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Séminaire Doctorants

organisé par l'équipe DOCT

  • Voyage au pays des surfaces hyperboliques aléatoires

    — Laura Monk

    6 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    La méthode probabiliste consiste à chercher à démontrer des théorèmes qui ne sont pas forcément vrais tout le temps, mais seulement avec une probabilité proche de 1. Ce point de vue a révolutionné plusieurs domaines des mathématiques, car il permet de mettre de côté des exemples pathologiques, et de bénéficier d'outils probabilistes puissants. Dans cet exposé, je raconterai comment cette idée a fait son cours dans le monde des surfaces hyperboliques, i.e. des surfaces de courbure -1. Il n'est a priori pas évident de choisir un modèle de surfaces hyperboliques aléatoires, et plusieurs modèles très différents ont donc été introduits ces dernières années : le modèle historique de Brooks et Makover, celui de Weil--Petersson, des revêtements aléatoires, et des recollements de pantalons. Je présenterai ces différents modèles, en insistant sur la diversité des outils déployés dans leur étude et des objectifs qu'ils servent.
  • Fractales et chaos en système dynamiques

    — Gaétan Leclerc

    13 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Il y a 150 ans, les premiers exemples de fonctions nulle part lisses étaient vues comme des exemples pathologiques indigne de l'intérêt de la communauté mathématique. De nos jours, les fractales sont devenues des objets centraux dans l'étude des systèmes dynamiques: ils apparaissent naturellement lorsque l'on étudie des systèmes dit chaotiques. Dans cet exposé, j'essayerais d'expliquer comment les fractales apparaissent dans des systèmes dynamiques, et en quoi l'étude de ces fractales peuvent nous renseigner sur le système dynamique sous-jacent. On parlera de dimension de Hausdorff, et de son apparition surprenante dans certains théorèmes de dynamique.
  • Transformée de Fourier en géométrie algébrique

    — Florian Viguier

    20 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    En 1981, Shigeru Mukai établit une généralisation de la transformée de Fourier dans l'univers de la géométrie algébrique, permettant ainsi de dégager des résultats très puissants pour l'étude des variétés abéliennes en toute caractéristique. Si l'objectif final de ce séminaire est de définir proprement cette transformée de Fourier-Mukai et d'en donner les principaux résultats, on s'attardera cependant essentiellement sur le vocabulaire de base de la géométrie algébrique (variétés abéliennes, faisceaux, etc.) afin de permettre une première approche aux non-initiés.
  • Familles stables d'endomorphismes de ℙk(ℂ)

    — Maxence Brévard

    27 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Cette semaine au petit théâtre de la dynamique discrète, je vous conterai une tragédie holomorphe. Celle des familles d’endomorphismes des espaces projectifs complexes. Je vous présenterai d’abord les paramètres hyperboliques, très étudiés et bien connus comme étant les plus stables. Cette situation idéale est perturbée par la ténacité d'une conjecture célèbre attribuée à Fatou et datant des débuts de la discipline. Nous verrons alors s'il est possible de faire cohabiter dans une même composante de stabilité une fraction rationnelle hyperbolique avec une autre non-hyperbolique. Si le temps le permet, je vous dévoilerai alors les perspectives que nous offre la dimension k>1.
  • Sur l'espace de Teichmüller à travers le prisme des représentations

    — Yohann Bouilly

    3 février 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    L'espace de Teichmüller d'une surface fermée de genre au moins 2 peut être vu comme un sous-espace de classes de représentations. Nous adopterons ce point de vue pour décrire tant que possible divers aspects géométriques de cet espace. Si le temps le permet (on l'y contraindra), nous expliciterons la forme volume sur l'espace des modules et présenterons la formule de Wolpert.
  • Étude d'un modèle d'un couplage Stokes-transport et problèmes dérivés

    — Antoine Leblond

    10 février 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    L'équation de Stokes-transport est une EDP modélisant simplement l'évolution d'un fluide visqueux incompressible de densité inhomogène soumis à la gravité. Après quelques rappels sur les équations qui la constituent, seront discutés le caractère bien posé du couplage (non-linéaire), le comportement asymptotique du système et des problèmes dérivés du modèle tels que celui de l'évolution d'une interface entre des poches de densité.
  • Quelques aspects de la théorie des déformations d’algèbres de Lie

    — Quentin Ehret

    24 février 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    La théorie de déformations formelles d’objets algébriques a été développée par Gerstenhaber pour les algèbres associatives et par Chevalley & Eilenberg pour les algèbres de Lie. Cette théorie permet d’obtenir des classifications de ces objets et s’est également révélée très utile en physique mathématique, dans le cadre de la quantification. Dans cet exposé focalisé sur les algèbres de Lie, je parlerai des déformations formelles en caractéristique nulle, puis je décrirai les nombreuses interactions de ces déformations avec la cohomologie de Chevalley-Eilenberg, ce qui conduira aux notions d’équivalences et d’obstructions. Dans un second temps, je parlerai des algèbres de Lie dites « restreintes » sur des corps de caractéristique positive. Dans ce cadre, on verra que la cohomologie est bien moins connue et que cet obstacle entrave la bonne compréhension des déformations.
  • Théorie de la diffusion pour le modèle optique nucléaire

    — Nicolas Frantz

    3 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Lorsqu’un neutron est envoyé sur un noyau cible, il peut se produire deux situations après l’interaction : Le neutron peut être absorbé par le noyau ou il peut-être diffusé de façon élastique. En 1954, Fesbach, Porter et Weisskopf proposent un modèle mathématique appelé modèle optique nucléaire qui rend compte de ce phénomène. La force exercé par le neutron sur le noyau est modélisée par un pseudo-hamiltonien dont l’évolution dans le temps est décrite par l’équation de Schrödinger. Si le neutron est dans un état où sa probabilité de diffusion est strictement positive, on s’attend à ce qu’il existe un état dit “de diffusion” tel que le comportement du neutron dans cet état soit après un temps infiniment grand celui de la dynamique libre.
    Je commencerai mon exposé par expliquer comment un système physique se modélise mathématiquement. Nous verrons ensuite comment cela s’applique au modèle optique nucléaire. Enfin j’expliquerai quelques rudiments de théorie de la diffusion, notamment les notions d’opérateurs d’onde et de complétude asymptotique.
  • Algèbre linéaire, graphes et algorithme glouton: cherchez le point commun.

    — Basile Coron

    10 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    On introduira la notion de matroïde qui axiomatise la notion de dépendance linéaire. On verra ensuite comment ce nouvel objet apparaît naturellement en théorie des graphes et en optimisation, notamment à travers les algorithmes gloutons.
  • Rappels homologie/cohomologie

    — Basile Coron

    16 mars 2022 - 09:00Salle de séminaires IRMA

    On introduira les bases de l'algèbre homologique ainsi que l'homologie singulière pour les espaces topologiques. On s'intéressera notamment au calcul de l'homologie des CW complexes. On définira enfin une structure d'algèbre sur la cohomologie des espaces topologiques.
  • Dynamique asymptotique du modèle de Vlasov avec champ magnétique fort

    — Guillaume Steimer

    17 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Le modèle de Vlasov avec champ magnétique fort se place dans le cadre d'étude de plasmas confinés dans un Tokamak. En effet, cette matière, composée d'innombrables particules chargées ou non, peut atteindre une température de plusieurs centaines de millions de degrés Celsius. Il faut la confiner avec un champ magnétique intense pour qu'elle ne touche pas les parois du réacteur. Je commencerai mon exposé par la présentation du modèle ainsi que de ses implications sur la dynamique d'une distribution discrète de particules chargées. Après quelques considérations physiques, je parlerai des principales difficultés de modélisation et de simulation d'un tel modèle. Ensuite, j'introduirai le modèle double échelle pour le calcul de la dynamique lente (asymptotique) de ces particules. Enfin, je conclurai mon exposé par l'illustration de cette technique par un exemple numérique.
  • 16e Problème de Hilbert et Orientations Complexes des Courbes Algébriques Réelles

    — Antoine Toussaint

    24 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Une courbe algébrique réelle projective plane est la solution dans le plan projectif d'une équation polynomiale homogène à coefficients réels en 3 variables. Harnack a montré dès 1876 que la partie réelle d'une telle courbe de degré d admet au plus (d-1)(d-2)/2+1 composantes. Le 16e probleme de Hilbert pose la question de la position relative de ces composantes dans le plan projectif réel. Lorsque la partie réelle de la courbe sépare la partie complexe (une surface de Riemann) en deux composantes, le choix d'une de ces composantes induit des orientations dites "complexes" sur la partie réelle. On peut alors établir des liens entre les plongements de la partie réelle de la courbe dans le plan projectif réel et dans la partie complexe de la courbe. C'est ce que fait notamment la formule des orientations complexes de Rokhlin dont nous verrons comment elle permet d'apporter des éléments de réponse à la question d'Hilbert. Enfin nous donnerons un aperçu de la généralisation de ce concept et ses applications aux dimensions supérieures.
  • Symplectic Homology of a Ball

    — Johanna Bimmermann

    31 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Symplectic homology is a variation of Floer homology for open symplectic manifolds. While Floer homology on closed symplectic manifolds recovers the usual singular homology of the space (thus a topological invariant), symplectic homology can actually be used to define some symplectic invariants. I will try to demonstrate this in the case of the unit ball in C^n.
  • Des fractions continues aux courbes simples sur le tore

    — Suzanne Schlich

    7 avril 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Une courbe simple sur une surface est une courbe qui ne s'auto-intersecte pas. L'objectif de cet exposé sera de comprendre les courbes simples sur le tore. Cela nous conduira naturellement à nous intéresser à la structure des mots primitifs du groupe libre à deux générateurs. On profitera du voyage pour présenter le graphe de Farey, qui nous fournira un bon outil de visualisation. On se rendra compte au passage que la décomposition en fraction continue des rationnels joue un rôle important dans toute cette histoire !
  • Introduction au calcul stochastique

    — Guillaume Woessner

    21 avril 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Je présenterai les différentes étapes de la construction d'une théorie de l'intégration stochastique, c'est-à-dire permettant d'intégrer des fonctions aléatoires par rapport à des "mesures" aléatoires. Pour ce faire je serai amené à parler du mouvement brownien, de semi-martingale, et je terminerai avec les équations différentielles stochastiques.
  • Contrôle optimal numérique appliqué au trafic routier

    — Mickaël Bestard

    28 avril 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Dans cet exposé nous nous intéressons au contrôle d'un modèle continu de trafic routier, appliqué à la gestion de crise impliquant des véhicules en milieu urbain. Le problème se formalise à l'aide d'un graphe orienté où les arêtes sont les routes et les sommets les carrefours. Si le modèle fluide décrivant l'écoulement est très standard (Lighthill-Whitham-Richards, 1955), le problème de distribution des flux aux jonctions réalise un couplage non-linéaire entre les différentes arêtes, s'inspirant de travaux récents. Ainsi, la répartition des véhicules aux carrefours est modélisée par un processus de redistribution optimale dépendant des flux maximaux atteignables aux jonctions, par l'intermédiaire d'un problème de programmation linéaire visant à maximiser les flux. Dans le but de se donner un moyen d'action sur le trafic routier, on introduit des fonctions de contrôle définies en chaque entrée de route, agissant comme un barrage en pondérant la capacité d'une route sortant d'une jonction à accueillir de nouveaux véhicules.
  • Reconstruction de la forme d’une pièce par super-résolution à l’aide de réponses impulsionnelles

    — Tom Sprunck

    5 mai 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Peut-on entendre la forme d'une pièce ? Quelques travaux récents étudient l'estimation de la forme d'une pièce tridimensionnelle en exploitant les temps d'arrivée des échos dans l'enregistrement de la réponse de la salle à une impulsion sonore. Différentes problématiques apparaissent dans ce type de méthode, notamment la localisation temporelle des échos et leur labellisation. On commencera dans cet exposé par s'intéresser à la méthode des sources images, qui modélise chaque réflexion comme une source impulsionnelle. On considérera ensuite une nouvelle méthode de localisation de ces sources à l'aide de techniques de super-résolution.
  • Introduction aux D-modules

    — Raoul Hallopeau

    12 mai 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Afin d'étudier les équations différentielles partielles définies sur une variété complexe, on peut introduire le faisceau D des opérateurs différentiels de cette variété et regarder les modules sur ce faisceau. Ces D-modules ont en pratique de nombreuses applications au délà des EDP, comme par exemple en théorie des représentations ou avec la correspondence de Riemann-Hilbert. La théorie des D-modules a commencé à bien se developper vers les années 1970 dans le cadre de variétés complexes et continue aujourd'hui pour des variétés arithmétiques. Le but de cet exposé est de faire comprendre un peu l'intérêt des D-modules et d'expliquer pourquoi on les a introduit pour résoudre des EDP (sans parler de géométrie algébrique !). Je décrirai ensuite l'anneau des opérateurs différentiels à coefficients holomorphes et donnerai quelques unes de ses propriétés.
  • Représentations convexes cocompactes dans le groupe des isométries de l'espace hyperbolique de dimension infinie

    — David Xu

    19 mai 2022 - 16:45Salle de séminaires IRMA

    Les représentations convexes cocompactes de groupes dans PSL(2,R) ont été beaucoup étudiées pour leur liens avec la théorie des groupes fuchsiens. Une généralisation naturelle a été de considérer des représentations dans le groupe des isométries d'espaces hyperboliques de dimension supérieure, PO(n,1). Lorsque G est un groupe de type fini, il est bien connu qu'une représentation convexe cocompacte de G dans PO(n,1) admet un voisinage, dans l'espace des représentations Hom(G,PO(n,1)), qui ne contient que des représentations convexes cocompactes. On peut alors se demander si ce résultat reste vrai dans le cadre des représentations dans le groupe des isométries de l'espace hyperbolique de dimension infinie
  • Transport optimal entropique

    — Armand Ley

    9 juin 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    D'abord j'introduirai le problème de Monge-Kantorovitch en version discrète, problème qui est le problème central du transport optimal. J'aborderai ensuite la notion d'entropie et d'entropie relative et je discuterai brièvement de ses propriétés et de son interprétation. Cela nous permettra d'introduire le problème de transport optimal avec pénalisation entropique qui correspond à une version "régularisée" du problème de transport initial. Après quoi, je présenterai l'algorithme de Sinkhorn et je ferai le lien entre cet algorithme et le problème de transport entropique. Finalement, j'aborderai la question de sa vitesse de convergence.
  • Réunion de rentrée des doctorants

    — Clarence Kineider

    15 septembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

  • Monstrous Moonshine

    — Clarence Kineider

    22 septembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    Le terme "monstrous moonshine" fut utilisé en 1979 par Conway et Norton pour désigner une des coïncidence (qui n'en est en fait pas une !) les plus surprenantes des mathématiques du 20e siècle. Elle fait intervenir des objets de natures très différentes : groupes sporadiques, représentations, formes modulaires et séries de Fourier. Dans cet exposé accessible à tous, je ferai une introduction à tous ces objets afin d'essayer de comprendre cet étrange phénomène.
  • La fonction de Möbius sur les posets

    — Clément Chenevière

    29 septembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA

    La fonction de Möbius est une fonction multiplicative sur les entiers qui apparaît en théorie des nombres comme les coefficients de l'inverse de la fonction Zeta de Riemann. On peut en fait définir la fonction de Möbius sur n'importe quel poset (ensemble partiellement ordonné). Elle peut s'interpréter comme la caractéristique d'Euler réduite d'un espace topologique naturellement associé au poset, le complexe d'ordre. D'un point de vue plus combinatoire, dans certains cas, cette fonction de Möbius peut également compter des choses intéressantes, notamment dans des configurations d'hyperplans.