Séminaire Equations aux dérivées partielles
organisé par l'équipe Modélisation et contrôle
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Michel Duprez
Problèmes de contrôle liés aux mouvements de foules
8 janvier 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Dans cet exposé, nous étudierons la contrôlabilité d'équations aux dérivées partielles de type transport qui apparaissent dans la modélisation des mouvements de foules. Nous contrôlerons ce système en agissant sur la vitesse des individus dans une région donnée de l'espace. Nous montrerons que sous certaines conditions géométriques, il est possible de contrôler de manière approchée le système à l'aide d'un contrôle régulier. Nous étudierons également la contrôlabilité exacte et le temps minimal pour atteindre une configuration cible donnée. Nous terminerons par quelques simulations numériques et perspectives. -
The aim of a posteriori validation techniques is to obtain mathematically rigorous and quantitative existence theorems, using numerical simulations. Given an approximate solution, the general strategy is to combine a poste- riori estimates with analytical ones to apply a fixed point theorem, which then yields the existence of a true solution in an explicit neighborhood of the approximate one. In the first part of the talk, I’ll present the main ideas in more detail, and describe the general framework in which they are applicable. In the second part, I’ll then focus on a specific example and explain how to validate a posteriori periodic solutions of the Navier-Stokes equations with a Taylor- Green type of forcing.
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Francesco Bonaldi
Simulation du couplage élasto-acoustique par une méthode Galerkin discontinue sur des maillages généraux
29 janvier 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Dans cet exposé, on s’intéresse au développement et à l’analyse d’une méthode Galerkin discontinue (dG) pour la discrétisation en espace d'un problème d’évolution modélisant la propagation couplée d’ondes (visco)élastiques et acoustiques. Ce type de problème se présente, par exemple, dans un contexte géophysique, c’est-à-dire dans la modélisation et simulation d’événements sismiques dans des aires proches d’environnements côtiers. D’autres cadres où ce problème joue un rôle majeur sont représentés par la modélisation de capteurs ou actionneurs immergés dans un fluide acoustique, ou bien par la médecine à ultrasons. Dans les applications pratiques, la géométrie du domaine de calcul est remarquablement irrégulière et complexe ; considérer un maillage conforme entraînerait donc un coût de calcul très élevé. On est donc amené à envisager une discrétisation basée sur des éléments polyédriques, de telle façon à pouvoir reproduire les contraintes géométriques dans une mesure raisonnable de précision, sans être au même temps trop chère en termes de calcul. La capacité de la méthode dG de gérer des maillages polyédriques a été récemment démontrée. Dans une première partie, nous présentons d’abord la formulation du problème, en donnant un résultat d’existence et unicité pour sa solution, dans le cadre de la théorie de Hille–Yosida. Nous introduisons alors le cadre discret, en remarquant particulièrement les hypothèses sur le maillage polyédrique, et montrons un résultat de stabilité dans une norme d’énergie opportune pour la formulation du problème semi-discret. Ensuite, nous donnons des résultats de convergence hp (avec h et p désignant, comme d’habitude, le pas de maillage et le degré polynômial) pour l’erreur dans la même norme d’énergie. Enfin, nous présentons des expériences numériques effectuées dans un cadre bidimensionnel pour valider les résultats théoriques. Une simulation d’un problème d’intérêt physique, où le système est excité par une source ponctuelle dans le domaine acoustique, sera également présentée. Dans une deuxième partie, nous présentons des résultats de validation dans un cadre 3D (convergence de la méthode dans des cas test académiques et physiques). Pour cela, les simulations ont été effectuées grâce au logiciel SPEED développé conjointement au laboratoire MOX et au Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICA) du Politecnico di Milano. L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Paola F. Antonietti et Ilario Mazzieri (Politecnico di Milano). -
Victor Michel-Dansac
high-order well-balanced scheme for the shallow-water equations with topography and Manning friction
5 février 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
This work deals with the numerical approximation of solutions to the shallow-water model equipped with the topography and nonlinear Manning friction source terms. In geophysical applications, steady state solutions of this model are particularly relevant, and exactly capturing these steady solutions is essential to ensure the accuracy of the numerical method for important regimes. Therefore, we seek to impose that the scheme exactly preserves the steady solutions with nonzero velocity : such a scheme is called fully well-balanced. To address this issue, we elect to derive a 1D numerical scheme within the framework of Godunov-type finite volume schemes, based on approximate solutions to Riemann problems. We design a relevant approximate Riemann solver which allows the scheme to be fully well-balanced, to preserve the non-negativity of the water height, and to exhibit a discrete entropy inequality. We extend this scheme to two space dimensions, making sure that the properties of the 1D scheme are still verified by the 2D scheme. We then propose a high-order extension of the 2D scheme. This high-order extension uses both a MOOD method and a convex combination in order to recover the properties of the first-order scheme. Numerical results, including a large-scale geophysical simulation, are finally presented to highlight the properties of the scheme. This is a joint work with Christophe Berthon (Univ. Nantes), Stéphane Clain (Univ. Minho, Portugal), Françoise Foucher (Centrale Nantes) and Raphaël Loubère (CNRS et Univ. Bordeaux). -
Anouk Nicolopoulos
à préciser
26 février 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
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Eloise Comte
Contrôle optimal sous contrainte d’un modèle hydrogéologique : un problème de pollution des eaux en sous-sol
5 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution d’origine agricole des ressources en eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, on considère un problème de contrôle optimal de contamination d’eau souterraine dans le cas d’un nécessaire compromis économique entre l’utilisation d’engrais et les coûts de de pollution. Le modèle (3D en espace) est constitué d’une équation aux dérivées partielles parabolique non linéaire (réaction- convection-dispersion) couplée par le tenseur de dispersion et le terme de convection à une équation elliptique. Des résultats génériques sont donnés ([1]) et un cas particulier est traité : en prenant en compte la faible concentration du polluant dans le sous-sol, nous écrivons rigoureusement le modèle mis à l’échelle approprié et nous montrons l’existence et l’unicité de sa solution en utilisant des perturbations singulières et des outils d’ana lyse asymptotique ([2]). Quelques réesultats numériques (2D en espace, issus d’une discrétisation par éléments finis mixtes) illustreront ces résultats analytiques. Ces derniers pourront être élargis au cadre de la théorie des jeux, où une compétition entre plusieurs situations d’épandage est introduite, avec notamment un résultat d’existence d’un équilibre de Nash. -
Cécile Taing
Dynamique de concentration dans un modèle de population structuré en âge et en phénotype
12 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Pour illustrer la sélection d'individus les plus adaptés à un environnement donné à partir d'un modèle de population structurée par une variable de trait, on peut étudier la convergence de la distribution de population vers une masse de Dirac concentrée en ce trait adapté. Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur le comportement asymptotique de la solution d'une équation structurée en âge et en trait. Dans un premier temps, j'introduirai un modèle simplifié en supposant qu'il n'y pas de mutation. L'analyse de ce modèle repose sur l'étude d'un problème aux valeurs propres paramétré par la variable de trait. Ensuite, je présenterai le modèle avec mutations qui fait apparaître une équation de Hamilton-Jacobi sous contraintes. Il s’agit d’un travail fait en collaboration avec Samuel Nordmann et Benoît Perthame. -
Marc Josien
Résolution numérique d’équations intégodifférentielles pour la dynamique des dislocations
19 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Dans les matériaux métalliques, les phénomènes plastiques s’expliquent grâce à des défauts du réseau cristallin sous-jacent : les dislocations. C’est pourquoi une approche multi-échelle nécessite de comprendre le comportement élémentaire d’une dislocation. On peut ainsi chercher à caractériser sa forme, sa loi de mobilité, sa propension à engendrer de nouvelles dislocations... Lors de ce séminaire, nous présentons un modèle de dislocations couplant des aspects discrets et continus de la matière (généralisant l’équation classique de Peierls-Nabarro). Il décrit les dislocations en régime stationnaire (i.e. se mouvant à vitesse constante) et repose sur l’équation de Weertman. L’objectif est de caractériser quelques unes des propriétés mathématiques de cette équation intégrodifférentielle non-linéaire et de proposer une stratégie de résolution numérique. Nous conclurons sur une récente extension complètement dynamique de ce modèle. -
Cécile Carrère
Optimisation d'une chimiothérapie pour empecher l'émergence de résistance dans une tumeur hétérogène
26 mars 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
La résistance aux traitements est une raison majeure d'échec des chimiothérapies contre le cancer. Afin d'étudier les effets de différents protocoles de traitement, l'équipe de M.Carré (1) a réalisé des séries d'expériences in vitro sur des cultures de cellules cancéreuses sensibles ou résistantes à un certain médicament. Ces expériences ont mis en lumière l'intéret des protocoles métronomiques, c'est à dire de plus faibles doses de médicament données plus fréquemment, par rapport aux protocoles MTD (maximal tolerated dose) classiques.
Pour comprendre et améliorer ces résultats, nous proposons avec G.Chapuisat (2) une modélisation de ces expériences, et l'optimisation du traitement par différents outils mathématiques. Tout d'abord, une stratégie adaptative reposant sur l'analyse du modèle est définie. Ensuite, la théorie du controle optimal est utilisée pour proposer un nouveau protocole de traitement, qui a été testé sur les cultures de cellules. Enfin, avec H.Zidani, l'approche de la programmation dynamique est présentée pour répondre de manière plus pragmatique aux attentes médicales.
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Francesca Chittaro
On the genericity of conical intersections for controlled Hamiltonians
2 avril 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
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Erica Schwindt
Un schéma lagrangien pour un problème d'interaction fluide-structure
9 avril 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Cet exposé portera sur l'étude et l'extension des méthodes numériques récemment introduites dans [GM] pour résoudre certaines des équations différentielles partielles en utilisant des outils de la géométrie computationnelle. Il s'agit d'un travail en cours, fait en collaboration avec Thomas Gallouët de l'Inria Paris, Bruno Lévy de l'Inria Nancy et Quentin Mérigot de l'Université Paris Sud, où nous souhaitons étendre la méthode numérique proposée dans [GM] pour les équations d'Euler incompressible, au cas de systèmes d'interaction fluide-structure. Plus précisément, nous considérons le cas d'un fluide régit par les équations d'Euler incompressibles et d'un solide rigide. [GM] : Thomas Gallouët, Quentin Mérigot. A Lagrangian scheme à la Brenier for the incompressible Euler equations. Foundation of Computational Mathematics, 2018. -
Morgan Morancey
La méthode des moments par blocs : étude du temps minimal de contrôlabilité à zéro de problèmes paraboliques.
7 mai 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Cet exposé est centré sur la problématique du temps minimal nécessaire pour contrôler à zéro des problèmes paraboliques. Après avoir décrit les différents phénomènes spectraux responsables de ce temps minimal, je présenterai la méthode des moments par blocs développée avec Assia Benabdallah (Marseille) et Franck Boyer (Toulouse). Il s'agit d'une adaptation de la méthode des moments (utilisée en théorie du contrôle notamment depuis les travaux de H.O. Fattorini et D.L. Russell) permettant la prise en compte de nouveaux phénomènes comme la condensation des fonctions propres de l'opérateur d'évolution. Le cadre d'application des résultats abstraits obtenus couvre notamment un grand nombre de systèmes d'équations paraboliques linéaires couplées unidimensionnelles. -
Jérémy Dalphin
On the Computation of Maximal Probability Domains (MPDs) in Quantum Chemistry
18 juin 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
In this talk, we are interested in a quantum chemistry model, which yields a three-dimensional visualization of interactions between electronic molecular structures. These Maximal Probability Domains (MPDs) are the local maximizers of a shape optimization problem. We will present the developed software and the numerical strategy adopted to obtain MPDs, combining three-dimensional adaptative grids with hybrid non-standard optimization techniques. Some results will be shown to illustrate the great potential of the MPD method to both interpret and investigate some key concepts in chemistry. This is a joint work with Benoit Braida, Andreas Savin, Yannick Privat, Pascal Frey, and Charles Dapogny. -
Hélène Mathis
Modèles d’écoulements triphasiques
24 septembre 2019 - 14:00Salle de conférences IRMA
Cet exposé traite de la modélisation d’écoulements compressibles faisant intervenir un liquide, sa vapeur et un gaz. Le gaz et la vapeur forment un mélange parfaitement miscible, qui est lui-même immiscible avec le liquide. Ces hypothèses de modélisation se traduisent en contraintes mixtes sur les volumes de chacune des phases. L’étude de l’équilibre thermodynamique du mélange, à l’aide d’outils d’analyse convexe, nous permet de caractériser l’entropie du système et ses propriétés. On retrouve notamment que la vapeur et le gaz satisfont la loi de Dalton. On s’intéresse ensuite à la dynamique du fluide, décrite par un système de type Euler. En s’appuyant sur le formalisme thermodynamique et la structure entropique vus en première partie, on étudie les fermetures du système et son hyperbolicité. On dérivera pour finir un système de relaxation associé. -
Thibault Liard
Inverse design of one-dimensional Burgers equation
1 octobre 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
We study the inverse design of one-dimensional Burgers equation which consists of identifying the set of initial data evolving to a given target at a final time. This leads to an ill-posed backward Cauchy problem. On one hand, the given target may be unreachable along forward entropic evolution or there exist multiple initial data leading to the same given target. The two main results are the follows • A wave-front tracking method is implemented to identify randomly all the possible initial data yielding entropy solutions that coincide with a given target at time T. • When the target function u^T is unreachable, we fully characterize the set of initial data generating entropy solutions leading as close as possible to the given target u^T in L2 -norm. -
Christophe Pouzat
Quelques problèmes d'analyse et de modélisation en neuroscience
8 octobre 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Les neurones sont des cellules dont le fonctionnement a une composante stochastique plus ou moins importante et qui forment des réseaux. La taille des neurones, dès que l'on sort de la rétine, impose, pour avoir une communication « fiable », le recourt à un signal « standardisé » se propageant sans déformation : le potentiel d'action. Ces potentiels d'action sont souvent mesurables au moyen d'électrodes « extra-cellulaires » insérées dans le tissus nerveux, mais, comme leur nom l'indique, placées hors des neurones. Chacune de ces électrodes permet typiquement d'enregistrer l'activité — les potentiels d'action — de plusieurs neurones, un peu à la façon dont un micro placé dans une pièce peut enregistrer les conversations de plusieurs personnes. Le signal enregistré est alors un mélange de signaux élémentaires ; les potentiels d'action de chacun des neurones « vus » par l'électrode et la première tâche du chercheur confronté à ces données est la séparation du signal composite en ses composantes — ce que nous désignons par « tri des potentiels d'action ». Ce problème de tri peut être abordé comme un problème de classification non supervisée, mais nous verrons qu'il est un peu plus riche que celui traité habituellement par les statisticiens. Une fois le tri des potentiels d'action effectué, le chercheur se trouve confronté à des séquences de temps, une par neurone identifié ; séquences _a priori_ dépendantes et, typiquement, « assez désordonnées », ce qui incite fortement à employer des modèles basés sur des processus ponctuels — les temps d'arrivées de clients à un guichet (pour les plus âgés) ou de requêtes sur un serveur internet (pour les plus jeunes) sont des cas typiques de modélisations basées sur des processus ponctuels. Une fois le cadre des processus ponctuels adopté se posent deux problèmes (pas encore résolus) : l'un statistique, l'estimation de l'intensité du processus (dans un contexte où seulement une petite partie des neurones est observée) ; l'autre probabiliste, la construction de modèles se prêtant aussi bien à une approche analytique que numérique (le but étant de faire le lien entre le réseau complet et la sous-population de neurones effectivement observés pendant les expériences). -
Marc Josien
De l’équation de Newton à l’équation des ondes: un résultat de non-convergence.
22 octobre 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Il a récemment été montré dans [2] que le système constitué, à l'échelle microscopique, par une chaîne de particules interagissant avec leurs plus proches voisins via un potentiel de paire W pouvait être décrit, à l'échelle macroscopique (c'est à dire quand le nombre de particules devient infiniment grand), par l'équation des ondes. Or, cette dernière développe des chocs en temps fini pour une large classe de données initiales, dès lors que le potentiel de paire W est non-quadratique. Le résultat de [2] ne peut alors plus s'appliquer. Durant cette présentation, qui s'appuie sur [1], nous étudions le comportement asymptotique du système discret dans un régime ou des chocs peuvent apparaître. De façon surprenante, nous verrons que, sous certaines hypothèses, celui-ci ne converge plus vers l'équation des ondes, dès lors que la solution de cette dernière présente une décroissance stricte de son entropie (ce qui se produit en particulier lors de chocs).
[1] X. Blanc and M. Josien. From the Newton equation to the wave equation : the case of shock waves. Applied Mathematics Research eXpress, 2017 :338– 385, 2017.
[2] X. Blanc, C. Le Bris, and P.-L. Lions. From the Newton equation to the wave equation in some simple cases. Netw. Heterog. Media, 7(1) :1–41, 2012. -
Hélène Hivert
Un schéma AP pour une modélisation cinétique de phénomènes de propagation.
5 novembre 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
La propagation de bactéries E. coli peut être modélisée par une équation cinétique. Les grandes déviations donnent le comportement de la population totale, qui est gouverné par une équation de Hamilton-Jacobi. Dans cet exposé, je présenterai la construction et l'analyse d'un schéma asymptotic-preserving pour ce problème non-linéaire. -
Gaël Poëtte
A gPC-intrusive reduced model for the resolution of the uncertain linear Boltzmann equation together with its Monte-Carlo resolution
19 novembre 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
In this talk, we are interested in the resolution of the time-dependent problem of particle transport in a media whose composition is uncertain. The most common resolution strategy consists of running, at prescribed points in uncertain space (at experimental designs points), a simulation device as a black-box. This ensures performing the uncertainty propagation resolution (i.e. resolution of SPDE). This kind of strategy is commonly called non-intrusive.The non-intrusive resolution can be carried with Monte-Carlo, quasi Monte-Carlo, generalized Polynomial Chaos etc.The latter is of interest in this paper for its fast convergence rate. First, we go over and illustrate the main drawbacks of the non-intrusive (gPC orotherwise) uncertainty propagation resolution for the linear Boltzmann equation in a simplified configuration. We then build a new gPC based MC scheme solving intrusively the uncertain counterpart of the problem. In the talk, we will prove spectral convergence of the built reduced model with respect to the truncation order of the gPC approximations. We will also demonstrate the convergence of the Monte-Carlo scheme built to approximate the gPC based reduced model. The talk will end with some numerical examples. -
Marianne Bessemoulin
Hypocoercivité et limite de diffusion d'un schéma volumes finis pour des équations cinétiques linéaires
26 novembre 2019 - 13:45Salle de séminaires 309
Dans cet exposé, je présenterai des résultats obtenus avec Maxime Herda (INRIA Lille) et Thomas Rey (Univ. Lille). Nous nous intéressons à la discrétisation d'une équation cinétique linéaire en 1D, avec un opérateur de collision de type Fokker-Planck linéaire ou BGK linéarisé. Nous prouvons d'une part le caractère "Asymptotic Preserving" à la limite de diffusion de notre schéma, et d'autre part le retour exponentiel vers l'équilibre maxwellien, uniformément dans la limite de diffusion. Ce caractère hypocoercif est obtenu en adaptant au cadre discret les résultats de Dolbeault, Mouhot et Schmeiser (2015). -
Ryadh Haferssas
Simulation of soft tissue deformation in real-time using domain decomposition
3 décembre 2019 - 14:00Salle de séminaires 309
Non-linear models used in dynamic simulations usually require the solution of multiple large and sparse linear systems in a succes- sive manner. In this talk, we show a study of numerical solvers in the framework of real-time soft tissue deformation. Domain Decomposition paradigm has the potential of providing parallelism at both levels of equation assembling and linear system solving. In our case domain decomposition is employed to solve a non-linear model in a dynamic simulation in order to meet real-time computation by using parallel architecture. Numerical test on liver deformations using a non-linear deformation model is presented to evaluate the acceleration impact of the domain decomposition paradigm. -
Claire Sheid
A préciser
17 décembre 2019 - 14:00Salle de séminaires 309