Séminaire Equations fonctionnelles

organisé par l'équipe EFAC

  • Jacky Cresson

    Non-intégrabilité analytique

    26 janvier 2012 - 14:00Salle de conférences IRMA

    Nous généralisons en toute dimension le théorème suivant du à J. Moser : un difféomorphisme analytique admettant un point fixe hyperbolique dont les variétés stable et instable se coupent transversalement n'admet pas d'intégrale première analytique. La démonstration n'utilise pas le théorème de Smale-Birkhoff comme dans la démonstration de J. Moser, mais une approche directe et géométrique.

  • Eduardo Corel

    Connexions méromorphes, immeuble de Bruhat-Tits et convexité tropicale

    31 janvier 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    J'expliquerai comment l'immeuble affine de Bruhat-Tits apparaît naturellement dans l'étude locale des connexions méromorphes sur une surface de Riemann. Je montrerai comment l'appliquer pour calculer le type d'un fibré vectoriel, puis pour le problème de Riemann-Hilbert. Enfin, je donnerai une application plus inattendue, à savoir le calcul du rang de Katz de la connexion par les méthodes de la géométrie tropicale.

  • Ainhoa Aparicio Monforte

    Corps de séries de Laurent formelles à plusieurs variables

    20 mars 2012 - 10:30Salle de séminaires IRMA

    Les séries de Laurent formelles à une indéterminée et à coefficients dans un corps commutatif K  forment, on le sait,  un corps commutatif pour la somme terme à terme  et le produit de Cauchy. Dans le cas de plusieurs variables,   l'exemple de la série de Laurent x+y\in K((x,y)) montre que c'est moins simple et que la notion d'inverse multiplicatif n'est pas bien définie. En partant de la construction introduite par Mc Donald pour les séries de Laurent à plusieurs variables et à support contenu dans un cône  rationnel strictement convexe, nous introduisons les ajustements nécessaires  permettant de définir les notions d'inverse et d'ordre pour une construction rigoureuse des corps de séries de Laurent formelles à plusieurs variables.  Ceci est un travail en commun avec Manuel Kauers (RISC, Linz).

  • Jean-François Mattei

    Monodromie d'un feuilletage holomorphe sur une surface, le long d'un diviseur compact

    27 mars 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA

  • Olivier Bouillot

    Evaluation numérique des invariants holomorphes de difféomorphismes résonants

    3 avril 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA

  • Loïc Teyssier

    Holomorphie(s) dans les espaces de séries convergentes

    10 avril 2012 - 10:30Salle de séminaires IRMA

    Plusieurs notions d'holomorphie co-existent sur les espaces vectoriels complexes localement convexes (Fréchet, Gâteaux, développement en série d'applications multi-linéaires continues). Des théorèmes généraux reliant ces différentes notions existent, essentiellement pour les Banach ou les Fréchet, sans qu'il y ait équivalence totale entre ces notions. La difficulté principale repose sur l'absence d'un moyen naturel de se ramener à des fonctions holomorphes habituelles (d'un nombre fini de variables) à part par la composition à gauche par des formes linéaires continues (holomorphie faible). Par ailleurs l'absence d'un théorème d'inversion locale dans les Fréchet empêche le développement d'une géométrie différentielle de portée générale dans ces espaces.

    Aucune étude spécifique n'a été menée sur l'espace vectoriel C{z} des germes de fonctions holomorphes en 0. Néanmoins cet espace, qui peut être muni d'une topologie localement convexe métrisable non-Baire, possède une spécificité en le sens où on obtient naturellement des fonctions holomorphes par l'évaluation en z. Avec Y. Genzmer nous avions introduit une notion forte d'holomorphie sur cet espace afin de récupérer des propriétés de type Baire associée à de "bons" fermés de C{z}, ceux qui sont des ensembles "analytiques". J'ai continué ce travail et propose d'exposer les premiers éléments d'une géométrie différentielle analytique sur C{z} (en l'absence, peut-être provisoire, d'un théorème d'inversion locale satisfaisant), après avoir exploré les relations entre les différentes incarnations des notions d'holomorphie générales sur C{z} ainsi que la forte. Je montrerai en particulier comme application directe de la théorie le résultat suivant :

    L'ensemble des sous-groupes de type fini de Diff(C,0) possédant des relations non-triviales est analytiquement maigre.

    Pour conclure j'esquisserai quelques pistes qui pourraient permettre de s'attaquer à la question de l'algébrisation des objets analytiques locaux, en particulier en prouvant que la possibilité d'algébrisation d'un tel objet est une condition analytique. Par exemple la question de savoir si toute fonction méromorphe de n>1 variables est localement conjuguée à un jet d'ordre fini (ou tout autre fraction rationnelle) est encore ouverte, alors que les premiers résultats de géométrie différentielle sur C{x,y} obtenus semblent indiquer un moyen de construire un exemple de fonction méromorphe non-algébrisable.

  • Gabriel Calsamiglia

    Déploiements équisinguliers et espace de modules de singularité dicritique

    17 avril 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA

  • Helena Reis

    Sur le domaine de definition des solutions des champs uniformisables et quelques applications.

    22 mai 2012 - 10:30Salle de séminaires IRMA

    Nous considérons une méthode de nature géométrique pour étudier le domaine maximal où sont définies les solutions d'un champ de vecteurs polynomial uniforme. Comme application, on obtient un résultat de confinement de solutions pour les champs polynomiaux complets de C^n. Cela s'interprete comme un phénomène de "super non-ergodicité pour ces champs" et sert aussi a illustrer la distortion des métriques utilisées dans le lemme d'Ahlfors. Comme une autre application de ces idées, on sera amené à considérer des sommes de séries de Poincaré le long "d'arcs géodésiques" et on retrouvera une bonne partie des résultats de Guillot concernant les équations de Halphen. (Travail en collaboration avec Julio Rebelo)

  • Gilles Robert

    Sur les relations abéliennes des tissus de codimension un.

    29 mai 2012 - 10:30Salle de séminaires IRMA

    La notion de relation abélienne est centrale dans la théorie des tissus. Cet exposé a pour but d'en préciser quelques aspects importants. Dans un premier temps, une étude des relations entre jets permet de construire une famille de fibrés vectoriels dont les relations abéliennes sont de manière naturelle des sections particulières, cette construction permettant d'illustrer les bornes devenues classiques sur le rang d'un tissu (borne de Castelnuovo pour les tissus en position générale, borne de Cavalier-Lehmann pour les tissus génériques) comme cas particuliers d'une majoration par le "rang infinitésimal" du tissu. Ensuite, une étude simple des propriétés des fonctions susceptibles d'intervenir dans de telles relations abéliennes permettra de restreindre la recherche de telles relations à des sous-espaces vectoriels particuliers, dont certains sont de dimension finie. Enfin, on développera des exemples mettant en lumière les différentes techniques mises en oeuvre, y compris en ce qui concerne les difficultés liées à une éventuelle généralisation (à mettre en place) en codimension supérieure.

  • Loïc Teyssier

    Holomorphie en dimension infinie : application aux équations différentielles

    5 octobre 2012 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    On applique la théorie de l'analyticité dans les espaces de séries convergentes à deux questions relevant de la théorie des équations différentielles.

    Théorème 1 : Génériquement, un germe de fonction holomorphe d'une variable z n'est pas solution d'une équation différentielle polynomiale en z et en un nombre fini de ses dérivées.

    Théorème 2 : Parmi les équations différentielles du premier ordre y'=f(x,y), avec f méromorphe au voisinage de (0,0) ayant une partie linéaire nulle en ce point, celles qui sont résolubles par quadratures sont incluses dans un sous-ensemble analytique propre (i.e. d'intérieur vide).

  • Jean-Philippe Rolin

    Théorème de rectilinéarisation dans le cadre quasi-analytique

    8 octobre 2012 - 10:30Salle de séminaires IRMA

    Le théorème de rectilinéarisation d'Hironaka ffirme que tout ensemble sous-analytique peut être transformé localement en union finies de quadrants, au moyen de suite d'éclatements de son espace ambiant. Ce résultat permet de décrire l'essentiel des propriétés géométriques des ensembles sous-analytiques. Sa preuve repose fortement sur le théorème de préparation de Weierstrass. Nous montrons comment étendre cet énoncé au cadre quasi-analytique, en remplaçant le théorème de préparation par un argument de théorie des modèles (travail en commun avec Tamara Servi).