Séminaire Doctorants
organisé par l'équipe DOCT
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Victoria Callet
Homologie persistante et applications à la classification du style musical
12 janvier 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
L’homologie persistante est un outil calculatoire datant de la fin du XXème siècle qui se trouve être à la limite entre la topologie algébrique et les mathématiques appliquées. Le principe est de comprendre la structure topologique d’un objet de départ par approximations successives : pour cela, on utilise la théorie des complexes simpliciaux et l’homologie simpliciale, dont nous commencerons par rappeler les bases. En pratique, on extrait de notre objet un nuage de points que l’on transforme en un complexe simplicial filtré, et ce en utilisant une méthode bien précise appelée méthode de Vietoris-Rips. Le principe de l’homologie persistante est alors de mesurer l’évolution des différentes classes d’homologie et plus précisément leurs durées de vie au cours de la filtration choisie : pour cela, nous représenterons ces informations sur des graphiques appelés codes-barres. Ce sont ces mêmes codes-barres qui permettront ensuite d’analyser ou encore de comparer plusieurs objets de départ : c’est ce qu’on appelle l’analyse topologique de données. En guise d’illustration, nous verrons comment appliquer ce procédé à la classification du style musical. -
Mickaël Bestard
Comment fabrique-t-on des réseaux de neurones ?
19 janvier 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
L'avènement des DeepL, Dall-e et autres ChatGPT chatoyants nous montre au moins une chose, les réseaux de neurones artificiels sont désormais incontournables dans notre quotidien. Le but de cet exposé sera de se familiariser avec les deux ingrédients principaux de cette révolution technologique, à savoir la descente de gradient stochastique et la différentiation automatique. Ces deux outils répondent essentiellement à des problématiques liées au monde du numérique et des données en grande dimension, et les applications s'étendent de la régression linéaire à la résolution en "temps réel" d'équations aux dérivées partielles non linéaires. -
Alex Podgorny
Le paradoxe de Stein
26 janvier 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Le paradoxe de Stein est un résultat statistique complètement contre-intuitif de premier abord. Il semble justifier qu'il vaut mieux combiner des données sans aucun rapport pour estimer leur espérance, au lieu de les considérer séparément. Supposons par exemple que l'on s'intéresse aux votes pour Trump à une élection, aux nouveau-nées filles en Chine, et aux britanniques ayant les yeux bleus. Alors, en utilisant l'estimateur de James-Stein, on estimera en particulier la proportion de votant pour Trump en utilisant le nombre de filles nées dans un hôpital chinois et le nombre de personnes aux yeux bleus dans une ville anglaise ! Comprendre ce paradoxe, c'est comprendre un peu mieux la statistique que l'on pourrait aussi appeler "la mathématique de l'induction". Nous aborderons dans ce séminaire les notions d'échantillon, d'estimateur, de qualité d'une estimation... Ce "paradoxe" a ouvert le champ des techniques d'estimation dites "contractantes", utilisées aujourd'hui par exemple en machine learning. -
Brieuc Frénais
Méthodes de machine learning pour le problème de transport optimal en champ moyen
2 février 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Les problèmes de contrôle en champ moyen sont utilisés pour étudier les comportements de populations infinies d'agents cherchant à optimiser un coût commun. Ce coût se manifeste typiquement par un coût de trajet, à savoir l'intégrale le long de la trajectoire d'un coût instantané, auquel on ajoute un coût final dépendant de la distribution terminale de la population. Dans cet exposé, on remplacera ce coût final par une condition sur la distribution finale, transformant le problème de contrôle en champ moyen en un problème que nous appelons transport optimal en champ moyen. On présentera deux (trois ?) méthodes numériques basées l'utilisation des réseaux de neurones qui permettent d'étudier ce problème. -
Nicolas Stutz
Le théorème de Poincaré-Bendixson
10 février 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Pour la plupart des équations différentielles, il est vain d’espérer une résolution explicite aboutissant à des formules qui expriment les solutions en fonction du temps. Soulevée notamment par Henri Poincaré, cette difficulté motive l’étude qualitative des équations différentielles. Le théorème de Poincaré-Bendixson décrit le comportement asymptotique des solutions maximales d’équations différentielles autonomes du premier ordre sur un domaine du plan. Dans ce contexte, les solutions maximales bornées ne convergeant pas vers un point d’équilibre suivent nécessairement des trajectoires périodiques. Cet énoncé a été formulé et partiellement démontré par Poincaré en 1881 avant qu’une preuve complète ne soit proposée par Ivar Bendixson en 1901. L’objectif de l’exposé est d’introduire les objets sur lesquels porte ce théorème et de donner les grandes lignes de la démonstration. Pour finir, on verra dans quelles mesures le résultat est généralisable à d’autres systèmes dynamiques. -
Ludovic Godard-Cadillac
Le tassement : un réarrangement un dimension 1
16 février 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
On définit un nouveau réarrangement, appelé le réarrangement par tassement, pour les fonctions mesurables positives sur R+. Ce réarrangement a de nombreuses propriétés en commun avec le réarrangement classique défini par Schwarz (réarrangement décroissant), comme l'inégalité de Pólya–Szegő. Contrairement au réarrangement de Schwarz, le tassement préserve également les données au bord de Dirichlet. -
Quentin Ehret
Structures restreintes sur l’algèbre de Heisenberg
2 mars 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Les origines de la mécanique quantique remontent à l’idée novatrice de Heisenberg
de considérer les composantes du vecteur position et du vecteur vitesse d’une
particule comme des opérateurs d’un certain espace de Hilbert, soumis à certaines
relations de commutation. On peut ainsi définir une structure d’algèbre de Lie
avec ces données, appelée algèbre de Heisenberg.
Dans cet exposé, après avoir rappelé les bases sur les algèbres de Lie et les
origines de l’algèbre de Heisenberg, on va s’intéresser au cas où le corps de base
est de caractéristique p > 0. On verra la structure d’algèbre de Lie restreinte
ainsi que ses propriétés, dans le but de trouver toutes les structures restreintes sur
l’algèbre de Heisenberg. Le cas p = 2 sera traité à part. -
Valdo Tatitscheff
Géométrie énumérative
9 mars 2023 - 16:30Salle de séminaires IRMA
Cette branche des mathématiques s'attelle à déterminer le nombre de solutions (lorsque cela a un sens) à des problèmes géométrique comme celui de Steiner, posé en 1848 : étant données cinq coniques dans le plan, combien y a-t-il de coniques tangentes à ces cinq là? Je présenterai de manière pédagogique certaines des idées fondatrices de ce domaine, avant d'évoquer quelques résultats et directions de recherches célèbres. -
Céline Van-Landeghem
Cadre numérique pour la simulation de la micro-nage
16 mars 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Depuis deux décennies, les chercheurs s'intéressent à la compréhension et au contrôle des stratégies de propulsion des micro-organismes. L'objectif principal est de construire des micro-nageurs artificiels dont les applications sont nombreuses et utiles, notamment dans le domaine de la biomédecine. Le contrôle de tels micro-nageurs pourrait permettre l'administration de médicaments ou la réalisation de micro-chirurgies dans le corps humain. Je vais présenter la physique de la nage à micro-échelle et donner un cadre numérique pour simuler l'interaction entre ces micro-nageurs et des fluides. Les environnements dans lesquels les micro-organismes se propulsent sont complexes et confinés. Ainsi, des contacts entre les micro-nageurs et ces environnements sont fréquents. Pour décrire ces contacts, je vais proposer un modèle de force répulsive. -
Kai Cieliebak
This strange endeavour called research
23 mars 2023 - 09:00Salle de conférences IRMA
What is it like to do research in mathematics? How does it differ from studying? What is the role of collaborations, conferences, publications? And, most importantly, is it for me? After a brief introduction with some examples from my personal experience there will be ample time for discussion, and maybe together finding answers to some of these questions. -
Khaoula Chahdi
Analyse Radiomique pour la prédiction de rechute dans le cas du lymphome diffus à grandes cellules B
23 mars 2023 - 16:30Salle de séminaires IRMA
L’imagerie médicale joue un rôle prépondérant pour diagnostiquer les patients atteints du cancer, les suivre dans la phase thérapeutique et pour établir un pronostic de rechute (ou de récidive). Elle permet au médecin de localiser la tumeur et, en fonction de la localisation, de construire un schéma de prise en charge adapté à chaque cas. Le pronostic est une étape essentielle pour prédire l’évolution ou la rechute de la maladie mais les données cliniques actuellement utilisées ne s’avèrent pas toujours efficaces. De nombreuses études sont désormais basées sur des caractéristiques quantitatives pré-déterminées issues de l’imagerie : les radiomiques. En identifiant des corrélations, entre ces caractéristiques et le pronostic des patients, par apprentissage, l’évaluation clinique des médecins semble souvent pouvoir être affinée. Nous nous intéresserons particulièrement au cas des maladies multifocales où plusieurs sites tumoraux sont étudiés, notamment au cas particulier des lymphomes diffus à grandes cellules B. Ce projet d’étude a donc ici pour ambition d’établir une méthode d’apprentissage basée sur les caractéristiques radiomiques pouvant permettre aux médecins d’affiner leur pronostic de patients à haut risque de rechute à l’aide de nouveaux biomarqueurs extraits de l’imagerie médicale. Mots clés : Machine learning, radiomiques, imagerie médicale -
Thibault Lorscheider
Géométrie Symplectiquoi ?
31 mars 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
L'étude de systèmes mécaniques classiques comme le système planétaire fait rapidement émerger une structure sur l'espace des phases dans lequel le système évolue. Cette structure, appelée structure symplectique sert exactement aux physiciens à comprendre comment ce système évolue. On montrera comment les éléments "basiques" de géométrie symplectique apparaissent au cours d'une étude d'un problème variationnel de la physique classique (équations d'Euler-Lagrange et Hamilton), puis on oubliera le système pour donner quelques résultats intéressants de géométrie symplectique plus abstraite (c'est-à-dire en considérant simplement une variété de dimension paire munie d'une 2-forme différentielle $\omega,$ fermée et non-dégénérée et sans considération physique). -
Renan Laureti
Écritures en bases $\beta$ et nombres de Pisot
6 avril 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
La méthode usuelle que nous utilisons pour écrire les nombres réels est le développement en base entière, qui consiste à exprimer un nombre réel $x$ selon les puissances négatives d'un entier $b>1$. Une question naturelle pour étendre ce procédé est la suivante : Que se passe-t-il si dans ce procédé on remplace l'entier $b$ par un réel $\beta>1$ ?
Nous verrons dans cet exposé les différences de fonctionnement des bases $\beta$ par rapport aux bases entières et parlerons de l'intérêt de considérer certaines classes de nombres comme les nombres de Pisot en tant que bases -
Abraham Sylla
Conservation Laws and Traffic Modeling
13 avril 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Conservation Law is the name given to a certain class of Partial Differential Equations. Systems of Conservation Laws often naturally arise to describe physical phenomena such as shallow water flows, wave propagation or gas dynamics. In fact, inspired by the gas dynamics, Conservation Laws have been a reliable tool in the last 25 years to model traffic flow dynamics. This talk will serve as an introduction to the theory of Conservation Laws as well as a showcase of how these equations are used in macroscopic traffic modeling. Several numerical simulations are proposed to accompany the presentation and illustrate the different concepts. -
Ons Rameh
Le processus d'exclusion asymétrique : Limite hydrodynamique et phénomène de Cut-off
20 avril 2023 - 16:30Salle C8
L'exclusion asymétrique (ASEP) est un processus stochastique qui modélise les interactions de particules en compétition. Il a été introduit par Spitzer en 1970 comme modèle de gaz sur réseau à température infinie puis par Clifford et Sandburry en 1973 comme la compétition de deux espèces qui se disputent un territoire. Dans cet exposé, je vais d'abord expliquer le comportement macroscopique de ce type de processus de particules en interactions. Dans un second temps, je parlerai du comportement de l'ASEP en temps longs en mettant en évidence le phénomène de Cut-off. -
Antoine Feltz
Des algèbres de Lie semisimples aux diagrammes de Dynkin : vers une classification
4 mai 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Après une présentation générale de la théorie des algèbres de Lie et de ses concepts fondamentaux, nous expliquerons la classification des algèbres de Lie semisimples. En s'appuyant sur l'exemple des matrices de trace nulle, nous montrerons comment partir d'une algèbre de Lie pour obtenir son diagramme de Dynkin associé. Cela nous permettra aussi d'exposer les théorèmes de structure des ces algèbres et de comprendre comment s'établit la classification. -
Claire Alamichel
Modélisation de la motilité cellulaire en présence d'un signal extérieur
9 mai 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
La motilité cellulaire est un mécanisme biologique intervenant dans plusieurs phénomènes biologiques tels que la réponse immunitaire, la cicatrisation, l'embryogenèse ou le développement d'un cancer. Dans cet exposé, en m'inspirant du modèle développé par Lavi-Meunier-Voituriez-Casademunt, je présenterai d'abord la construction d'un modèle à frontière libre décrivant la motilité cellulaire lors de la présence d'un signal extérieur. Ensuite, je présenterai dans un cas particulier en dimension 1 quelques propriétés mathématiques de ce modèle ainsi que des résultats numériques. -
Rym Smai
Le théorème de Liouville: un résultat de rigidité en géométrie conforme
26 mai 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Le théorème de Liouville est un résultat fondamental de géométrie conforme. Il stipule que toute application conforme (i.e. qui préserve localement les angles) lisse entre ouverts d'un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à trois, est la restriction d'une composée de similitudes et d'inversions. Ce résultat est une manifestation de la rigidité des applications conformes en dimension supérieure ou égale à trois. Dans cet exposé, nous expliquerons en quoi le théorème de Liouville est un résultat de rigidité. Puis, nous en donnerons une preuve géométrique en dimension 3. -
Yohann Bouilly
Sur une approche dynamique des variétés de caractères
1 juin 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Les variétés de caractères d'une surface dans un groupe de Lie encodent des structures géométriques sur cette surface. Le groupe modulaire de la surface agit sur ces variétés. Nous aborderons des questions liées à la dynamique de cette action. -
Renan Laureti
Écritures en bases \beta et nombres de Pisot
8 juin 2023 - 16:30Salle de séminaires IRMA
La méthode usuelle que nous utilisons pour écrire les nombres réels est le développement en base entière, qui consiste à exprimer un nombre réel $x$ selon les puissances négatives d'un entier $b>1$. Une question naturelle pour étendre ce procédé est la suivante : Nous verrons dans cet exposé les différences de fonctionnement des bases $\beta$ par rapport aux bases entières et parlerons de l'intérêt de considérer certaines classes de nombres comme les nombres de Pisot en tant que basesQue se passe-t-il si dans ce procédé on remplace l'entier $b$ par un réel $\beta>1$ ? -
Thomas Saigre
Réduction de modèles et analyse de sensibilité appliqué à un modèle biophysique dans l'œil humain
15 juin 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
La compréhension du fonctionnement des processus biophysiques et des phénomènes sous-jacents aux maladies oculaires est cruciale pour permettre aux médecins de diagnostiquer avec précision les pathologies, de proposer des traitements adaptés et d'améliorer les résultats cliniques pour leurs patients. Cependant, la modélisation de ces processus complexes nécessite la connaissance de divers paramètres, dont certains peuvent jouer un rôle essentiel dans le développement des pathologies. Bien que certaines données médicales aient été récemment acquises, seuls quelques paramètres et leur variabilité sont connus, tandis que d'autres ne peuvent être directement mesurés. Afin d'identifier les principaux facteurs influençant le comportement biomécanique de l'œil, il est nécessaire d'étudier l'influence de ces paramètres à travers un processus de quantification de l'incertitude qui implique de nombreuses évaluations des modèles. Cependant, ce processus est coûteux, en particulier pour les modèles 3D. Par conséquent, l'utilisation d'une approche de réduction de modèle s'avère essentielle pour réduire le coût de calcul. Dans cette présentation, nous introduirons la méthode des bases réduites comme moyen de réduire le modèle tout en préservant ses caractéristiques essentielles. Nous présenterons également l'utilisation des indices de Sobol, une approche statistique, pour évaluer l'influence des paramètres du modèle sur les résultats. Ces deux parties seront complétées de résultats obtenus sur un modèle de transfert de chaleur dans le globe oculaire humain. -
Basile Coron
Un bref aperçu des structures o-minimales
22 juin 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
On introduira la notion de structure o-minimale, sujet de recherche actif en logique mathématique. Cette notion sera motivée par de nombreux exemples et appliquée à un problème de géométrie diophantienne. -
Jean-Pierre Noot
Étude de durée de vie de filtres moteurs
29 juin 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
Estimation de durée de vie de composants moteurs (filtres à huile) à patrir des séries chronologiques issues des capteurs moteurs. Méthodes basées sur les données : modèles de Deep Learning (LSTMs, Transformers) pour estimer plus ou moins directement la durée de vie des filtres. -
Paul Laubie
Infinité des nombres premiers : une preuve topologique
14 septembre 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
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Alex Podgorny
Analogie entre TCL et TVE
21 septembre 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
L'échantillon de n variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées est l'objet d'étude le plus basique des statistiques. Le comportement de la somme d'un tel échantillon (sous l'hypothèse d'une variance finie) est bien connu : c'est le Théorème Central Limite (TCL). Comme son nom l'indique, ce théorème nous renseigne sur la partie "centrale" de la distribution (là où le poids de probabilité est concentré). Si au contraire nous voulons nous intéresser à la queue droite (resp. gauche) de la distribution, la variable d'intérêt sera le maximum (resp. le minimum) de l'échantillon. À l'instar de la somme, le comportement du maximum est aussi connu : c'est le Théorème des Valeurs Extrêmes (TVE). L'objectif de ce séminaire est d'explorer l'analogie entre ces deux théorèmes fondamentaux. -
Robin Riegel
Théorie de Morse
28 septembre 2023 - 16:30Salle de conférences IRMA
La théorie de Morse est fondée autour de la remarque que les points critiques d'une fonction "de Morse" et ses trajectoires de gradients encodent la topologie d'une variété compacte. En effet, nous verrons que la topologie des sous-niveaux de la fonction de Morse ne change que lorsqu'on croise un point critique et le lemme de Morse permet d'expliciter la topologie d'une variété autour d'un point critique. Il est donc naturel de construire des invariants topologiques à partir de ces points critiques et trajectoires : les groupes d'homologie de Morse. Cette théorie permet non seulement de calculer simplement et visuellement les groupes d'homologie de nombre de variétés simples mais est surtout intéressante dans sa construction explicitant une manière d'extraire des informations d'objets que l'on peut considérer comme points critiques (quelques exemples : géodésiques comme points critiques de la fonctionnelle de longueur ; trajectoires hamiltoniennes 1-périodiques comme points critiques de la fonctionnelle d'action pour la théorie de Floer ; SU(2) variété de caractères associée à un nœud comme points critiques de la fonctionnelle de Chern-Simons pour la théorie d'homologie instanton.)