Skip to main content

Section 17.3 Méthodes de fermeture

Les méthodes de fermeture [1.9] - [1.10] sont une des solutions pour essayer de limiter les problèmes issus de la forte non-linéarité de l'équation. Prenons l'exemple de la POD, dans ces régimes nonlinéaires la décroissance des valeurs propres est lentes (même dans cas un cas sans transport comme le sinus). En prenant peu de modes on tronque donc une partie de la physique qui peut être non négligeable. On se trouve dans le régime dit sous-résolu. On va reprendre les explications de (ref).

On suppose qu'on correctement approchées nos données avec trois modes:

\begin{equation*} \boldsymbol{x}\approx\hat{x}_1(t)\boldsymbol{\phi}_1+\hat{x}_2(t)\boldsymbol{\phi}_2+\hat{x}_3(t)\boldsymbol{\phi}_3 \end{equation*}

avec un modèle qui décrit la propagation en temps qui est obtenu par projection de Galerkin:

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \frac{d \hat{x}_1(t)}{dt}=F_{1}(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)\\ \frac{d \hat{x}_2(t)}{dt}=F_{2}(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)\\ \frac{d \hat{x}_3(t)}{dt}=F_{3}(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) \end{array}\right. \end{equation*}

Maintenant on suppose qu'on veut passer d'une représentation à trois modes à une représentation à deux modes et supposons que les deux modes principaux sont \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) on souhaite donc écrire un modèle sur leurs évolutions en temps. Le modèle le plus complet pour les décrire est tout naturellement

\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \frac{\hat{x}(t)}{dt}=F_{1}(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)\\ \frac{\hat{x}(t)}{dt}=F_{2}(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) \end{array}\right.\tag{17.49} \end{equation}

Il est même exact si on connaît \(\hat{x}_3(t)\text{.}\) Pourle moment le modèle n'est pas résolvable, car on ne connaît pas \(\hat{x}_3(t)\text{.}\)

Définition 17.26. Notion de fermeture.

Une fermeture pour le modèle (17.49) est une relation du type

\begin{equation*} \hat{x}_3(t)\approx \tau(\hat{x}_1(t),\hat{x}_2(t)) \end{equation*}

On peut se convaincre que la projection de Galerlin a deux modes revient à prendre la fermeture \(\hat{x}_3(t)=0\) et donc le modèle

\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \frac{\hat{x}_1(t)}{dt}=F_{1}(\hat{x}_1,\hat{x}_2,0)\\ \frac{\hat{x}_2(t)}{dt}=F_{2}(\hat{x}_1,\hat{x}_2,0) \end{array}\right.\tag{17.50} \end{equation}

Evidemment dans les vrai application, la décomposition qui est bonne est celle en grande dimension et celle qu'on souhaite fermer est celle sur l'espace réduit. Donc imaginons que l'on traite

\begin{equation} \frac{d\bs{x}(t)}{dt}=\bs{F}(\bs{x}(t))\tag{17.51} \end{equation}

et que une méthode de projection donne le modèle réduit:

\begin{equation*} \frac{d\hat{\bs{x}}(t)}{dt}=\hat{\bs{F}}(\hat{\bs{x}}(t)) \end{equation*}

alors la construction d'une fermeture revient à chercher \(\tau()\) tel que le modèle suivant

\begin{equation*} \frac{d\hat{\bs{x}}_c(t)}{dt}=\hat{\bs{F}}(\hat{\bs{x}}_c(t))+\tau(\hat{\bs{x}}_c(t)) \end{equation*}

qui permettrait d'obtenir

\begin{equation*} \int_{0}^T\parallel \Phi \hat{\bs{x}}_c(t) - \bs{x}(t)\parallel\leq \int_{0}^T\parallel \Phi \hat{\bs{x}}(t) - \bs{x}(t)\parallel \end{equation*}

L'enjeu de la construction des modèles de fermeture est de savoir comment. Pour cela on va essayer de se convaincre ce de que dois approcher la fermeture en introduisant le modèle idéale (ce qui va généraliser l'exemple précédent).

Pour cela on introduit deux espaces vectoriels: l'espace des échelles résolues

\begin{equation} V_r=\operatorname{Vect}(\left\{\bs{\phi}_1,..., \bs{\phi}_K\right\})\tag{17.52} \end{equation}

et celui des échelles non résolues

\begin{equation} V_n=\operatorname{Vect}(\left\{\bs{\phi}_{K+1},..., \bs{\phi}_n\right\})\tag{17.53} \end{equation}

L'espace de résolution maximale est donné par \(V_{max}=V_r \oplus V_n\text{.}\) Par conséquent:

\begin{equation*} \bs{x}=\hat{\bs{x}}+\bs{x}_n=\sum_{i=1}^{K}\hat{x}_{i}(t)\bs{\phi}_i +\sum_{i={K+1}}^{n}x_{i,n}(t)\bs{\phi}_i \end{equation*}

On suppose ici la base orthogonale et on prend \(\bs{x}_ref=0\) pour simplifier les choses. Puisque la base est orthogonale on a:

\begin{equation} \Phi_K^t\frac{ d\bs{x}(t)}{dt}= \Phi_K^t\bs{F}(\bs{x}(t))\tag{17.54} \end{equation}

donc en utilisant (17.54) on a

\begin{equation} \frac{ \hat{\bs{x}(t)}}{dt}=\underbrace{\Phi_K^t\bs{F}(\Phi_K\hat{\bs{x}}(t))}_{GLS} + \underbrace{\Phi_K^t(\bs{F}(\bs{x}(t))-\bs{F}(\Phi_K\hat{\bs{x}}(t))) }_{rest}\tag{17.55} \end{equation}

On reconnaît dans l'équation (17.55) le modèle issu de la projection de Galerkin plus un terme additionnel. On peut en déduire une définition de fermeture idéale.

Définition 17.27. Fermerture idéale.

Soit le modèle (17.9). Soit la projection de Galerkin (17.23) associée (avec \(\bs{x}_{ref}=0\)):

\begin{equation*} \frac{ \hat{\bs{x}(t)}}{dt}=\Phi_K^t\bs{F}(\Phi_K\hat{\bs{x}}(t)) \end{equation*}

Alors une fermeture est un terme \(\tau(\hat{\bs{x}(t)})\) solution de

\begin{equation} \frac{ \hat{\bs{x}(t)}}{dt}=\Phi_K^t\bs{F}(\Phi_K\hat{\bs{x}}(t))+\tau(\hat{\bs{x}}(t))\tag{17.56} \end{equation}

avec

\begin{equation*} \tau(\hat{\bs{x}}(t))= \Phi_K^t(\bs{F}(\bs{x}(t))-\bs{F}(\Phi_K\hat{\bs{x}}(t))) \end{equation*}

TOOO DOOO: simu qui montre les modes et la reconstruction et montre qu'ils sont souvent de plus en plus oscillants.

Subsection 17.3.1 Modèle de type viscosité artificielle

La simulation (ref) que plus on ajoute de modes plus on va avoir des oscillations de grandes fréquences. L 'ajout de modes permet de mieux reconstruire la solution, mais ajoute des oscillations rapides. Lorsqu'on fait des éléments finis ou des méthodes spectrales pour les EDP, on peut aussi constater ce phénomène qu'on appelle oscillations de Gibbs. Il est assez usuel dans ce cas d'utiliser une viscosité artificielle pour stabiliser ces effets qui ressemblent au effet de sous résolution de nos modèles réduits. De la même façon en turbulence, on utilise des modèles de diffusion pour approcher les échelles non résolues. Il paraît donc naturel d'utiliser le même genre d'approche et de construire un modèle de type viscosité pour la fermeture. En utilisant la projection dans le cas trilinéaire donné par (17.39) au cas de Burgers visqueux le modèle réduit s'écrit

\begin{equation} \frac{d \hat{\bs{x}(t)}}{dt}=\hat{B}(\bs{x}\otimes \bs{x}) +\frac{1}{R_e}\hat{L}\bs{x}\tag{17.57} \end{equation}

avec \(\hat{B}\) issu de la projection de discrétisation de la partie hyperbolique et \(L\) issu de la projection de la discrétisation du Laplacien.

Définition 17.28.

Soit modèle réduit (par projection de Galerkin) pour Burgers munis d'une fermeture linéaire \(C\text{:}\)

\begin{equation} \frac{d\hat{\bs{x}(t)}}{dt}=\hat{B}(\hat{\bs{x}}\otimes \hat{\bs{x}}) +\frac{1}{R_e}\hat{L}\hat{\bs{x}}+C(\hat{\bs{x}})\tag{17.58} \end{equation}

On parle de fermeture de type modèle constant de diffusion turbulente si elle est de la forme:

\begin{equation*} C(\bs{x} )= \nu D \hat{L}\bs{x} \end{equation*}

avec \(D\) une matrice diagonale \(\nu\) un coefficient de viscosité.

Cette viscosité va permettre de lisser les solutions issues des échelles non résolues par notre réduction notamment proche des forts gradients et des chocs.

On peut citer plusieurs modèles de viscosité constante qui font un choix différent pour \(D\text{:}\)

  1. Fermeture \(H\) (pour Heisenberg) :

    \begin{equation*} D_{kk}=1 \end{equation*}

  2. Fermeture \(R\) (pour Rempfer):

    \begin{equation*} D_{kk}=\frac{k}{K} \end{equation*}

  3. Fermeture \(RS\) :

    \begin{equation*} D_{kk}=\left(\frac{k}{K}\right)^2 \end{equation*}

  4. Fermeture \(RQ\) :

    \begin{equation*} D_{kk}=\left(\frac{k}{K}\right)^{\frac12} \end{equation*}

  5. Fermeture \(T\) (pour Tadmor) :

    \begin{equation*} D_{kk}= \chi_{k>M} \end{equation*}

  6. Fermeture de type 'Finite Time thermodynamic' :

    \begin{equation*} D_{kk}= \nu\sqrt{\frac{K(t)}{K}} \end{equation*}
    avec \(K(t)=\frac12\parallel \hat{\bs{x}}\parallel^2\) l'énergie des modes et \(K\) la moyenne en temps de \(K(t)\text{.}\)

Le premier choix revient à une viscosité constante à déterminer. Les choix suivants consistent à moins dissiper les premières modes de la réduction. La dernière, celle de Tadmor est moins "régulière" par rapport à la dépendance aux modes puisqu'elle ajoute zéro dissipation sur les premiers modes et on met sur les derniers uniquement.

Il existe une autre famille de modèle qu'on appelle les modèles de Smagorinsky. L'idée est d'ici est d'utiliser une viscosité artificielle non constante en espace. Puisque les phénomènes d'oscillations on lieu en général pour les forts gradients on propose d'utiliser une viscosité de la forme:

\begin{equation*} D = \mid D_x \Phi \hat{\bs{x}} \mid \end{equation*}

Cela nous donne l'opérateur de fermeture:

\begin{equation*} L(\hat{x})=\Phi^t \left( D_x( D\cdot D_x \Phi \hat{x} \right) \end{equation*}

Cela revient a utiliser comme coefficient de viscosité la norme du gradient et donc à ajouter de la diffusion lorsque le gradient est important. Ecrit nous cette forme ce modèle de viscosité doit être combiné avec une méthode d'hyper réduction. Pour cela on effectue une méthode DEIM sur la nonlinéarition issue du coefficient de diffusion :

\begin{equation*} \mid D_x \Phi \hat{\bs{x}} \mid \approx \Phi_{vis} \hat{\bs{d}}^{vis} \end{equation*}

avec une POD appliquée aux snapshots nonlinéaire qui donne \(k_{vis}\) modes dans \(\Phi_{vis}\) et \(\bar{\bs{d}}^{vis}\) la nonlinearité réduite obtenue par DEIM. En faisant quelques calculs vectoriels on peut obtenir que:

\begin{equation*} L(\hat{\bs{x}})= \sum_{k=1}^{k_{vis}}H_k \bar{\bs{d}}_k^{vis}\hat{\bs{x}} \end{equation*}

avec \(H_k=\Phi^t \left( D_x (\Phi_{vis} \odot D_x \Phi)\right)\text{.}\) Cela nous permet de construire une fermeture efficace sans repasser par l'espace de grande dimension. Cette approche conclut les exemples de fermeture basés sur la viscosité.

Subsection 17.3.2 Modèles basés sur l'apprentissage

On va maintenant introduite des principes de fermeture basés sur l'apprentissage. L'idée va être d'essayer de représenter les échelles manquantes en apprenant à les approcher par une fonction nonlinéaire des variables réduites. On rappelle que la fermeture idéale est la suivante:

\begin{equation*} \tau(\hat{\bs{x}}(t))= \Phi_K^t(\bs{F}(\bs{x}(t))-\bs{F}(\Phi_K\hat{\bs{x}}(t))) \end{equation*}

Une approche naturelle est donc d'approcher ce terme en utilisant une approche de type régression. Pour cela on se donne un modèle paramétrique \(C_{\theta}(\hat{\bs{x}})\) (modèle linéaire, a noyau, réseau de neurones) L'enjeu est maintenant de construire le modèle. Il y a deux type d'approches: la régression de modèle ou la régression de trajectoire.

Subsubsection 17.3.2.1 Régression de modèle

Le principe de la régression de trajectoire est de déterminer la fermture en construire un modèle qui se rapprochera le plus possible de la fermeture ideale.

Définition 17.29. Problème de régression de modèle.

On se donne une trajectoire \((\bs{x}^1, .... ,\bs{x}^n)\) obtenue en discrétisant le modèle complet (17.9). Le problème de régression de modèle revient à résourdre

\begin{equation} \underset{tau}{\operatorname{min}} \sum_{i=1}^n\parallel \Phi_K^t(\bs{F}(\bs{x}^i)-\bs{F}(\Phi_K\hat{\bs{x}}^i))- \tau(\hat{\bs{x}}^{i})\parallel_2^2\tag{17.59} \end{equation}
Une première approche va consister à prendre un modèle de viscosité et déterminer le coefficient de cette viscosité avec la régression (17.59). Une seconde approche consiste a choisir une fonction paramétrée du type:

\begin{equation*} \tau_{\bs{b},A_1,A_2}(\hat{\bs{x}})= \hat{\bs{b}}+ A_1\hat{\bs{x}} + A_2 (\hat{\bs{x}}\otimes \hat{\bs{x}}) \end{equation*}

On peut déterminer \(\hat{\bs{b}}\) et \(A_1\) avec une méthode de type moindre carrés et ensuite déterminer \(A_2\) de la même façon après.

Subsubsection 17.3.2.2 Régression de trajectoire

Le principe de la régression de trajectoire est de déterminer la fermture en essayant de rapprocher la simulation issu du modèlé réduit avec celle du modèle complet

Définition 17.30. Problème de régression de trajectoire.

On se donne une trajectoire \((\bs{x}^1, .... ,\bs{x}^n)\) obtenue en discrétisant le modèle complet (17.9). On discrétise le modèle réduit associé (17.23) avec un schéma en temps tel que \(\hat{\bs{x}}^{n+1}=S(\hat{\bs{x}}^{n},\tau)\) Le problèmé de régression de trajectoire revient à résourdre

\begin{equation} \underset{tau}{\operatorname{min}} \sum_{i=1}^n\parallel \Phi^t\bs{x}^i - \hat{\bs{x}}^{i}\parallel_2^2\tag{17.60} \end{equation}

sous la contrainte \(\hat{\bs{x}}^{i+1}=S(\hat{\bs{x}}^{i},\tau)\text{.}\)

Cette approche est notamment utilisée pour approcher les coefficients des fermeture e type viscosité artificielle introduite précédement. Prenons le cas d'une fermeture \(H\) et d'un schéma D'Euler en temps pour approcher le modèle réduit. Dans ce cas on obtient

\begin{equation*} \hat{\bs{x}}^{n+1}= \hat{\bs{x}}^{n}+\Delta t(\hat{B}(\hat{\bs{x}}^n\otimes \hat{\bs{x}}^n) +(\frac{1}{R_e}+\nu)\hat{L}\hat{\bs{x}}^n) \end{equation*}

Le problème de régression sur les trajectoires peut donc se réécrire dans ce cas:

\begin{equation*} \underset{\nu}{\operatorname{min}}\parallel \nu \hat{L}\hat{\bs{x}}^n -b(\hat{\bs{x}}^n,\hat{\bs{x}}^{n+1},\Phi \bs{x}^n )\parallel_2^2 \end{equation*}

avec \(b(\hat{\bs{x}}^n,\Phi \bs{x}^n )\) qui contient tous les termes qui ne multiplie pas \(\nu\text{.}\) Ce problème peut être facilement résolu par une méthode de gradient. Cette approche consiste a utiliser la méthode d'apprentissage d'EDO (ici on apprend qu'une partie de l'EDO) de la section Section 11.2. On peut aussi appliquer les autres apprentissages d'EDO.

En construction: Approche de type contrôle optimal