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Séminaire Quantique

organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie

  • Alexander Kosyak

    q-Pascal triangle and irreducible representations of the braid group B_3 in arbitrary dimension

    7 janvier 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    There are strange relations between Rep(B_3) and the highest weight modules of U(sl_2) and U_q(sl_2). We construct a (n+1)/2 + 1 parameter family of irreducible representations of the braid group B_3 in arbitrary dimension n using a q-deformation of the Pascal triangle. This construction extends in particular results by S. P. Humphries (2000), who constructed representations of B_3 in arbitrary dimension using the classical Pascal triangle. E. Ferrand (2001) obtained an equivalent representation of B_3 by considering two special operators in the space C^n[X]. Slightly more general representations were given by Tuba and Wenzl (2001). They involve (n+1)/2} parameters (and also use the classical Pascal triangle). The latter authors also gave a complete classification of all simple representations of B_3 for dimension n < 6. Our construction generalize all above-mentioned results and throws a new light on some of them. We also prove the irreducibility of the representations. We show that all constructed representations of B_3 may be obtained by taking exponent of the highest weight modules of U(sl_2) and U_q(sl_2).

  • Alexandru Oancea

    Fibrations de Lefschetz et une classe de cohomologie non abélienne pour le groupe des tresses

    14 janvier 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    On considère une fibration de Lefschetz au-dessus d'une surface de Riemann ayant m points critiques, et on s'intéresse aux nombres d'intersection des cycles évanescents dans une fibre régulière. Les changements de base de cycles évanescents correspondent à une action non linéaire du groupe des tresses en bandes sur un certain espace de matrices m x m. Cette action est déterminée par une famille de 1-cocycles non abéliens définis sur le groupe des tresses en bande et à valeurs dans GLm(Z[G]), où G est le groupe fondamental de la surface privée de m points. Ces cocycles sont cohomologues.

  • Alexander Chervov

    Manin's Matrices, quantum integrability and the Langlands correspondence

    21 janvier 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    The three themes mentioned in the title will be briefly described. First we observe that matrices with noncommutative elements such that: 1) elements in the same column commute 2) commutators of the cross terms are equal: $[M_{ij}, M_{kl}]=[M_{kj}, M_{il}]$ (e.g. $[M_{11}, M_{22}]=[M_{21}, M_{12}]$), behave almost as well as matrices with commutative elements. There is a natural definition of the determinant, Cramer's inversion formula (Manin), we prove the Cayley-Hamilton theorem, the Newton identities, facts about block matrices, etc. Second, the applications of such matrices in quantum group and quantum integrability theory will be described. (We will recall basic notions and examples from integrable systems: Lax matrices, spectral curves, Gaudin integrable system.) We will concentrate on the "quantum spectral curve" construction: $det(\partial_z-L_{Gaudin}(z))= \sum_i H_i(z) (d/dz)^i$ (which is basically due to D. Talalaev). It provides an effective solution of the longstanding problem of explicit construction of the quantization of the Gaudin model, and gives a natural treatment of the Bethe ansatz and separation of variables. We observe that the Lax matrix $\partial_z-L_{Gaudin}(z)$ is a Manin's matrix and derive several applications to the Gaudin model including the generalization of the Capelli identities. Third, the geometric Langlands correspondence will be recalled and applications of the "quantum spectral curve" $det(\partial_z-L_{Gaudin}(z))$ to its explicit description will be presented. The talk will be based on arXiv:0711.2236 "Manin's matrices and Talalaev's formula", arXiv:hep-th/0604128, "Quantum spectral curves, quantum integrable systems and the geometric Langlands correspondence" by G. Falqui, D. Talalaev and A.C.

  • Boris Shoikhet

    Deformation quantization, Koszul duality, and dg categories

    28 janvier 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    The Koszulness of a quadratic algebra is probably the most fruitful property one can even state about it. The classical examples are the symmetric algebra S(V^*) and the exterior algebra Lambda(V) for a finite-dimensional vector space V. Each Koszul algebra has a Koszul dual, in the example above S(V^*) and Lambda(V) are Koszul dual. Now let alpha be a quadratic Poisson bivector on V, one can regard it also as a quadratic Poisson bivector D(alpha) on the space V^*[1]. Therefore, the deformation quantizations S(V^*)_alpha and Lambda(V)_{D(alpha)} are defined, they are graded quadratic algebras. The main result we are going to talk about is that these two algebras are Koszul dual as well. In other words, the Koszul duality property is preserved under the deformation quantization. The suggested proof is not very elementary. We meet Kontsevich formality, differential graded categories and their A_infty deformations, the AKSZ model of topological quantum field theory with many boundary conditions... We deduce our result from the formality as dg Lie algebra of the Hochschild complex of some differential graded category, introduced recently by B. Keller. All these things are not supposed to be known and will be discussed in the talk.

  • Ivan Marin

    Représentations de Krammer pour les groupes de tresses complexes

    11 février 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Les groupes de tresses complexes sont aux groupes de réflexions complexes ce que les groupes de tresses classiques sont aux groupes symétriques. Ils sont naturellement associés à certains complémentaires d'arrangements d'hyperplans. Nous introduisons sur ceux-ci un nouveau système local dont la monodromie dans le cas particulier des groupes de Coxeter de type ADE est fidèle, isomorphe à la représentation dite de Krammer des groupes correspondants. Dans le cas général, cette construction définit ainsi de bons candidats en vue de prouver la linéarité et d'autres propriétés des groupes de tresses complexes.

  • Tetsuhiro Moriyama

    Mapping class group action on the homology of the configuration space

    25 février 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    We study the natural action of the mapping class group M_{g,1} on the (co)homology groups of the configuration spaces of n-points on a surface S of genus g with one boundary component. The kernels of the actions induce a descending filtration of M_{g,1} parametrized by n. We prove that this filtration coincides with the Johnson filtration, which consists of the kernels of the actions on the lower central quotient groups of the fundamental group of S. We also give an alternative construction of the Johnson homomorphism by using the configuration spaces.

  • Christelle Holtzmann

    Vers une classification des sous-groupes de petit indice des groupes de tresses

    3 mars 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

  • Gregor Masbaum

    TQFT et classification de Nielsen-Thurston des homéomorphismes des surfaces

    10 mars 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

  • Hidekazu Furusho

    Pentagon and hexagon equations of GT

    17 mars 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    We will deal with the defining equations of the Grothendieck-Teichmuller group, GT, introduced by Drinfel'd. I will explain that his pentagon equation implies his two hexagon equations.

  • Julien Marché

    Algèbres de Kauffmann des surfaces et géométrie des espaces de représentation

    31 mars 2008 - 11:00Salle de séminaires 309

  • Vladimir Fock

    Dilogarithmes classique et quantique

    21 avril 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    On va présenter deux interprétations de la fonction du dilogarithme. Le dilogarithme classique peut être considéré comme une fonction de transition déterminant un fibré en droites de préquantification sur une variété cluster comme un espace de Teichmüller ou un groupe de Lie simple. Le dilogarithme quantique est une fonction méromorphe qui sert comme le noyau d'un opérateur intégral réalisant la représentation de l'algèbre des fonction sur la variété duale, quantifiée par déformation.
  • We consider certain invariants of links in 3-manifolds obtained by a specialization of Turaev-Viro invariants of 3-manifolds. The specialization is based on presentations of pairs (M,L), where M is a closed oriented 3-manifold and L in M is an oriented link, by triangulations of M such that L is a subset of the 1-skeleton. We consider some elementary properties of the invariants, including the behavior under the connected sums of pairs away and along links. These properties allow one to provide examples of links in the 3-sphere which have the same HOMFLY polynomial and the same Kauffman polynomial but distinct Turaev-Viro invariants (similar examples can be provided for the Alexander polynomial). We also provide examples of some specific calculations, in particular, we determine the values of Turaev-Viro invariants of order 5 for all torus knots, and discuss the connections with other similar constructions, such as quantum invariants of links and trivalent graphs in 3-manifolds introduced by Turaev.

  • Catharina Stroppel

    Khovanov homology via representation theory and Springer fibres

    28 mai 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    The talk will be about three categorifications of the Jones polynomial: 1) Khovanov's categorification and Khovanov homology, 2) a categorification using representation theory of the Lie algebra sl(n) and 3) a categorification using coherent sheaves on certain varieties of flags (due to Cautis and Kamnitzer) The aim of the talk is to give a precise description of the connections relating these rather different approaches (algebraic, representation theoretic and geometric) in an interesting way.

  • David Jordan

    Elliptic braid group, double affine Hecke algebra (DAHA), and quantum D-modules

    2 juin 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    In this talk, we show how to construct representations of the elliptic braid group, starting from the data of a quantum D-module (which will be defined). The construction is modelled on - and extends - constructions of Lyubashenko and Majid involving modular categories, as well as geometric constructions of Calaque, Enriquez, and Etingof involving trigonometric Cherednik algebras. In the latter case, we are able to extend those representations to the full DAHA. There are also relations to recent work of Varagnolo and Vasserot on some geometric constructions on GL_q(V)xP_q(V), which we will try to explain.

  • Benjamin Enriquez

    Quanfication des quasi-bigebres de Lie

    23 juin 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

  • Vladimir Turaev

    Sur certains problèmes d'énumération en topologie de dimension 2

    27 juin 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé (en anglais) : We shall discuss a solution to several enumeration problems in the topology of surfaces. The classical theorem of Frobenius and Mednykh counts the number of homomorphisms of the fundamental group of a surface to the given finite group. This generalizes to an enumeration of homotopy classes of sections of a locally trivial fiber bundle over the surface. The proof of the latter result is based on the methods of Topological Quantum Field Theory. These computations relate the topology of surfaces to the theory of representations of finite groups and in particular to projective representations of groups.

  • Alex Bene

    The Ptolemy groupoid, the AMR invariant, and finite type invariants of homology cylinders

    22 septembre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    In this talk, I will discuss joint work with J.E. Andersen, J.-B. Meilhan, and R.C. Penner in which we introduce a universal invariant of homology cylinders over a surface S with boundary based on the AMR invariant as introduced by Andersen, Mattes, and Reshetikhin. Both invariants require a choice of decomposition of S into tiles, and I will show how such a decomposition is naturally determined by an embedding of a so-called fatgraph into S. In this way, I will discuss how the action of the mapping class group on these invariants can be probed via representations of the Ptolemy groupoid, a groupoid generated by elementary moves on such embedded fatgraphs. In particular, I will compare and relate these Ptolemy representations with the Ptolemy groupoid lift of the first Johnson homomorphism as introduced by Morita-Penner.

  • Claire Levaillant

    Réductibilité de la représentation de Krammer

    29 septembre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Récemment, Krammer introduisit une représentation qui lui servit à montrer la linéarité des groupes de tresses. Cette représentation est génériquement irréductible, mais lorsque ses deux paramètres prennent certaines valeurs complexes, elle devient réductible. On étudie les cas de réductibilité de cette représentation et on donne les dimensions des sous-espaces stables.

  • Pierre Baumann

    Bases parfaites et correspondance de Satake géométrique

    6 octobre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Le thème général est l'étude des représentations de dimension finie d'un groupe classique G. La théorie des cristaux de Kashiwara est un outil qui donne des informations précises sur (par exemple) les produits tensoriels de représentations, mais qui reste au niveau combinatoire. Pour réaliser cet outil au niveau des représentations, on peut utiliser la notion de base parfaite : par définition, une base dans une représentation V est dite parfaite si elle est compatible avec la décomposition de V en somme directe de H-modules simples, pour chaque sous-groupe de Levi standard minimal H. D'un autre côté, la catégorification de l'isomorphisme de Satake par Ginzburg fournit un lien entre la théorie des représentations de G et la grassmannienne affine Gr du dual de Langlands de G. En particulier, pour chaque poids entier dominant lambda, le G-module simple rationnel de plus haut poids lambda peut être identifié avec l'homologie d'intersection d'une variété de Schubert Gr_lambda dans Gr. En utilisant certains cycles algébriques de Gr_lambda, Mirkovic et Vilonen construisent une base de l'homologie d'intersection. Dans l'exposé, j'expliquerai pourquoi la base de Mirkovic et Vilonen est parfaite.

  • Gwenael Massuyeau

    Une version infinitésimale des homomorphismes de Morita

    13 octobre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Soit S une surface compacte, connexe, orientée avec une composante de bord, dont on souhaite étudier le groupe de Torelli I(S) via son action sur le groupe fondamental P(S). Pour tout entier k>0, I(S) agit naturellemment sur le k-ième quotient nilpotent de P(S) et le noyau de cette action est, par définition, le k-ième terme de la filtration de Johnson de I(S). La filtration de Johnson étant séparée, on peut théoriquement étudier I(S) en approchant P(S) par ses quotients nilpotents successifs. Dans ce contexte, Morita définit pour tout entier k>0 un homomorphisme du k-ième terme de la filtration de Johnson vers le troisième groupe d'homologie du k-ième quotient nilpotent de P(S).
    Dans cet exposé, nous remplacerons les groupes par leurs algèbres de Lie de Malcev, ce qui nous conduira à une version infinitésimale des homomorphismes de Morita. Quoiqu'équivalents à leurs originaux, les homomorphismes de Morita infinitésimaux semblent plus simples d'usage. D'une part, nous en donnerons une description diagrammatique et, d'autre part, nous expliquerons comment les calculer. Enfin, nous les relierons à la représentation diagrammatique de I(S) issue de l'invariant LMO des variétés de dimension trois.

  • Carlo Rossi

    On the tangent version of Tsygan's formality

    27 octobre 2008 - 11:00Salle de séminaires 309

    We investigate some algebraic properties of the tangent map of Kontsevich's and Tsygan's formality L_infty-quasi-isomorphisms, and we discuss some applications of recent results of myself and D. Calaque, e.g. globalization of an old conjecture of Shoikhet, and, if time permits, of a proof of Caldararu's conjecture via Kontsevich's and Tsygan's formality.

  • Francesco Costantino

    A propos de la théorie de Chern-Simons et des invariants quantiques

    3 novembre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    Je rappellerai la construction du fibré de Chern-Simons pour une surface fermée. Puis je commenterai sur la définition ``physique" des invariants quantiques d'objets noués et sur l'étude de leur allure asymptotique.

  • Dylan Thurston

    Combinatorial Heegaard-Floer Holomology

    17 novembre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    We give a completely combinatorial definition and proof of invariance of Heegaard-Floer homology for links in the 3-sphere. The definition is based on a grid-link presentation of the link, also known as an arc presentation. We use this new presentation to give invariants of Legendrian and transverse knots. This talk is joint with Ng, Manolescu, Ozsváth, and Szabó.

  • Nicolas Libedinsky

    Bimodules de Soergel et homologie de Khovanov-Rozansky

    24 novembre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

  • Hidekazu Furusho

    Double shuffle relation for associators

    8 décembre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA

    In my talk I will explain that Drinfel'd's pentagon equation implies the generalized double shuffle relation. As a corollary, an embedding from the Grothendieck-Teichmuller group $GRT_1$ into Racinet's double shuffle group $DMR_0$ is obtained, which settles the project of Deligne-Terasoma.

  • Christian Kassel

    Variations sur la cohomologie de Sweedler des algèbres de Hopf

    15 décembre 2008 - 11:00Salle de séminaires IRMA