Pour les méthodes de type POD ou gloutonnes on fait l'hypothèse d'un décodeur linéaire (17.10). Ici on propose de modifier cette hypothèse fondamentale par une autre: Hypothèse quadratique.
On peut écrire les données \(\bs{x}(t,\bs{\mu})\in \mathbb{R}^d\) sous la forme
\begin{equation}
\bs{x}(t,\bs{\mu}) \approx \bs{x}_{ref}(\bs{\mu})+\Phi \hat{\bs{x}}(t,\bs{\mu}) + \bar{\Phi} (\hat{\bs{x}}(t,\bs{\mu})\otimes \hat{\bs{x}}(t,\bs{\mu}))\tag{17.72}
\end{equation}
Ici il faut construire \(\Phi\) et \(\hat{\Phi}\text{.}\) Le plus naturel est de construire \(\Phi\) avec une méthode de type POD ou gloutonne. Dans ce cas le terme quadratique sera la pour capturer l'erreur restante qui est donnée par la somme des valeurs propres associées aux vecteurs propres non sélectionnés dans \(\Phi\text{.}\) Dans ce cas on peut construire notre décodeur en résolvant le problème:
\begin{equation}
\bar{\Phi}=\underset{\bar{\Phi}\in \mathbb{R}^{d,m^2}}{argmin}\sum_{i=1}^n
\Norm \bs{x}_i - \bs{x}_{ref}- \Phi\hat{\bs{x}}- \bar{\Phi}(\hat{\bs{x}}\otimes \hat{\bs{x}})\Norm_2^2\tag{17.73}
\end{equation}
avec \(\hat{\bs{x}}=\Phi^t(\bs{x}_i - \bs{x}_{ref})\text{.}\)
Résoudre ce problème revient à cherche un terme quadratique qui approche l'erreur de projection linéaire.
Proposition 17.42.
Le problème (17.73) auxquels on ajoute un peu de régularisation peut se réécrire sous la forme
\begin{equation}
\underset{\bar{\Phi}\in \mathbb{R}^{d,m^2}}{argmin}\frac12\parallel W \bar{\Phi}^t - (I_d - \Phi\Phi^t)(X-X_{ref})\parallel_F^2 +
\frac{\gamma}{2}\parallel \bar{\Phi} \parallel_F^2 \tag{17.74}
\end{equation}
avec \(X_i=\bs{x}_i\) et
\begin{equation*}
W=\begin{pmatrix}
\mid \amp ... \amp \mid \\
\hat{\bs{x}}_1\otimes \hat{\bs{x}}_1 \amp ... \amp \hat{\bs{x}}_n\otimes \hat{\bs{x}}_n \\
\mid \amp ... \amp \mid \end{pmatrix}
\end{equation*}
Proposition 17.43.
Le problème (17.74) admet comme unique solution l'équation
\begin{equation*}
\bar{\Phi}=\Phi_{\perp}\left(\Phi_{\perp}^t(X-X_{ref})W^t(W W^t)^{-1} \right)\in \mathbb{R}^{n,\frac{k(k+1)}{2}}
\end{equation*}
Preuve.
Par éliminant la redondance dans les produits de Kronecker \(\hat{\bs{x}}_i\otimes \hat{\bs{x}}_i\) on peut réduire le nombre de colonnes dans \(\bar{\Phi}\) de \(k^2\) à \(\frac12(k(k+1))\text{.}\)