogeneous varieties. In my talk I will outline the proof of this conjecture for all rational homogeneous varieties associated with symplectic groups. This is joint work with Sasha Novikov. -
Massimo Pippi
La formule de Deligne--Milnor
30 janvier 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soit X un schéma sur un trait S. Sous des hypothèses convenables, Spencer Bloch a conjecturé une formule (dite "formule du conducteur de Bloch") qui identifie la dimension totale de la cohomologie évanescente à l'aide des formes différentielles algébriques. Le cas où la fibre spéciale est lisse en dehors d'une singularité isolée avait apparu quelques ans avant dans une conjecture due à Pierre Deligne et qui est connue comme "formule de Deligne--Milnor". Dans cet exposé, je vais parler de la preuve de quelques nouveau cas (d'une généralisation) de la formule du conducteur de Bloch, y compris le cas d'une singularité isolée. Cet exposé se base sur un travail en collaboration avec Dario Beraldo. -
Adrien Morin
Cohomologie Weil-étale et la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa pour les faisceaux constructibles en caractéristique p
6 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Soit X une variété sur un corps fini. Étant donné un ordre R dans une algèbre semi-simple sur les rationnels, par exemple l’algèbre de groupe d’un groupe fini ou un anneau d’entiers dans un corps de nombres, et un faisceau étale constructible F de R-modules sur X, on peut considérer une fonction L non-commutative naturellement associée à F. Dans cet exposé, je présenterai une formule de valeurs spéciales aux entiers négatifs pour cette fonction L, exprimée en termes de la cohomologie Weil-étale introduite par Lichtenbaum. Ce résultat est un analogue géométrique, et implique, la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa de Burns-Flach pour un motif d’Artin et ses twists négatifs sur un corps global de caractéristique p. La formule généralise aussi les résultats de Lichtenbaum et Geisser sur les valeurs spéciales aux entiers négatifs pour les fonctions zeta de variétés sur les corps finis, et les travaux de Burns-Kakde pour la fonction L non-commutative provenant d’un revêtement Galoisien de variétés sur un corps fini. -
Bianca Gouthier
Infinitesimal rational actions
13 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
For any finite k-group scheme G acting rationally on a k-variety X, if the action is generically free then the dimension of Lie (G) is upper bounded by the dimension of the variety. This inequality turns out to be also a sufficient condition for the existence of such actions, when k is a perfect field of positive characteristic and G is infinitesimal commutative trigonalizable. These group schemes are non-reduced and arise only in positive characteristic. After presenting the main objects involved and overviewing the motivation for this problem, we will explain the result in the case of actions of the p-torsion of a supersingular elliptic curve. -
Anthony Poëls
Sur la conjecture de Wirsing
27 février 2025 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Dans son papier fondateur de 1961, Wirsing étudie comment on peut approcher un nombre réel transcendant ξ donné par des nombres algébriques α de degré au plus n, en terme de leur hauteur naïve H(α). Il montre que l'exposant ω_n*(ξ) mesurant cette qualité d'approximation est au moins égal à (n + 1)/2. Il remarque aussi que rien ne suggère que cette estimation soit optimale, et qu'on pourrait même avoir toujours ω_n*(ξ) ≥ n (cette inégalité étant une égalité presque partout au sens de la mesure de Lebesgue). Depuis ses travaux, toutes les améliorations de la borne inférieure de Wirsing étaient de la forme n/2 + O(1), jusqu'à ce que Badziahin et Schleischitz prouvent en 2021 que ω_n*(ξ) ≥ an pour tout n ≥ 4, où a = 1/√3 ≃ 0.577. Dans la première partie de cet exposé, nous nous attarderons sur cet historique et les idées derrière la preuve originelle de Wirsing. Si le temps le permet, nous présenterons une nouvelle approche permettant d'obtenir la borne ω_n*(ξ) ≥ an, où a = 1/(2 − log 2) ≃ 0.765.