Séminaire Equations aux dérivées partielles
organisé par l'équipe Modélisation et contrôle
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Philippe Helluy
Reduced Vlasov-Maxwell modeling
6 janvier 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
We describe CLAC (Conservation Laws Approximation on many Cores), a generic Discontinuous Galerkin (DG) solver for three-dimensional electromagnetic simulations. The solver runs on clusters of GPUs, it is based on hybrid parallelism using the OpenCL and MPI libraries. We explain how to solve the Vlasov-Maxwell equations with this tool. We present several numerical results. This is a joint work with L. Navoret, and N. Pham. -
François James
Transition de phase et métastabilité
27 janvier 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
On propose un modèle de transition de phase décrivant également des états métastables. Contrairement aux modèles usuels, il n'utilise qu'une seule loi d'état, de type van der Waals. La thermodynamique est prise en compte par un système dynamique dont les attracteurs représentent l'ensemble des états thermodynamiques, aussi bien ceux de la zone spinodale que les états thermodynamiquement stables ou métastables. Ce système dynamique est ensuite utilisé dans une version de relaxation des équations d'Euler, et quelques exemples sont proposés. -
Didier Pilod
Dispersive perturbations of Burgers and hyperbolic equations
10 février 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
The aim of this talk is to show how a weakly dispersive perturbation of the inviscid Burgers equation improve (enlarge) the space of resolution of the local Cauchy problem. More generally we will review several problems arising from weak dispersive perturbations of nonlinear hyperbolic equations or systems. Joint works with Felipe Linares and Jean-Claude Saut. -
Simone Cassani
The Eye as a window on the body: mathematical modelling of retinal blood flow
17 février 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Numerous clinical studies have shown correlations between alterations in retinal blood flow and ocular diseases, neurodegenerative diseases and other systemic diseases. In this talk a mathematical model describing the blood flow in the retinal macro- and micro-vasculature, accounting for the IOP-induced deformation of the vessel walls and the autoregulation of blood flow in the retina will be presented. -
Thomas Strub
Résolution des équations de Maxwell tridimensionnelles instationnaires sur architecture massivement multicœur
10 mars 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Cette thèse a pour objet l'optimisation d'un schéma Galerkin discontinu appliqué aux équations de Maxwell sur cartes graphiques. Le schéma GD utilisé présente une certaine généricité dans le but d'être applicable à d'autres systèmes de lois de conservation qui profiteront des optimisations. La stratégie de parallélisation OpenCL/MPI sera présentée ainsi que quelques résultats de simulation. -
Riccardo Sacco
Computational Biology: a Natural (and unexpected) Synthesis between Fluid-Mechanics and Electronics
17 mars 2015 - 14:30Salle de séminaires 309
Attention horaire inhabituel. -
Samuel Kokh
Simulation of compressible flows on unstructured meshes using a Lagrange-Remap-like approach: stability for large time steps, towards an all-Mach-regime solver
24 mars 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
We present a discretization strategy for compressible fluids systems on unstrutctured grids based on a Lagrange-Remap approach that does not involve any moving mesh. The framework of this approach allows to elaborate different solvers: - an explicit Finite Volume Method that will be presented along with its stability properties - a semi-implicit Finite-Volume Method that allows to preserve stability under a CFL condition that involves only the material velocity - an (explicit or semi-implicit) all-Mach regime Finite Volume Method that provides a method that is both stable an accurate for simulations involving low-Mach regions in the flow. This work is a collaboration with Christophe Chalons and Mathieu Girardin. -
Laura Mendoza
A new approach discretizing the 2D poloidal plane of fusion devices
31 mars 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
At extremely high temperatures, it is possible to obtain the fusion of hydrogen atoms to produce energy. This is called thermonuclear fusion, and is currently being researched as a mean to produce energy. At such high temperatures, matter is in the state of a plasma, which cannot be in direct contact with any material. One possibility of confining the plasma, as it is composed of charged particles, is through magnetic fields. This is currently being studied in a range of devices, such as tokamaks. When trying to model this toroidal geometry, it has been shown that a discretization following the magnetic field surfaces is ideal. This means using a polar grid in the poloidal section. However this mesh presents a singular point at its origin, which is a major difficulty for the numerical simulations. The usual model used to describe the distribution function of plasmas is the Vlasov (-Poisson) equation, which we solve using the Semi-Lagrangian scheme. We present a new approach to the classic polar representation. This grid remains field aligned and regular. It is composed of nested hexagons discretized by equilateral triangles, thus its name: hexagonal mesh. We will present the spline quasi-interpolation method on this mesh, as well as a finite elements Poisson solver. -
Gudrun Thäter
Rayleigh-Bénard-Convection: Boussinesq approximation and generalisations
7 avril 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Natural convection stands for very different phenomena which have in common that material moves under the influence of a temperature difference in a gravitational field. The most prominent way to deal with these problems is to simplify the full system governing the flow process applying the Oberbeck-Boussinesq approximation, i.e. the implicit choice of substances which are mechanically incompressible but thermally compressible. This system has a few delightful properties and is a core problem in pattern formations and stability theory. But until a few years ago it was not even clear under which simplifying assumptions it can be derived without hidden contradictions. Moreover, generalizing it in any way changes the picture dramatically. In my lecture I will give a personal tour through this fascinating topic. -
Lucia Carichino
Fluid structure interaction in ocular modeling
14 avril 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Retinal hemodynamics plays a crucial role in several ocular diseases and clinical observations show significant correlations between alterations in retinal hemodynamics and vision impairment. However, the mechanisms giving rise to these correlations are not yet fully understood. In this talk I will present the main challenges encountered in developing a mathematical model that describes the fundamental mechanisms governing the blood flow in the human retina. The model requires sophisticated mathematical techniques, including fluid structure interaction and multi-scale coupling. -
Daniele Prada
Hybridized Discontinuous Galerkin methods for convection-diffusion-reaction and linear elasticity problems
12 mai 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
We present Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) methods for the numerical solution of steady convection-diffusion-reaction and linear elasticity problems. The DG methods are attractive because they: (i) enforce the equations in an element-by-element fashion through a Galerkin formulation which can give rise to locally conservative methods; (ii) can handle any type of mesh, element shape and basis functions; (iii) have a built-in stabilization mechanism which does not degrade their high-order accuracy. However, the DG methods have been criticized because for the same mesh and the same polynomial degree, the number of globally coupled degrees of freedom of the DG methods is much bigger than those of the Continuous Galerkin method. In the HDG methods, this limitation is avoided because the only globally coupled degrees of freedom are those of an approximation of the solution defined only on the boundary of the elements. This is what makes the HDG methods efficiently implementable, especially within the framework of hp-adaptive methods. The way in which the HDG methods are defined, allows them to be, in some instances, more accurate than already existing DG methods. -
Thomas Leroy
Anisotropic models for Compton scattering
19 mai 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
In a first part we address the derivation of a hierarchy of non linear Fokker-Planck type equations describing the electrons-photons interactions. We fix one of these models, for which several physical relevant properties are proved, such as an H-theorem and the non negativity of the distribution function. In a second part we study several angular moments methods (P1,M1), leading to original models. Some numerical tests are performed to highlight the influence of the Compton scattering with respect to the classical isotropic scattering. -
Laurent Navoret
Modèle macroscopique pour un système de particules discoïdales en interactions d'alignement
2 juin 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Dans cet exposé, nous proposons un modèle décrivant les mouvements d'un grand nombre de cellules auto-propulsées. Les interactions entre les cellules, par l'intermédiaire du fluide environnant, sont modélisées par des interactions d'alignement (de type Vicsek). La forme discoïdale des cellules impose également des contraintes sur leurs inclinaisons. En prenant la limite champ moyen puis la limite hydrodynamique, nous obtenons un modèle macroscopique décrivant la dynamique à grande échelle: c'est un système hyperbolique avec terme source. Nous présentons des simulations numériques de ce modèle et nous discutons l'adéquation entre modèles particulaire et macroscopique. Ce travail est issu d'une collaboration avec Pierre Degond. -
Emmanuel Franck
Physic-Based preconditioning for stiff hyperbolic systems
16 juin 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
For some applications like Fusion, ecology and light propagation, we consider stiff hyperbolic systems. For these system the time step give by the CFL is very small comparing to the characteristic time of the simulation. To treat this problem it is usual to use implicit scheme however these hyperbolic systems are ill-conditioned and the exact method are too greedy for large 3d simulations. Consequently we propose a class of preconditioning based on other formulation to the physical problems for different hyperbolic systems. Our first motivation is the MHD problems used in the JOREK code. Firstly we will introduce the MHD problems considered and the physical context of JOREK. After this we will explain our method (proposed initially by L. Chacon) for the damped waves equation and a simple MHD problems. We will gives first results and some open questions. To finish we will present two projects on the applications to this method on other physical questions. -
Matthieu Boileau
Numerical simulation of turbulent reacting flows for aerospace propulsion
23 juin 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Combustion of hydrocarbons will still be the only way to propel aircrafts and rockets for the next decades. As a consequence, aerospace engine manufacturers must design a new generation of combustors that will be cleaner, more efficient and more reliable in the same time. This objective requires a precise mastering of the processes inside the combustion chamber, from the spray injection, atomization and dispersion to the turbulent flame that produces the exhaust gases. A method based on the large-eddy simulation approach is proposed as a tool to predict unsteady combustion regimes that occur in real industrial configurations such as ignition and combustion instabilities. Some applications of this method to lab-scale multi-injector configurations are presented. Finally, recent developments in terms of mathematical modeling and numerical methods are given as a perspective in order to move towards predictive simulations of real configurations. -
Guillaume Dollé
Modélisation d'un bioréacteur
6 octobre 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Le principe de fonctionnement d’un bioréacteur consiste à accélérer la biodégradation des déchets par le maintien d’un taux d’humidité optimal dans un ensemble d'alvéoles et en particulier en faisant recirculer les lixiviats de décharge. Le gaz issue des réactions chimiques est ensuite récupéré pour produire de l'énergie. Je présenterai dans cet exposé le modèle mis en place lors des SEME et CEMRACS 2015 qui décrit le fonctionnement du bioréacteur. Je présenterai par ailleurs les premiers résultats du réacteur "virtuel" réalisé à l'aide de la librairie Feel++ dans le cadre du projet SiBiViR++. -
Romain Hild
Un modèle couplé pour les équations Stokes/Exner et des résultats numériques avec Feel++
6 octobre 2015 - 14:30Salle de séminaires 309
L'évolution des fonds marin est modélisé par les équations d'Exner couplées en général avec les équations de Saint-Venant pour le fluide. Ces dernières supposent le courant indépendant de la composante z. L'idée de ce travail, réalisé pendant le CEMRACS 2015, est d'étudier l'influence de cette composante à l'aide des équations de Navier-Stokes. A cette fin, nous avons couplé dans un premier temps les équations de Stokes et d'Exner à l'aide d'une méthode ALE. Nous présenterons l'implémentation de cette stratégie dans la librairie Feel++, ainsi que quelques résultats de simulation. -
Yannick Privat
Optimisation de domaine pour l'observabilité d'EDP
13 octobre 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Le but de cet exposé est d'étudier des problèmes d'optimisation de forme pour l'équation des ondes, de Schrödinger, ou de la chaleur sur un domaine Omega en dimension quelconque, avec des conditions frontières s'il y a un bord de type Dirichlet, Neumann, mixtes, ou Robin. Étant donné un état initial, on peut observer la solution de l'équation sur un sous-ensemble omega de Omega, ou bien la contrôler vers l'équilibre (par exemple à l'aide de la méthode HUM), ou encore la stabiliser (par damping linéaire) avec un contrôle de support omega. Dans les trois cas, on se pose la question de déterminer quel est le "meilleur" domaine possible omega parmi tous les sous-ensembles de Omega de mesure donnée (disons L*mes(Omega) avec 0 < L < 1). Ces questions sont d'abord étudiées à données initiales fixées, puis indépendamment des données initiales : par exemple, on se pose le problème de maximiser la constante d'observabilité parmi les domaines précédents. Il s'avère que ce problème est lié aux propriétés d'ergodicité quantique du domaine Omega, et notamment aux propriétés de type QUE (Quantum Unique Ergodicity). Ce sont des travaux en collaboration avec E. Trélat (Univ. Paris 6) et E. Zuazua (BCAM, Bilbao, Espagne). -
Hubert Baty
Traitement des termes dissipatifs en Magnétohydrodynamique (MHD) : une méthode numérique basée sur l'hyperbolisation des équations.
3 novembre 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Les termes dissipatifs jouent un rôle central dans le mécanisme de reconnexion magnétique, qui est à l'origine de phénomènes observationnels astrophysiques très spectaculaires comme les éruptions solaires. Après avoir rappelé les méthodes numériques couramment utilisées pour étudier la physique de la reconnexion dans le cadre du modèle MHD ainsi que leurs limites, je présenterai le principe le la méthode d'hyperbolisation (introduite initialement par Hiroaki Nishikawa pour les équations d'advection-diffusion, et de Navier-Stokes) appliquée à un modèle 2D incompressible MHD. Les termes dissipatifs sont traités par l'ajout de variables supplémentaires (qui sont solutions d'autant d'équations différentielles supplémentaires) représentant des flux dissipatifs qui s'ajoutent aux flux advectifs. Je présenterai ensuite les premiers résultats de cette méthode illustrant l'obtention de solutions de reconnexion, et employant un schéma aux volumes finis d'ordre 2 assorti d'un 'solver' de Riemann de type 'upwind' très simple. -
Clémentine Courtès
Convergence d’un schéma aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries
10 novembre 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
L’équation de Korteweg-de Vries est une équation dispersive non linéaire
pouvant modéliser des phénomènes hydrodynamiques comme la propagation
d’ondes de faible amplitude à la surface d’un canal peu profond.
Dans cet exposé, nous nous focalisons principalement sur l’analyse numérique
de cette équation, en cherchant à déterminer un ordre de convergence pour
un schéma aux différences finies.
Dans une première partie, nous nous attachons à développer une méthode
prenant en compte la non-linéarité de l’équation, puisque l’étude classique
de stabilité L2 (par exemple basée sur une transformation de Fourier) et de
consistance est ici mise en défaut.
Dans un second temps, nous nous intéressons à la régularité de la donnée
initiale et déterminons des ordres de convergence pour des données très peu
régulières u0 dans H^s(R), avec s > 3/4. -
Tony Fevrier
Modélisation et discrétisation numérique du rayonnement photonique pour la fusion par confinement inertiel en géométrie courbe.
17 novembre 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
L'exposé traite de la modélisation et de l'étude numérique du rayonnement photonique d'une expérience de fusion par confinement inertiel. Le rayonnement photonique est régi par une équation de type cinétique dégénérant vers une équation de diffusion en milieu fortement collisionnel. Notre exposé a deux objectifs: la dérivation de modèles aux moments afin de diminuer la dimension de l'espace de discrétisation et le traitement numérique des modèles dérivés. Côté modélisation, l'objectif est de généraliser à la géométrie 2D cylindrique un modèle prometteur en géométrie 1D radiale. Nous présentons deux types de modèles aux moments possédant la même asymptotique que l'équation cinétique initiale. Côté numérique, nos schémas doivent restituer précisément les régimes faiblement collisionnels (transport) et fortement collisionnels (équation de diffusion) mis en jeu par l'expérience de départ. Nous dérivons un schéma asymptotic preserving en 1D radial utilisant la méthode introduite par Buet et Desprès (mai 2015). -
Bruno Lévy
Un algorithme numérique pour le transport optimal $L_2$ semi-discret en 3D / A numerical algorithm for semi-discrete optimal transport in 3D
24 novembre 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
Dans cette présentation, je m'intéresse au problème du calcul numérique du transport optimal $L_2$ en 3d. Étant données deux mesures de probabilités $\mu$ et $\nu$ supportées par \Omega, le problème consiste à trouver l'application $T$ qui pousse $\mu$ sur $\nu$ et qui minimise le coût de transport $\int_\Omega \| x - T(x) \|^2 d\mu$. Des solutions numériques efficaces pour ce problème sont susceptibles de faciliter la simulation de certains phénomènes physiques, tels que l'évolution de la densité de matière à large échelle dans l'univers [Frisch et.al, Nature 2002, Brenier et.al, MNRAS 2003]. Les méthodes numériques utilisées jusqu'à présent optimisent le transport entre deux mesures discrètes (sommes de masses de Diracs), à l'aide d'un algorithme combinatoire, qui passe difficilement à l'échelle au delà de quelques dizaines de milliers de masses de Dirac. Dans le cas où $\mu$ a une densité et où $\nu$ est discrète (cas "semi-discret"), par une conséquence directe du théorème de décomposition polaire des champs de vecteurs [Brenier 90], la pré-image des masses de Dirac par l'application de transport optimal $T$ est une structure bien connue en géométrie algorithmique, à savoir un diagramme de puissance. Les paramètres (poids) de ce diagramme de puissance sont déterminés par le maximum unique d'une fonction concave [Aurenhammer et.al, Algorithmica 1998]. Cette caractérisation aboutit naturellement à un algorithme numérique, qui, combiné avec une approche multi-échelle, permet de calculer efficacement le transport optimal dans le plan [Merigot, Computer Graphics Forum 2011] et de l'appliquer à la résolution en 2d d'équations de type Monge-Ampère (Fokker-Planck, dynamique des foules...) [Benamou et.al, arXiv:1408.4536]. Je montre comment adapter cet algorithme en 3d, dans le cas où $\mu$ a une densité linéaire par morceaux, supportée par un maillage tétraédrique et où $\nu$ est discrète. Le cœur de l'algorithme calcule l'intersection entre un diagramme de puissance et un maillage tétraédrique par propagation simultanée sur les deux maillages. Les cas dégénérés sont traités par des méthodes de calcul en précision arbitraire [Shewchuk, DCG 97] et par des perturbations symboliques [Edelsbrunner et.al, TOG, 90]. L'implantation parallèle de l'algorithme permet de calculer le transport optimal pour des problèmes de l'ordre du million de masses de Diracs sur un ordinateur personnel de configuration standard. L'implantation de l'algorithme est disponible à l'adresse suivante: http://alice.loria.fr/software/geogram In this presentation, I focus on computing $L_2$ optimal transport in 3D. Given two probability measures $\mu$ and $\nu$ supported by $\Omega$, the problem consists in finding the application $T$ that pushes $\mu$ on $\nu$ and that minimizes the transport cost $\int_\Omega \| x -T(x) \|^2 d\mu$. An efficient numerical solution mechanism for this problem is likely to facilitate the numerical simulation of some phenomena in physics, such as the evolution of the large scale density of matter in the universe [Frisch et.al, Nature 2002, Brenier et.al, MNRAS 2003]. The numerical methods used so far compute the optimal transport between two discrete measures (sums of Dirac masses), using a combinatorial algorithm, that does not scale-up well beyond a few tens of thousands Dirac masses. In the case where $\mu$ has a density and $\nu$ is discrete ("semi-discrete" case), by a direct consequence of the polar decomposition theorem [Brenier 90], the pre-image of the Dirac masses through the optimal transport map $T$ is a structure that is well known in computational geometry, called a power diagram. The parameters that define this power diagram (the weights) are determined as the unique maximum of a concave function [Aurenhammer et.al, Algorithmica 1998]. This characterization naturally leads to a numerical algorithm. Combined with a multi-scale approach, this algorithm makes it possible to efficiently compute the optimal transport in the plane [Merigot, Computer Graphics Forum 2011] and apply it to solving 2d Monge-Ampère type equations (Fokker planck, crowd dynamics, ...) [Benamou et.al, arXiv:1408.4536]. I show how to adapt this algorithm in 3d, in the case where $\mu$ has a piecewise-linear density, supported by a tetrahedral mesh, and where $\nu$ is discrete. The central part of the algorithm computes the intersection between a power diagram and a tetrahedral mesh by simultaneously propagating over both meshes. Degenerate configurations are handled by arbitrary precision computation methods [Shewchuk, DCG, 97] and symbolic perturbation [Edelsbrunner et.al, TOG, 90]. The parallel implementation of the algorithm computes optimal transport for problems with 1 million Dirac masses on a off-the-shelf PC. The implementation of the algorithm is available at the following address: http://alice.loria.fr/software/geogram -
Over the past few decades, the computational fluid dynamics has evolved to become an important tool for the description of the complex multi-physics, multi-scale phenomena characterizing blood flow. Its reliability depends both on the verification of the numerical methods and on the validation of the mathematical models. The aim of the this talk is to first, present a preconditioning framework for the linear system arising from the finite element discretizations and time advancing finite difference schemes of the 3D steady and unsteady Navier-Stokes equations. In particular, we are interested in comparing the performance of three preconditioners based on an algebraic factorization of the system’s matrix which exploit its block structure, the PCD preconditioner , the SIMPLE preconditioner or the LSC preconditioner, see [Elman et al. (2014)]. The second goal of this talk is to describe a framework for the solution of flow problems relevant to biomechanics strongly supported by the aforementioned solving strategies and assess its efficiency through a validation with respect to experimental data. [Stewart et al. (2012)].
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Jean-Baptiste Wahl
Solving Strategy for Large Scale Aerothermal Simulation using the Open-Source Framework Feel++
1 décembre 2015 - 14:30Salle de séminaires 309
Applying numerical and mathematical methods to industrial problems involves dealing with some difficult issues : complex physical behaviors, numerical stability, the choice of efficient solving strategies. Moreover, in the case of aerothermal simulations, a direct resolution is impossible in most of industrial applications, because of the enormous computational resources that would be necessary, and so you often have to consider averaged equations and find an appropriate turbulence model. In this talk, we will present you an aerothermal simulation framework implemented with the finite element C++ librairy, Feel++. We will particularly describe our temporal scheme using an adaptive time step algorithm and the different stabilizations methods we develop to tackle the numerical instability issues. This results are parts of a thesis work which aims to develop a reduced order model for aerothermal turbulent simulations. -
Elisa Schenone
Reduced Order Models and cardiac electrophysiology
15 décembre 2015 - 14:00Salle de séminaires 309
We will present some results in computational cardiac electrophysiology. First, we introduce the mathematical and numerical models of electrophysiology and we provide simulations that are validated against various qualitative and quantitative criteria found in the medical literature. Since our model takes into account atria and ventricles, we are able to reproduce full cycle Electrocardiograms (ECG) in healthy configurations and also in several pathological cases. Then, since the equations that describe the electrical activity of the heart can be very demanding from a computational point of view, few reduced order methods are investigated. The Proper Orthogonal Decomposition (POD) method is applied for the discretization of the electrophysiology equations in different configurations, as for instance the simulation of a myocardial infarction. To circumvent some limitations of the POD method, an innovative reduced order method based on the Approximated Lax Pairs (ALP) is investigated.