Séminaire Doctorants
organisé par l'équipe DOCT
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Laura Monk
Voyage au pays des surfaces hyperboliques aléatoires
6 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
La méthode probabiliste consiste à chercher à démontrer des théorèmes qui ne sont pas forcément vrais tout le temps, mais seulement avec une probabilité proche de 1. Ce point de vue a révolutionné plusieurs domaines des mathématiques, car il permet de mettre de côté des exemples pathologiques, et de bénéficier d'outils probabilistes puissants. Dans cet exposé, je raconterai comment cette idée a fait son cours dans le monde des surfaces hyperboliques, i.e. des surfaces de courbure -1. Il n'est a priori pas évident de choisir un modèle de surfaces hyperboliques aléatoires, et plusieurs modèles très différents ont donc été introduits ces dernières années : le modèle historique de Brooks et Makover, celui de Weil--Petersson, des revêtements aléatoires, et des recollements de pantalons. Je présenterai ces différents modèles, en insistant sur la diversité des outils déployés dans leur étude et des objectifs qu'ils servent. -
Gaétan Leclerc
Fractales et chaos en système dynamiques
13 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Il y a 150 ans, les premiers exemples de fonctions nulle part lisses étaient vues comme des exemples pathologiques indigne de l'intérêt de la communauté mathématique. De nos jours, les fractales sont devenues des objets centraux dans l'étude des systèmes dynamiques: ils apparaissent naturellement lorsque l'on étudie des systèmes dit chaotiques. Dans cet exposé, j'essayerais d'expliquer comment les fractales apparaissent dans des systèmes dynamiques, et en quoi l'étude de ces fractales peuvent nous renseigner sur le système dynamique sous-jacent. On parlera de dimension de Hausdorff, et de son apparition surprenante dans certains théorèmes de dynamique. -
Florian Viguier
Transformée de Fourier en géométrie algébrique
20 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
En 1981, Shigeru Mukai établit une généralisation de la transformée de Fourier dans l'univers de la géométrie algébrique, permettant ainsi de dégager des résultats très puissants pour l'étude des variétés abéliennes en toute caractéristique. Si l'objectif final de ce séminaire est de définir proprement cette transformée de Fourier-Mukai et d'en donner les principaux résultats, on s'attardera cependant essentiellement sur le vocabulaire de base de la géométrie algébrique (variétés abéliennes, faisceaux, etc.) afin de permettre une première approche aux non-initiés. -
Maxence Brévard
Familles stables d'endomorphismes de ℙk(ℂ)
27 janvier 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Cette semaine au petit théâtre de la dynamique discrète, je vous conterai une tragédie holomorphe. Celle des familles d’endomorphismes des espaces projectifs complexes. Je vous présenterai d’abord les paramètres hyperboliques, très étudiés et bien connus comme étant les plus stables. Cette situation idéale est perturbée par la ténacité d'une conjecture célèbre attribuée à Fatou et datant des débuts de la discipline. Nous verrons alors s'il est possible de faire cohabiter dans une même composante de stabilité une fraction rationnelle hyperbolique avec une autre non-hyperbolique. Si le temps le permet, je vous dévoilerai alors les perspectives que nous offre la dimension k>1. -
Yohann Bouilly
Sur l'espace de Teichmüller à travers le prisme des représentations
3 février 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
L'espace de Teichmüller d'une surface fermée de genre au moins 2 peut être vu comme un sous-espace de classes de représentations. Nous adopterons ce point de vue pour décrire tant que possible divers aspects géométriques de cet espace. Si le temps le permet (on l'y contraindra), nous expliciterons la forme volume sur l'espace des modules et présenterons la formule de Wolpert. -
Antoine Leblond
Étude d'un modèle d'un couplage Stokes-transport et problèmes dérivés
10 février 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
L'équation de Stokes-transport est une EDP modélisant simplement l'évolution d'un fluide visqueux incompressible de densité inhomogène soumis à la gravité. Après quelques rappels sur les équations qui la constituent, seront discutés le caractère bien posé du couplage (non-linéaire), le comportement asymptotique du système et des problèmes dérivés du modèle tels que celui de l'évolution d'une interface entre des poches de densité. -
Quentin Ehret
Quelques aspects de la théorie des déformations d’algèbres de Lie
24 février 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
La théorie de déformations formelles d’objets algébriques a été développée par Gerstenhaber pour les algèbres associatives et par Chevalley & Eilenberg pour les algèbres de Lie. Cette théorie permet d’obtenir des classifications de ces objets et s’est également révélée très utile en physique mathématique, dans le cadre de la quantification. Dans cet exposé focalisé sur les algèbres de Lie, je parlerai des déformations formelles en caractéristique nulle, puis je décrirai les nombreuses interactions de ces déformations avec la cohomologie de Chevalley-Eilenberg, ce qui conduira aux notions d’équivalences et d’obstructions. Dans un second temps, je parlerai des algèbres de Lie dites « restreintes » sur des corps de caractéristique positive. Dans ce cadre, on verra que la cohomologie est bien moins connue et que cet obstacle entrave la bonne compréhension des déformations. -
Nicolas Frantz
Théorie de la diffusion pour le modèle optique nucléaire
3 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Lorsqu’un neutron est envoyé sur un noyau cible, il peut se produire deux situations après l’interaction : Le neutron peut être absorbé par le noyau ou il peut-être diffusé de façon élastique. En 1954, Fesbach, Porter et Weisskopf proposent un modèle mathématique appelé modèle optique nucléaire qui rend compte de ce phénomène. La force exercé par le neutron sur le noyau est modélisée par un pseudo-hamiltonien dont l’évolution dans le temps est décrite par l’équation de Schrödinger. Si le neutron est dans un état où sa probabilité de diffusion est strictement positive, on s’attend à ce qu’il existe un état dit “de diffusion” tel que le comportement du neutron dans cet état soit après un temps infiniment grand celui de la dynamique libre.
Je commencerai mon exposé par expliquer comment un système physique se modélise mathématiquement. Nous verrons ensuite comment cela s’applique au modèle optique nucléaire. Enfin j’expliquerai quelques rudiments de théorie de la diffusion, notamment les notions d’opérateurs d’onde et de complétude asymptotique. -
Basile Coron
Algèbre linéaire, graphes et algorithme glouton: cherchez le point commun.
10 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
On introduira la notion de matroïde qui axiomatise la notion de dépendance linéaire. On verra ensuite comment ce nouvel objet apparaît naturellement en théorie des graphes et en optimisation, notamment à travers les algorithmes gloutons. -
Basile Coron
Rappels homologie/cohomologie
16 mars 2022 - 09:00Salle de séminaires IRMA
On introduira les bases de l'algèbre homologique ainsi que l'homologie singulière pour les espaces topologiques. On s'intéressera notamment au calcul de l'homologie des CW complexes. On définira enfin une structure d'algèbre sur la cohomologie des espaces topologiques. -
Guillaume Steimer
Dynamique asymptotique du modèle de Vlasov avec champ magnétique fort
17 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Le modèle de Vlasov avec champ magnétique fort se place dans le cadre d'étude de plasmas confinés dans un Tokamak. En effet, cette matière, composée d'innombrables particules chargées ou non, peut atteindre une température de plusieurs centaines de millions de degrés Celsius. Il faut la confiner avec un champ magnétique intense pour qu'elle ne touche pas les parois du réacteur. Je commencerai mon exposé par la présentation du modèle ainsi que de ses implications sur la dynamique d'une distribution discrète de particules chargées. Après quelques considérations physiques, je parlerai des principales difficultés de modélisation et de simulation d'un tel modèle. Ensuite, j'introduirai le modèle double échelle pour le calcul de la dynamique lente (asymptotique) de ces particules. Enfin, je conclurai mon exposé par l'illustration de cette technique par un exemple numérique. -
Antoine Toussaint
16e Problème de Hilbert et Orientations Complexes des Courbes Algébriques Réelles
24 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Une courbe algébrique réelle projective plane est la solution dans le plan projectif d'une équation polynomiale homogène à coefficients réels en 3 variables. Harnack a montré dès 1876 que la partie réelle d'une telle courbe de degré d admet au plus (d-1)(d-2)/2+1 composantes. Le 16e probleme de Hilbert pose la question de la position relative de ces composantes dans le plan projectif réel. Lorsque la partie réelle de la courbe sépare la partie complexe (une surface de Riemann) en deux composantes, le choix d'une de ces composantes induit des orientations dites "complexes" sur la partie réelle. On peut alors établir des liens entre les plongements de la partie réelle de la courbe dans le plan projectif réel et dans la partie complexe de la courbe. C'est ce que fait notamment la formule des orientations complexes de Rokhlin dont nous verrons comment elle permet d'apporter des éléments de réponse à la question d'Hilbert. Enfin nous donnerons un aperçu de la généralisation de ce concept et ses applications aux dimensions supérieures. -
Johanna Bimmermann
Symplectic Homology of a Ball
31 mars 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Symplectic homology is a variation of Floer homology for open symplectic manifolds. While Floer homology on closed symplectic manifolds recovers the usual singular homology of the space (thus a topological invariant), symplectic homology can actually be used to define some symplectic invariants. I will try to demonstrate this in the case of the unit ball in C^n. -
Suzanne Schlich
Des fractions continues aux courbes simples sur le tore
7 avril 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Une courbe simple sur une surface est une courbe qui ne s'auto-intersecte pas. L'objectif de cet exposé sera de comprendre les courbes simples sur le tore. Cela nous conduira naturellement à nous intéresser à la structure des mots primitifs du groupe libre à deux générateurs. On profitera du voyage pour présenter le graphe de Farey, qui nous fournira un bon outil de visualisation. On se rendra compte au passage que la décomposition en fraction continue des rationnels joue un rôle important dans toute cette histoire ! -
Guillaume Woessner
Introduction au calcul stochastique
21 avril 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Je présenterai les différentes étapes de la construction d'une théorie de l'intégration stochastique, c'est-à-dire permettant d'intégrer des fonctions aléatoires par rapport à des "mesures" aléatoires. Pour ce faire je serai amené à parler du mouvement brownien, de semi-martingale, et je terminerai avec les équations différentielles stochastiques. -
Mickaël Bestard
Contrôle optimal numérique appliqué au trafic routier
28 avril 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Dans cet exposé nous nous intéressons au contrôle d'un modèle continu de trafic routier, appliqué à la gestion de crise impliquant des véhicules en milieu urbain. Le problème se formalise à l'aide d'un graphe orienté où les arêtes sont les routes et les sommets les carrefours. Si le modèle fluide décrivant l'écoulement est très standard (Lighthill-Whitham-Richards, 1955), le problème de distribution des flux aux jonctions réalise un couplage non-linéaire entre les différentes arêtes, s'inspirant de travaux récents. Ainsi, la répartition des véhicules aux carrefours est modélisée par un processus de redistribution optimale dépendant des flux maximaux atteignables aux jonctions, par l'intermédiaire d'un problème de programmation linéaire visant à maximiser les flux. Dans le but de se donner un moyen d'action sur le trafic routier, on introduit des fonctions de contrôle définies en chaque entrée de route, agissant comme un barrage en pondérant la capacité d'une route sortant d'une jonction à accueillir de nouveaux véhicules. -
Tom Sprunck
Reconstruction de la forme d’une pièce par super-résolution à l’aide de réponses impulsionnelles
5 mai 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Peut-on entendre la forme d'une pièce ? Quelques travaux récents étudient l'estimation de la forme d'une pièce tridimensionnelle en exploitant les temps d'arrivée des échos dans l'enregistrement de la réponse de la salle à une impulsion sonore. Différentes problématiques apparaissent dans ce type de méthode, notamment la localisation temporelle des échos et leur labellisation. On commencera dans cet exposé par s'intéresser à la méthode des sources images, qui modélise chaque réflexion comme une source impulsionnelle. On considérera ensuite une nouvelle méthode de localisation de ces sources à l'aide de techniques de super-résolution. -
Raoul Hallopeau
Introduction aux D-modules
12 mai 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Afin d'étudier les équations différentielles partielles définies sur une variété complexe, on peut introduire le faisceau D des opérateurs différentiels de cette variété et regarder les modules sur ce faisceau. Ces D-modules ont en pratique de nombreuses applications au délà des EDP, comme par exemple en théorie des représentations ou avec la correspondence de Riemann-Hilbert. La théorie des D-modules a commencé à bien se developper vers les années 1970 dans le cadre de variétés complexes et continue aujourd'hui pour des variétés arithmétiques. Le but de cet exposé est de faire comprendre un peu l'intérêt des D-modules et d'expliquer pourquoi on les a introduit pour résoudre des EDP (sans parler de géométrie algébrique !). Je décrirai ensuite l'anneau des opérateurs différentiels à coefficients holomorphes et donnerai quelques unes de ses propriétés. -
David Xu
Représentations convexes cocompactes dans le groupe des isométries de l'espace hyperbolique de dimension infinie
19 mai 2022 - 16:45Salle de séminaires IRMA
Les représentations convexes cocompactes de groupes dans PSL(2,R) ont été beaucoup étudiées pour leur liens avec la théorie des groupes fuchsiens. Une généralisation naturelle a été de considérer des représentations dans le groupe des isométries d'espaces hyperboliques de dimension supérieure, PO(n,1). Lorsque G est un groupe de type fini, il est bien connu qu'une représentation convexe cocompacte de G dans PO(n,1) admet un voisinage, dans l'espace des représentations Hom(G,PO(n,1)), qui ne contient que des représentations convexes cocompactes. On peut alors se demander si ce résultat reste vrai dans le cadre des représentations dans le groupe des isométries de l'espace hyperbolique de dimension infinie -
Armand Ley
Transport optimal entropique
9 juin 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
D'abord j'introduirai le problème de Monge-Kantorovitch en version discrète, problème qui est le problème central du transport optimal. J'aborderai ensuite la notion d'entropie et d'entropie relative et je discuterai brièvement de ses propriétés et de son interprétation. Cela nous permettra d'introduire le problème de transport optimal avec pénalisation entropique qui correspond à une version "régularisée" du problème de transport initial. Après quoi, je présenterai l'algorithme de Sinkhorn et je ferai le lien entre cet algorithme et le problème de transport entropique. Finalement, j'aborderai la question de sa vitesse de convergence. -
Clarence Kineider
Réunion de rentrée des doctorants
15 septembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
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Clarence Kineider
Monstrous Moonshine
22 septembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Le terme "monstrous moonshine" fut utilisé en 1979 par Conway et Norton pour désigner une des coïncidence (qui n'en est en fait pas une !) les plus surprenantes des mathématiques du 20e siècle. Elle fait intervenir des objets de natures très différentes : groupes sporadiques, représentations, formes modulaires et séries de Fourier. Dans cet exposé accessible à tous, je ferai une introduction à tous ces objets afin d'essayer de comprendre cet étrange phénomène. -
Clément Chenevière
La fonction de Möbius sur les posets
29 septembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
La fonction de Möbius est une fonction multiplicative sur les entiers qui apparaît en théorie des nombres comme les coefficients de l'inverse de la fonction Zeta de Riemann. On peut en fait définir la fonction de Möbius sur n'importe quel poset (ensemble partiellement ordonné). Elle peut s'interpréter comme la caractéristique d'Euler réduite d'un espace topologique naturellement associé au poset, le complexe d'ordre. D'un point de vue plus combinatoire, dans certains cas, cette fonction de Möbius peut également compter des choses intéressantes, notamment dans des configurations d'hyperplans. -
Raoul Hallopeau
Les nombres $p$-adiques
6 octobre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Les nombres $p$-adiques, où $p$ est un nombre premier, ont été inventé par Kurt Hensel en 1897 pour résoudre des problèmes de théorie des nombres par des méthodes d'analyse réelle et complexe. Kurt Hensel définit ainsi un analogue algébrique des séries entières classiques adapté aux problèmes arithmétiques. Au lieu de décomposer un nombre en base décimale, il l'écrit en base $p$, avec non plus une somme infinie à droite de la virgule mais à gauche ! Les nombres $p$-adiques forment une extension des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ distincte des nombres réels $\mathbb{R}$.
Dans les années 1915, les mathématiciens introduisent les valuations qui fournissent une construction topologique des nombres $p$-adiques. Alexander Ostrowski démontre le célèbre résultat suivant : les seules valeurs absolues de $\mathbb{Q}$ sont la valeur absolue usuelle et les valeurs absolues $p$-adiques ! Les nombres $p$-adiques sont donc naturels !
Enfin quelques années plus tard le principe du local global est formulé : une propriété sur $\mathbb{Q}$ est vraie si et seulement si elle est vraie sur $\mathbb{R}$ et sur les nombres $p$-adiques. Les nombres $p$-adiques sont depuis un outil indispensable et incontournable de la théorie des nombres.
Dans mon exposé je vais introduire les nombres $p$-adiques. Je vais les construire comme le complété de $\mathbb{Q}$ pour la valeur absolue $p$-adique (on peut aussi les définir de manière algébrique, mais je n'en parlerai pas). Je présenterai ensuite comment faire les calculs à partir de l'écriture en "base $p$-adique" des nombres. Enfin j'énoncerai l'un des énoncés les plus connus du principe du local global : le théorème de Hasse-Minkowski portant sur les formes quadratiques. J'en donnerai un exemple concret pour voir toute sa puissance ! -
Thomas Agugliaro
Application des corps finis à la factorisation de polynômes
13 octobre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
La notion de corps est très fréquente en algèbre. Parmi les corps, ceux de caractéristique $0$ sont les plus intuitifs. Mais certains sont de caractéristique positive $p$, ce qui rend plus compliquée l'étude de certaines théories, comme par exemple les formes quadratiques en caractéristique $2$, ou l'étude des représentations de groupes en caractéristique $p$. Ainsi, les corps finis peuvent avoir l'air d'une notion pathologique qu'il vaut mieux éviter. Dans cet exposé, je vais essayer de justifier pourquoi cela n'est pas le cas, pourquoi la relation $p=0$ témoigne en fait d'une richesse supplémentaire des corps de caractéristique finie. Je commencerai par des définitions de bases sur les corps finis. Et en guise d'application, je vais expliquer comment se servir des corps finis pour factoriser les polynômes à coefficients entiers grâce à l'algorithme de Berlekamp, et à l'algorithme LLL dû à H.Lenstra, A.Lenstra et L. Lovász. -
Adam Chalumeau
Retourner dans le passé... en allant dans le futur!
20 octobre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Nous suivrons les réflexions et péripéties de Basile qui, étant absent au séminaire du 20 octobre 2022, cherche désespérément à réparer son erreur. Basile tentera, en employant la géométrie, de retourner dans le passé en voyageant (vite) dans le futur. Il introduira les notions de base dont il se sert pour la formulation de son problème. Il fera alors un état de l'art sur ce problème "facile à formuler" mais mal compris dans la géométrie moderne. -
Archia Ghiasabadi
L’espace des modules des fibrés vectoriels
10 novembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
A travers un voyage dans l’histoire des mathématiques : triplet pythagoricien, longueur d’arc d’une ellipse , pendule simple, les travaux de Euler et Jacobi. Nous verrons l’apparition d’espaces de module. Je finirai par vous narrer la belle histoire des fibrés vectoriels finis. -
Paul Laubie
L'action extérieure de $\mathfrak{S}_6$
17 novembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
Il est connu que les groupes de permutations n'ont pas d'actions extérieures non-triviales sauf pour n=6. La possibilité d'une action extérieure pour $\mathfrak{S}_6$ est due à une «coïncidence» combinatoire. Nous essaierons de la comprendre, de la décrire explicitement et de la relier à d'autres objets exceptionnels (l'icosaèdre). -
Guillaume Steimer
Réduction du modèle de Vlasov-Poisson guidée par les données
25 novembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
De nos jours, l'apprentissage machine profond est utilisé intensivement dans de nombreux domaines, comme la conduite automatisée ou encore la traduction. Je vous propose de découvrir comment on peut les mettre à profit pour développer une nouvelle technique de réduction de modèles. La réduction de modèle a pour objectif de réduire la complexité numérique de la simulation de modèles. On s'intéressera au modèle de Vlasov-Poisson dans des régimes non-linéaires. Il permet de modéliser la dynamique d'une distribution statistique de particules chargées soumises à des forces électriques et se présente sous la forme d'une équation de transport. La difficulté majeure de ce modèle, aussi bien théoriquement que numériquement, vient du champ électrique, qui dépend de la distribution susmentionnée elle-même. Ce séminaire se présente comme une introduction à l'apprentissage machine dans le contexte de la réduction de modèle. -
Roméo Troubat
Le cinquième axiome d'Euclide
1 décembre 2022 - 16:30Salle de conférences IRMA
"Tu ne dois pas t'éssayer à cette approche des parallèles. Je l'ai explorée de fond en comble. J'ai traversé cette nuit sans fond, qui a éteint toute lumière et toute joie dans ma vie... Je pensais me sacrifier pour la quête de la vérité. J'étais prêt à devenir le martyre qui retirerait à la géométrie son imperfection et la rendrait purifiée à l'humanité. J'ai fait demi-tour en voyant qu'aucun homme ne pouvait arriver à bout de cette nuit. J'ai abandonné, inconsolable, pleurant pour l'humanité et pour moi-même. J'avoue ne pas m'attendre à grand chose d'autre de ta tentative. Il me semble que j'ai déjà été dans ces terres; que j'ai voyagé au delà des récifs de cette infernale mer morte et que je n'en suis jamais revenu qu'avec un mât brisé et des voiles déchirées. Le désastre de ma condition peut être retracé à ces temps... Ainsi je t'en conjure, pour l'amour de Dieu, abandonne. Ne t'en méfis pas moins que des passions sensuelles, car toi aussi, cela pourrait te coûter tout ton temps, te ruiner ta santé, ta sérénité et toute joie dans ta vie." - Farkas Bolyai, conseillant à son fils de ne pas faire de géométrie hyperbolique. Nous nous intéresserons à l'émergence de la géométrie non-euclidienne et à quelques propriétés intéressantes de la géométrie hyperbolique. Nous donnerons une définition de la courbure en dimension 2 et nous montrerons comment munir une surface fermée de genre au moins deux d'une structure hyperbolique. -
Victor Le Guilloux
Du Rubik's Cube au Rubik's Revenge : une histoire d'actions de groupes.
8 décembre 2022 - 16:30Salle de séminaires IRMA
Le Rubik's Cube est l'un des plus célèbres puzzles de l'histoire. Créé dans les années 1970 par le Hongrois Ernö Rubik, il s'est rapidement constitué une communauté de passionnés déterminés à le résoudre toujours plus rapidement. Il n'a pas fallu beaucoup de temps aux mathématiciens pour qu'ils s'intéressent à ce nouvel objet. L'algèbre - plus particulièrement la théorie des groupes - a permis de grandes avancées dans la compréhension du Cube. Mais d'autres casse-têtes similaires ont rapidement commencé à voir le jour. Parmis-eux se trouve le plus proche voisin du Cube, le Rubik's Revenge. Malgré l'apparente similarité entre ces puzzles, le Rubik's Revenge présente des différences majeures avec le Cube qui vont jusqu'à modifier le sens même de ce que signifie résoudre le casse-tête. Nous verrons ensemble comment surmonter ces difficultés en introduisant l'action simultanée de plusieurs groupes sur le Revenge. Nous parviendrons de cette façon à calculer - entre autres - la probabilité que l'on puisse résoudre le Rubik's Revenge après l'avoir démonté puis remonté au hasard. -
Robin Riegel
Groupes de tresses : Problème du mot et relation d'ordre
15 décembre 2022 - 16:30Salle de séminaires IRMA
Les groupes de tresses ont été introduits en 1924 par Emil Artin et sont intéressants en particulier du fait de la variété d'approches et d'applications possibles qu'ils permettent. Nous allons nous intéresser à certains de ces aspects en posant comme cadre la construction d'un ordre total invariant à gauche sur ces groupes et la résolution du problème du mot. Pour cela, nous irons de l'étude d'une action des groupes de tresses sur un système LD-ordonné, sur un groupe libre ou sur une algèbre tropicale jusqu'à la construction d'un algorithme permettant de donner une représentation "normale" d'une tresse en passant par l'introduction d'une distance sur ces groupes. Nous verrons ensuite les grandes lignes de comment ramener le problème d'isotopie des nœuds à un problème de conjugaison sur les groupes de tresses.