Séminaire Quantique
organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie
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Jiang Zeng
Quelques polynômes énumératifs multivariés de permutations, partitions et leurs fractions continues
9 janvier 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Je vais présenter des fractions continues de type Stieltjes et Jacobi pour quelques "polynômes de maître" qui énumèrent des permutations, des partitions d'ensemble ou des couplages parfaits avec un grand nombre (parfois infini) de statistiques simultanées. Ces résultats, ayant leur source dans des travaux d'Euler et de Stieltjes, contiennent beaucoup d'identités obtenues auparavant comme des cas particuliers et offrent une généralisation commune de plusieurs d'entre eux. C'est un travail en commun avec Alan Sokal. -
Peter Jossen
Une catégorie tannakienne associée aux intégrales oscillatoires
13 février 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
On peut associer à certains intégrales oscillatoires (par exemple les intégrales définissant les fonctions de Bessel, la fonction Gamma, etc.) des faisceaux constructibles sur le plan complexe. Il a été observé par Kontsevich et Soibelman que ces faisceaux forment une catégorie tannakienne, avec la convolution additive jouant le rôle du produit tensoriel. Le groupe tannakien qu'on obtient ainsi à partir d'une intégrale oscillatoire est un invariant intéressant, mais souvent difficile à calculer. Je vais présenter une nouvelle façon de calculer explicitement la convolution additive de faisceaux constructibles à l'aide d'actions de groupes de tresses sur des complexes de type « résolution bar ». Ce calcul permet en principe aussi de déterminer les groupes tannakiens, au moins dans des situations concrètes. -
Paolo Bellingeri
Tresses sur les surfaces et permutations
20 février 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
En généralisant des résultats classiques d'Artin et Lin, nous déterminons tous les cas où il existe une surjection entre groupes de tresses sur des surfaces fermées et orientables. Ce résultat est basé sur des propriétés spécifiques des suites centrales de ces groupes et il est de nature purement combinatoire. Nous donnons aussi des résultats similaires, mais partiels, pour les surfaces à bord et non orientables. Nous terminerons avec des résultats sur la classification des représentations des groupes de tresses sur les surfaces dans les groupes symétriques, qui ont des connections avec l'étude des représentations linéaires de ces groupes et qui répondent au passage à une ancienne question d'Ivanov. -
Emmanuel Wagner
Comment catégorifier 1 et le polynôme d'Alexander.
27 février 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Le polynôme d'Alexander est un invariant d'entrelacs issu de la topologie algébrique classique; il a été catégorifié en utilisant des méthodes issues de la géométrie symplectique, par Ozsvath-Szabo et Rasmussen. C'est ce qu'on appelle l'homologie d'Heegaard-Floer des entrelacs.
Cet invariant polynomial a aussi été réinterprété dans le cadre de la topologie quantique et on peut notamment l'interpréter comme la limite lorsque n tend vers 0 de certains invariants quantiques d'entrelacs associé à sl(n).
Dans cet exposé, j'expliquerai comment catégorifier de manière algébrique et combinatoire l'interprétation précédente du polynôme d'Alexander. Je décrirai au passage une catégorification non triviale de l'invariant trivial d'entrelacs associé à sl(1).
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Vladimir Turaev
Crochets pour les lacets dans les quasi-surfaces
6 mars 2019 - 11:00Salle de séminaire 418
Des crochets pour les lacets dans une surface ont été introduits par W. Goldman en 1986 comme un moyen combinatoire pour représenter les crochets de Poisson sur les espaces de modules de la surface. Dans mon exposé je vais parler des objets géométriques plus généraux - les quasi-surfaces - et introduire pour eux un analogue des crochets de Goldman. L'exposé sera basé sur mon preprint
"Topological constructions of tensor fields on moduli spaces" arXiv:1901.02634. -
Olaf Schnürer
Smoothness of derived categories of algebras
20 mars 2019 - 11:00Salle de conférences IRMA
We report on joint work with Alexey Elagin and Valery Lunts where we prove smoothness in the dg sense of the bounded derived category of finitely generated modules over any finite-dimensional algebra over a perfect field. More generally, we prove this statement for any algebra over a perfect field that is finite over its center and whose center is finitely generated as an algebra. These results are deduced from a general sufficient criterion for smoothness. -
Sakie (咲衣) Suzuki (鈴木)
Factorizations of the universal R matrix and the universal quantum invariant for framed 3-manifolds
27 mars 2019 - 11:00Salle de conférences IRMA
Take the Drinfeld double D(B) of the Borel subalgebra B of the quantized enveloping algebra U_q(sl_2) of sl_2. We consider two embeddings of D(B) as an algebra, into a double of Heisenberg double and into a quantum torus algebra. With both embeddings, each image of the universal R matrix has a factorization into a product of four elements each satisfying a pentagon relation. This setting leads us to the Kashaev invariant of links and to quantum Teichmüller theory. In this talk I will explain these situations and show our trials to unify these studies in a view point of the universal S tensor and framed 3-manifolds. This talk includes a joint work with Y. Terashima. -
Linyuan Liu
Cohomologie des fibrés en droites sur G/B en caractéristique positive
22 mai 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cet exposé, je vais commencer par rappeler des résultats à leur sujet, dus à Kempf, Griffith, Andersen, Jantzen, Kuhne-Hausmann, Irving, Doty, Sullivan, Donkin, etc.. Ensuite, je vais présenter les nouveaux résultats pour G=SL_3 obtenus dans ma thèse. Plus précisément, j’ai montré l’existence de deux filtrations de H^i(G/B,\mu). La première existe pour i=1,2 et \mu dans la région de Griffith. La deuxième, qui généralise la p-filtration introduite par Jantzen, existe pour tout i et \mu. -
Joel Kamnitzer
Crystals and monodromy of Bethe vectors
12 juin 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Crystals are certain graphs which give a combinatorial picture of representations of semisimple Lie algebras. Given two crystals, there is a canonical way to define a crystal structure on their product. This definition is non-commutative and it leads to the action of an interesting group, called the cactus group. This cactus group is the fundamental group of the moduli space of genus 0 real curves. Thus, crystals give us covers of this moduli space. We will explain how these covers arise from a purely algebraic source: the monodromy of eigenvectors for Bethe algebras. -
Mariia Yakerson
The space of algebraic cobordism
19 juin 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Nils Matthes
Introduction to motivic periods
11 septembre 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Motivic periods constitute a workable environment for Grothendieck's vision of extending Galois theory to certain classes of not necessarily algebraic numbers. The aim of this talk is to give an example-based introduction to this circle of ideas. If time permits, we also discuss the relative case and how this relates to KZ(B)-equations. -
Lucien Hennecart
Les fonctions cuspidales sur le champ de représentations d'un carquois
16 octobre 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
A un carquois Q et un corps fini k à q éléments on peut associer une algèbre de Hopf tordue appelée algèbre de Hall. Ses différentes structures encodent les extensions de la catégorie des représentations de Q sur k. Ringel a identifié la partie positive du groupe quantique associé à Q à la sous-algèbre sphérique de l'algèbre de Hall. En 2002, Sevenhant et Van den Bergh ont montré que l'algèbre de Hall a une structure d'algèbre enveloppante quantifiée d'une algèbre de Kac-Moody généralisée. Un système de générateurs privilégié est formé par les éléments primitifs. Ce sont eux qui nous intéressent. On les appelle fonctions cuspidales par analogie avec l'algèbre de Hall d'une courbe projective lisse sur un corps fini et son lien avec la correspondence de Langlands pour GL_n. Les fonctions cuspidales sont difficiles à calculer. Nous verrons comment faire pour les carquois de type Dynkin, cycliques et affines et quelles informations sur l'algèbre de Hall nous pouvons tirer de leur connaissance. Enfin, nous énoncerons plusieurs conjectures les concernant. -
Mauro Porta
Catégorification des algèbres de Hall K-théoretiques de dimension 2
23 octobre 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé je vais survoler les résultats obtenus en collaboration avec F. Sala, arXiv:1903.07253. Plus en détail, je vais montrer comment obtenir, à l'aide de la géométrie dérivée, des catégorifications naturelles des algèbres de Hall K-théorétiques associée à des objets géométriques de dimension 2. Les exemples que je discuterai seront l'algèbre de Hall catégorique associée à une surface, ou ceux associées aux fibrés de Higgs et aux fibrés plats sur une courbe. Si le temps permettra, je vais esquisser comment obtenir des catégorifications de certaines représentations naturelles de ces algèbres. -
Pedro Tamaroff
The Tamarkin-Tsygan calculus of an algebra à la Stasheff
6 novembre 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
From the work of Daletskii--Gel'fand--Tsygan it is known that for any associative algebra A the pair (HH^*(A),HH_*(A)) of its Hochschild cohomology and homology groups form a Tamarkin--Tsygan calculus, the non-commutative equivalent of the Cartan calculus on a smooth manifold. The canonical pair of chain complexes (C^*(A),C_*(A)) computing these groups can be endowed with chain operations inducing this calculus on homology. A natural question arises: can one extend the assignment F(A) = (C^*(A),C_*(A)) to the homotopy category of dg algebras? We answer this in the positive, giving explicit formulas on the cochain level in terms of any quasi-free model B of A and proving homotopy invariance of the calculus by producing for each such B a pair of ``small'' complexes of nc-fields and nc-forms (X(B),T(B)) that is in fact an infinity-calculus, infinity-quasi-isomorphic to the infinity-calculus structure on (C^*(A),C_*(A)) of Tamarkin--Tsygan. We will also give a few computational examples and suggest a common generalization for operads and cyclic operads. -
Ruslan Maksimau
Cohomologie de fibres de Lusztig
13 novembre 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L’exposé est basé sur arXiv:1909.04907. On considère un carquois Q et on fixe une représentation R de Q. On considère l'ensemble X de tous les drapeaux qui sont fixés par R. L'ensemble X a une structure d'une variété projective. On démontre que si le carquois est de type fini, alors la variété n'a pas de cohomologie impaire. Pour les types A et D on construit aussi une décomposition cellulaire de X. En particulier, cela implique que la construction géométrique de Lusztig des groupes quantiques (types A, D, E) est donnée par des faisceaux de parité. Donc cette construction marche bien aussi en caractéristique positive. Cela implique aussi que les algèbres de carquois-Hecke (types A, D, E) sont des extensions des faisceaux de parité. -
Matthew Pressland
Catégories amassées via algèbres de Calabi-Yau à l'intérieur
20 novembre 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
En commençant avec un carquois à potentiel (Q,W), je vais décrire comment on construit une algèbre A, qui est 3-Calabi-Yau « à l'intérieur ». À son tour, A détermine une algèbre B, qui est Gorenstein et qui a une catégorie de 2-Calabi-Yau des singularités, quand elle est Noethérienne. Si Q n'a pas des cycles, l'algèbre B est Noethérienne, et sa catégorie des singularités est équivalente à la catégorie amassée de Q. Cette construction est similaire à celle de la dg-algèbre de Ginzburg de (Q,W), et je vais expliquer des connexions précises et conjecturales de cette dg-algèbre. Si le temps le permet, je donnerai d'autres sources d'algèbres Calabi-Yau à l'intérieur. -
Benjamin Enriquez
Relations de double mélange et d'associateur pour les nombres multizétas
4 décembre 2019 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous montrons que les relations de double mélange entre MZVs peuvent se formuler en termes de tresses infinitésimales. Ceci permet de construire une structure de bitorseur sur le schéma défini par ces relations ainsi que de donner un nouvelle démonstration (après Furusho 2011) qu'elles sont conséquences des relations d'associateur (travail avec H. Furusho).