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Précisions spécifiques aux UE 122 et 123 concernant l’évaluation

Ces précisions viennent en complément aux informations déjà transmises par la direction de la licence. Ce même texte sera ou a déjà été mis en ligne sur les pages Moodle des UE 122 et 123.

Note de CC en 122 et 123. Nous allons fusionner les notes de CC dans les UE 122 et 123, ce qui sera à votre avantage. La note de CC appliquée dans les deux UE sera calculée en prenant le max des notes de CC obtenues dans chacune d’entre elles. Ceci vaut aussi bien pour les étudiants inscrits en présentiel que pour les étudiants inscrits en EAD. Pour ces derniers, la note portera sur les DM que vous avez eu à rendre dans chacune des UE.

Format de l’examen final du mardi 19 mai. Vous recevrez un sujet qui peut être fait en 1h30 avec de la matière de 122, et un exercice supplémentaire qui peut être fait en 30 min. avec de la matière portant sur des choses vues en 123 :
— si vous n’êtes pas inscrit en 123, vous ferez seulement les exercices de la partie 122, soit 1h30 d’épreuve,
— si vous suivez à la fois 122 et 123, vous ferez l’intégralité du sujet, soit 2h d’épreuve.

Note de l’examen final.  Appelons T122 la note sur la première partie de l’épreuve finale (celle de 1h30), notée sur 30, et T123 la note sur la deuxième partie (celle de 30 min.), notée sur 10. La note finale T est entendue sur 50.

En 122, la note T sera T = 5/3 * T122

En 123, la note T sera T = 5/4 * max (2/3 * T122 + 2 * T123, T122 + T123)

Max interne à l’épreuve finale. Nous respecterons les engagements pris par l’université sur le fait qu’aucune évaluation sur le matériel enseigné à distance ne pourra vous porter préjudice. Pour cela, un max interne à l’épreuve sera utilisé, entre la note totale et la note obtenue en tenant seulement compte des exercices portant sur le programme vu en présentiel.

Programme de l'examen en 123

Matière vue en présentiel : diagonalisabilité, trigonalisabilité, espaces propres, espaces caractéristiques, polynômes d’endomorphismes (hors polynôme minimal).

Matière vue en confinement : décomposition de Dunford, forme normale de Jordan.

(Le polynôme minimal n’est pas au programme. Les applications aux équations différentielles et aux récurrences linéaires ne sont pas au programme.)

Programme de l’examen en 122

Matière vue en présentiel : dualité, déterminant, permutations.

Matière vue en confinement : décomposition de Dunford et exponentielles

Cordialement,

Alexandru Oancea et Guillaume Maurin

Mis en ligne le 6 mai 2020 à 14h30

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DOCUMENTS VIDÉO ET NOTES DES COURS EN LIGNE

Cette section contient deux types de documents.
    1. Des enregistrements hors-ligne, chacun accompagné des notes manuscrites sous format PDF de l'enregistrement en question.
    2. Des notes manuscrites des cours et TD donnés en ligne.

Corrigé partiel de la feuille de TD 3.
    Exercice 2 (20 min, 13.8 Mb, enregistrement hors-ligne). Document PDF.
    Exercice 4 (23 min, 20.7 Mb, enregistrement hors-ligne). Document PDF.

    Notes de TD du 23 mars 2020 (format PDF) : Exercice 4, Exercice 5, Exercice 6.i
    Notes de TD du 30 mars 2020 (format PDF) : Exercices 6.ii et 7.1.i

Corrigé partiel de la feuille de TD 4.
    Notes du TD du 30 mars 2020 (format PDF) : Exercice 1
    Notes du TD du 20 avril 2020 (format PDF) : Exercices 2a, 3a,c
    Notes du TD du 27 avril 2020 (format PDF) : Exercices 4a,b,c,d et 6a

Cours 6 (décomposition de Dunford)
    Partie 1 (1h37, 80.7 Mb, enregistrement hors-ligne) : endo. nilpotents, décomposition de Dunford, algorithme. Document PDF.
    Partie 2 (25 min, 18.9 Mb, enregistrement hors-ligne) : endomorphismes qui commutent. Document PDF.
    Partie 3 (35 min, 32.7 Mb, enregistrement hors-ligne) : unicité de la décomposition de Dunford. Document PDF.

Les parties 1 et 2 ont été traitées en présentiel dans l'Amphi A, mais pas dans l'Amphi B. La partie 3 est nouvelle pour tout le monde. C'est un complément qui ne sera pas exigible.

Cours 7 (forme normale de Jordan)
     Partie 1 (1h03, 56.7 Mb, enregistrement hors-ligne) : forme normale de Jordan. Document PDF.
     Partie 2 (17 min, 20.7 Mb, enregistrement hors-ligne) : application aux puissances de matrices. Document PDF.
     Partie 3 (33 min, 45 Mb, enregistrement hors-ligne) : application au calcul du polynôme minimal. Document PDF.

     Les parties 1 et 2 correspondent au cours donné en Amphi à distance. La partie 3 est un complément qui ne sera pas exigible. Elle éclaire la signification de la forme normale de Jordan et celle du polynôme minimal.

    Notes du cours 7 donné en ligne le 31 mars 2020 pour l'Amphi A (format PDF).

Cours 8 (applications aux récurrences linéaires et aux équations différentielles linéaires)
    Enregistrement hors-ligne (51 min, 82.8 Mb) : récurrences linéaires et aux équations différentielles. Document PDF.

    Notes du cours 8 donné en ligne le 21 avril 2020 pour l'Amphi A (format PDF).

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Polycopié du cours : Version finale et complète, mise en ligne le 23 avril 2020. Par rapport à la version précédente, j'ai rajouté la section 2.5, dans laquelle je discute les applications de la réduction des endomorphismes aux équations différentielles et aux récurrences linéaires.

Chapitres 0 et 1, sections 2.1-4 du chapitre 2 (mis en ligne le 31 mars 2020). La forme normale de Jordan est discutée dans la section 2.4.


Chapitres 0 et 1, sections 2.1-3 du chapitre 2 (mis en ligne le 10 mars 2020)

Chapitres 0 et 1 (mis en ligne le 12 février 2020)

Partie 1 (diagonalisation, trigonalisation)  (obsolète, mis en ligne fin janvier 2020)

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Feuilles de TD :   

n^o 1 (sommes directes, valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique, matrices diagonalisables)
Corrigé de la feuille de TD 1

n^o 2 (supplémentaires, trigonalisation, polynômes d'endomorphismes)
Corrigé de la feuille de TD 2

n^o 3 (diagonalisation, trigonalisation, polynômes d'endomorphismes)
Corrigé de la feuille de TD 3

n^o 4 (décomposition de Dunford, forme normale de Jordan)
Corrigé de la feuille de TD 4

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Autres références :

X. Gourdon, Les maths en tête : Algèbre. 

Polycopié de l'ancien cours LM270, ensuite 2M270, rédigé par Laurent Koelblen et Patrick Polo, repris par Vincent Humilière, 2016.
Disponible sur les pages web des auteurs (Polo, Humilière) ou ici (version 2016).

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ÉTAT D'AVANCEMENT DU COURS (les numéros font référence au polycopié)

Cours 1

Amphi A (mardi 28 janvier).

Nous avons traité en entier le Chapitre 0 du polycopié : somme de sous-espaces vectoriels, somme directe, exemples (§0.1). Valeurs propres, espaces propres, vecteurs propres, diagonalisabilité, conditions équivalentes de diagonalisabilité (Définition 0.2.3), condition suffisante de diagonalisabilité (Proposition 0.2.4), exemples. Polynôme caractéristique ; les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique (§0.3).


Amphi B (mercredi 29 janvier).

Nous avons traité les sections 0.1 et 0.2 du Chapitre 0 du polycopié : somme de sous-espaces vectoriels, sommes directes, supplémentaires, exemples (§0.1). Valeurs propres, espaces propres, vecteurs propres, diagonalisabilité, conditions équivalentes de diagonalisabilité (Définition 0.2.3), condition suffisante : diagonalisabilité dans le cas où l’endomorphisme admet $n=\dim (V)$ valeurs propres distinctes (Proposition 0.2.4).



Cours 2

Amphi A (mardi 4 février).

Motivation pour la diagonalisation : calculer des puissances de matrices. Si $A = PDP^{-1}$, alors $A^n = PD^n P^{-1}$.

Section 1.1 du polycopié : critère de diagonalisabilité (polynôme scindé et multiplicité géométrique égale à la multiplicité algébrique). Exemples des blocs de Jordan qui ne satisfont pas le critère.

Définitions : polynômes scindés, corps algébriquement clos. Exemples.

Trigonalisabilité. Définition. Exemples. Section 1.3 du polycopié : énoncé du critère de trigonalisabilité 1.3.3. Preuve de l’implication très facile (trigonalisable $\Rightarrow$ polynôme caractéristique scindé). Exemples. La rotation d’angle $\pi/2$ dans $\mathbb{R}^2$ n’est pas trigonalisable sur $\mathbb{R}$.


Amphi B (mercredi 5 février).

Section 0.3 : rappels sur le polynôme caractéristique

Définition : multiplicité $m$ d’une racine $a$ d'un polynôme $P$ définie de 3 façons différentes :
—  plus grand exposant d’une puissance de $(X-a)$ divisant $P(X)$,
—  plus petit ordre de dérivation tel que $P^{(m)}(a) \neq 0$,
—  existence d’un polynôme $Q(X)$ tel que $P(X)=(X-a)^m Q(X)$ et $Q(a)\neq 0$.

Définitions : corps algébriquement clos, polynôme scindé.

Section 1.1 : définition de la multiplicité géométrique d’une valeur propre et critère de diagonalisabilité 1.1.1 + preuve. Exemple de différence extrême entre multiplicités alg. et géom. : la matrice nilpotente U_n.

Section 1.2 : notion de sous-espace stable et d’endomorphisme induit.



Cours 3

Amphi A (mardi 11 février).

Critère de trigonalisabilité 1.3.3. Fin de la preuve : polynôme caractéristique scindé $\Rightarrow$ trigonalisable.

Explication du fait que la preuve est effective et peut être transformée en un algorithme de trigonalisation (pages 10-11 du polycopié sur Dropbox). Discussion en détail d’un exemple 3 $\times$ 3.

Polynômes d’endomorphismes. Premières propriétés. Enoncé du critère de diagonalisabilité. Preuve de l’implication facile (diagonalisable -> annulé par un polynôme scindé à racines simples).

Enoncé du théorème de Cayley-Hamilton.


Amphi B (mercredi 12 février).

Fin du paragraphe sur les sous-espaces stables (sans la proposition 1.2.4).


Paragraphe 3 sur la trigonalisation. L’exemple d’application de l’algorithme a été distribué sous forme papier.

Rappels sur les polynômes : tout facteur d’un polynôme scindé est aussi scindé (tout facteur irréductible du premier est facteur irréductible du second, donc de degré 1). Éléments irréductibles de k[X].

En dimension 2, la trace et le déterminant déterminent complètement P_A(X)=X^2-tr(A)X+dét(A).



Cours 4

Amphi A (mardi 25 février).


Démonstration complète du critère de diagonalisabilité. Preuve de l’implication difficile (annulation par un polynôme scindé à racines simples implique diagonalisabilité). Enoncé et preuve du lemme des noyaux. Enoncé du théorème de Bézout, analogie avec les nombres entiers. Exemples : endomorphismes d’ordre fini, projecteurs. Exemples de polynômes scindés, avec ou sans racines simples, sur R ou C.

Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton sur un corps quelconque (d’abord sur C, ensuite sur tout sous-corps de C, ensuite mention du fait que tout corps admet un clôture algébrique et explication du fait que les preuves sur C et ses sous-corps s’appliquent verbatim à tout corps algébriquement clos et à ses sous-corps). 


Amphi B (mercredi 26 février).

Paragraphe 4 sur les polynômes d’endomorphismes : tout sauf la proposition 1.4.7 : u diagonalisable sur k si et seulement si u est annulé par un polynôme scindé à racines simples sur k, dont une seule implication a été démontrée.

—  détails sur le théorème de Bézout, notamment pour k=\C (cf. appendice B).

—  remarques sur l’aspect effectif du théorème de Bézout : dans le cas r=2, les coefficients (Q_1,Q_2) peuvent se calculer grâce à l’algorithme d’Euclide, ce qui donne des projections effectivement calculables dans le théorème des noyaux pour tout r (car on applique seulement le cas r=2 du théorème de Bézout de façon récursive).


Cours 5

Amphi A (mardi 3 mars).

Section 1.7. Espaces caractéristiques. Définition. Stabilité, exemples. Théorème 1.7.4 de décomposition en espaces caractéristiques.

Section 1.8. Suite des noyaux. Définition. Proposition 1.8.1 et Corollaire 1.8.2, énoncés et preuves. Premiers éléments de l’algorithme de trigonalisation 2.0.

Amphi B (mercredi 4 mars).

— Fin de la preuve sur l’équivalence entre «u diagonalisable» et «u annulé par un polynôme scindé à racines simples»
— Paragraphe 5 sur le polynôme minimal
— Paragraphe 6 sur le théorème de Cayley-Hamilton
— Début du paragraphe 7 : définition des sous-espaces caractéristiques + remarques comme dans le poly + le fait que l’inclusion du sous-espace propre dans le sous-espace caractéristique est une égalité dans le cas de multiplicité 1 : les sous-espaces caractéristiques n’apportent rien de nouveau pour les racines simples du polynôme caractéristique.

Cours 6

Amphi A (mardi 10 mars).

Section 1.8. Description de l’algorithme de trigonalisation 2.0, discussion d’un exemple. FIN DU CHAPITRE 1.

CHAPITRE 2. Section 2.3. Énoncé du théorème de décomposition de Dunford 2.3.1. Exemples 2.3.2. Algorithme 2.0 appliqué pour déterminer la décomposition de Dunford. Discussion d’un contre-exemple 2.3.5 de matrice triangulaire supérieure sur laquelle la décomposition de Dunford n’est pas évidente.

Application de la décomposition de Dunford au calcul de puissances. Propriétés des endomorphismes qui commutent (Section 2.1). Formule du binôme de Newton pour une puissance de somme d’endomorphismes qui commutent. Cas particulier de la décomposition de Dunford.

Amphi B (mercredi 11 mars).

Toute la section 1.8, sauf la discussion de l'algorithme de trigonalisation 2.0 sur un exemple. FIN DU CHAPITRE 1.



À PARTIR DE CE POINT-CI, LE COURS CONTINUE EN LIGNE.


Cours 7

Amphi A (mardi 31 mars)

Section 2.4 : forme normale de Jordan. Énoncé du théorème d'existence et unicité, corollaires faisant le lien entre blocs de Jordan et espaces propres/caractéristiques, exemples, lemme d'engendrement de la forme normale de Jordan, applications aux calculs de puissances de matrices.